Exercice 2 : Endomorphismes symétriques

Problème guidé : Propriétés spectrales et perturbation des endomorphismes symétriques

Filière : PC
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Algèbre bilinéaire et quadratique
Thème : Endomorphismes symétriques, théorème spectral et analyse critique des modèles de perturbation.

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1. Énoncé

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension finie $n \ge 1$, muni d’un produit scalaire noté $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et de la norme associée $\|\cdot\|$. On note $\mathcal{S}(E)$ l’espace vectoriel des endomorphismes symétriques de $E$.

L’objectif de ce problème est d’étudier certaines propriétés de maximisation des valeurs propres (principe du min-max de Courant-Fischer) et d’analyser le comportement de ces valeurs propres sous l’effet d’une perturbation, ouvrant ainsi une discussion critique sur la robustesse des modèles numériques en dimension finie.

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2. Questions

Partie I : Préliminaires et Diagonalisation

1. Soit $u \in \mathcal{S}(E)$. Rappeler brièvement pourquoi $u$ est diagonalisable dans une base orthonormée de $E$.
2. On ordonne les valeurs propres de $u$ par ordre croissant : $\lambda_1(u) \le \lambda_2(u) \le \dots \le \lambda_n(u)$. Établir que pour tout $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$, on a : $\lambda_1(u) \le \langle u(x), x \rangle \le \lambda_n(u)$

Partie II : Caractérisation variationnelle (Principe de Courant-Fischer)

3. Soit $u \in \mathcal{S}(E)$. Pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, on note $\dim(F)$ sa dimension. Démontrer que la plus petite valeur propre $\lambda_1(u)$ vériie : $\lambda_1(u) = \min_{x \in E, \|x\|=1} \langle u(x), x \rangle$
4. Plus généralement, montrer que la $k$-ième valeur propre $\lambda_k(u)$ ($1 \le k \le n$) vérifie : $\lambda_k(u) = \min_{\substack{F \subset E \\ \dim(F) = k}} \max_{x \in F, \|x\|=1} \langle u(x), x \rangle$

Partie III : Application aux perturbations

5. Soient $u, v \in \mathcal{S}(E)$. On pose $w = u + v$. En utilisant le résultat de la question 4, établir l’inégalité de Weyl : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \lambda_k(u) + \lambda_1(v) \le \lambda_k(u+v) \le \lambda_k(u) + \lambda_n(v)$
6. En déduire que pour toute norme subordonnée ou la norme spectrale, l’application $u \in \mathcal{S}(E) \mapsto \lambda_k(u)$ est lipschitzienne.

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3. Pistes et Indications

• Partie I : Pensez au théorème spectral. Pour l’encadrement, exprimez le vecteur $x$ dans une base orthonormée de diagonalisation de $u$.
• Partie II : Pour la question 4, raisonnez par l’absurde ou utilisez des dimensions d’espaces vectoriels (théorème du rang / intersection de sous-espaces).
• Partie III : Pour l’inégalité de Weyl, écrivez $\langle (u+v)(x), x \rangle = \langle u(x), x \rangle + \langle v(x), x \rangle$ et utilisez les bornes de $\langle v(x), x \rangle$.

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4. Corrigé Détaillé

Partie I : Préliminaires et Diagonalisation

1. D’après le théorème spectral, tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien est orthogonalement diagonalisable. Il existe donc une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$.
2. Soit $x \in E$ tel que $\|x\| = 1$. Dans la base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ associée aux valeurs propres $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n$, on écrit $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$. On a alors $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1$. $\langle u(x), x \rangle = \left\langle \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i e_i, \sum_{j=1}^n x_j e_j \right\rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2$ Puisque $\lambda_1 \le \lambda_i \le \lambda_n$ pour tout $i$, on obtient : $\lambda_1 \sum_{i=1}^n x_i^2 \le \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \le \lambda_n \sum_{i=1}^n x_i^2$ Comme $\sum x_i^2 = 1$, il vient bien : $\lambda_1(u) \le \langle u(x), x \rangle \le \lambda_n(u)$.

Partie II : Caractérisation variationnelle

3. Soit $m = \min_{\|x\|=1} \langle u(x), x \rangle$. En prenant $x = e_1$ (vecteur propre associé à $\lambda_1$), on a $\|e_1\| = 1$ et $\langle u(e_1), e_1 \rangle = \lambda_1$, donc $m \le \lambda_1(u)$. Réciproquement, pour tout $x$ de norme 1, $\langle u(x), x \rangle \ge \lambda_1(u)$ (d’après la question précédente), donc $m \ge \lambda_1(u)$. Ainsi, $\lambda_1(u) = \min_{\|x\|=1} \langle u(x), x \rangle$.
4. Soit $F$ un sous-espace de dimension $k$. Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormée de diagonalisation associée à $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$. Considérons l’espace $E_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ de dimension $k$. Par la formule de Grassmann ou par dimension, $F \cap E_k^\perp$ n’est pas réduit à $\{0\}$ si $\dim(F) + \dim(E_k^\perp) > n$, ce qui équivaut à $k + (n-k+1) > n$ (attention aux indices, posons $E_{k-1}^\perp$ de dimension $n-k+1$). Plus rigoureusement, $F$ intersecte non triplement l’espace engendré par $\{e_k, \dots, e_n\}$ de dimension $n-k+1$. Il existe donc unitaire $x \in F$ tel que $x = \sum_{i=k}^n x_i e_i$ avec $\sum x_i^2 = 1$. Pour cet $x$, $\langle u(x), x \rangle = \sum_{i=k}^n \lambda_i x_i^2 \ge \lambda_k(u) \sum_{i=k}^n x_i^2 = \lambda_k(u)$. Le maximum sur $F$ d’une telle quantité est donc $\ge \lambda_k(u)$, ce qui permet de conclure par minoration et par l’égalité atteinte en choisissant $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$.

Partie III : Application aux perturbations

5. Soit $F$ un sous-espace de dimension $k$. Pour tout $x \in F$ de norme 1 : $\langle (u+v)(x), x \rangle = \langle u(x), x \rangle + \langle v(x), x \rangle \ge \max_{y \in F, \|y\|=1} \langle u(y), y \rangle + \lambda_1(v)$ En passant au minimum sur tous les sous-espaces $F$ de dimension $k$, on obtient par le principe de Courant-Fischer : $\lambda_k(u+v) \ge \lambda_k(u) + \lambda_1(v)$ En appliquant ce résultat à $u = (u+v) + (-v)$, on obtient symétriquement l’autre inégalité, d’où l’inégalité de Weyl : $\lambda_k(u) + \lambda_1(v) \le \lambda_k(u+v) \le \lambda_k(u) + \lambda_n(v)$
6. Posons $\|v\|_\infty = \max(|\lambda_1(v)|, |\lambda_n(v)\|)$. L’inégalité de Weyl se réécrit : $- \|v\|_\infty \le \lambda_k(u+v) - \lambda_k(u) \le \|v\|_\infty$ Soit $|\lambda_k(u+v) - \lambda_k(u)| \le \|v\|_\infty$. Cela prouve que l’application $u \mapsto \lambda_k(u)$ est $1$-lipschitzienne pour la norme subordonnée associée (ou norme spectrale).

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5. Analyse critique et limites du modèle

Si ce modèle mathématique garantit une excellente stabilité théorique des valeurs propres face à des perturbations infinitésimales (grâce au caractère lipschitzien établi à la question 6), son application numérique en dimension finie sur ordinateur (via des bibliothèques de calcul scientifique comme LAPACK ou NumPy) se heurte à plusieurs limites fondamentales :

1. Ill-conditionnement et multiplicité : L’inégalité de Weyl garantit la continuité des valeurs propres, mais pas celle des vecteurs propres. Si une valeur propre présente une multiplicité supérieure à 1 (ou si deux valeurs propres sont extrêmement proches par rapport à la précision machine $\epsilon_{\text{mach}}$), le sous-espace propre associé peut pivoter brusquement sous l’effet d’une infime perturbation (bruit de mesure ou erreur d’arrondi). Le modèle linéaire ne reflète plus la réalité géométrique locale.
2. Propagation des erreurs d’arrondi : Les algorithmes itératifs de diagonalisation (comme l’algorithme QR) effectuent un nombre fini d’opérations en virgule flottante. Les erreurs cumulées agissent comme une matrice de perturbation $v$ non négligeable. Si le conditionnement de la matrice $u$ (rapport $\lambda_n / \lambda_1$) est très grand, les petites valeurs propres sont entachées d’une incertitude relative inacceptable, invalidant les conclusions du modèle théorique parfait.
3. Limite infinie : Transposer ce modèle discret à des opérateurs différentiels autoadjoints sur des espaces de Hilbert de dimension infinie (en physique quantique par exemple) révèle des pathologies : le spectre peut devenir continu, et le comportement des valeurs extrêmes sous perturbation cesse d’être uniformément contrôlé sans hypothèses de compacité additionnelles.