Cours : Intégration sur un segment

Fiche de Cours : Intégration sur un segment (MPSI)

Soit $[a, b]$ un segment de $\mathbb{R}$ avec $a < b$ .

Définition (Subdivision) : Une subdivision de $[a, b]$ est une finie de réels $\sigma = (x_0, x_1, \dots, x_n)$ telle que : $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$
Définition (Fonction en escalier) : Une fonction $\varphi : [a, b] \to \mathbb{K}$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) est dite en escalier s’il existe une subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ de $[a, b]$ telle que $\varphi$ est constante sur chaque intervalle ouvert $]}x_i, x_{i+1}[$ .
On note $\mathcal{E}([a, b], \mathbb{K})$ l’ensemble des fonctions en escalier sur $[a, b]$ . C’est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.

Définition : Si $\varphi \in \mathcal{E}([a, b], \mathbb{K})$ et $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ est une subdivision adaptée à $\varphi$ (telle que $\varphi$ est constante égale à cste $c_i$ sur $]}x_i, x_{i+1}[$ ), on définit l’intégrale de $\varphi$ par : $\int_a^b \varphi(t) \, dt = \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) c_i$ Propriété fondamentale : Cette valeur ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.

Définition : Une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ $f : [a, b] \to K$ est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ $σ = (x_{0}, \dots, x_{n})$ de $[a, b]$ $[a, b]$ telle que :
1. Pour tout $i \in \{0, \dots, n-1\}$ , la restriction $f_{|]}x_i, x_{i+1}[$ se prolonge en une fonction continue sur $[x_i, x_{i+1}]$ .
2. $f$ admet des limites finies à droite en $x_i$ (pour $i < n$ ) et à gauche en $x_i$ (pour $i > 0$ ).
On note $\mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ l’ensemble de ces fonctions.

Théorème et Définition : Soit $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{R})$ . Alors : $\sup_{\substack{\varphi \in \mathcal{E} \\\varphi \le f}} \int_a^b \varphi = \inf_{\substack{\psi \in \mathcal{E} \\\psi \ge f}} \int_a^b \psi$ Cette valeur commune est l’intégrale de $f$ sur $[a, b]$ , notée $\int_a^b f(t) \, dt$ ou $\int_a^b f$ .
Pour $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{C})$ , on pose $\int_a^b f = \int_a^b \text{Re}(f) + i \int_a^b \text{Im}(f)$ .

Soient $f, g \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ .

Linéarité : L’application $f \mapsto \int_a^b f$ est une forme linéaire sur $\mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ : $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Relation de Chasles : Soit $c \in [a, b]$ , $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Conventions : Pour $a < b$ , on pose $\int_b^a f = -\int_a^b f$ et $\int_a^a f = 0$ .

Positivité : Si $f \ge 0$ sur $[a, b]$ et $a \le b$ , alors $\int_a^b f \ge 0$ .
Croissance : Si $f \le g$ sur $[a, b]$ et $a \le b$ , alors $\int_a^b f \le \int_a^b g$ .
Inégalité triangulaire (pour les modules) : $\left| \int_a^b f(t) \, dt \right| \le \int_a^b |f(t)| \, dt$
Cas de nullité (fonction continue positive) : Si $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue, positive, et $\int_a^b f = 0$ , alors $f$ est identiquement nulle. (Attention : faux si $f$ est seulement CPM).

Théorème (Continuité de l’intégrale variable) : Soit $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ . La fonction $F$ définie sur $[a, b]$ par : $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ est lipschitizienne, donc uniformément continue sur $[a, b]$ .
Théorème (Dérivabilité de l’intégrale variable - TFA 1) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a, b]$ et : $\forall x \in [a, b], \quad F'(x) = f(x)$ Autrement dit, toute fonction continue admet des primitives.
Théorème (Calcul d’intégrale par primitive - TFA 2) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $G$ est une primitive de $f$ sur $[a, b]$ (i.e., $G' = f$ ), alors : $\int_a^b f(t) \, dt = G(b) - G(a) = [G(t)]_a^b$

Théorème : Soient $u, v : [a, b] \to \mathbb{K}$ de classe $\mathcal{C}^1$ . Alors : $\int_a^b u(t)v'(t) \, dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) \, dt$

Théorème : Soit $\varphi : [\alpha, \beta] \to [a, b]$ une bijection de classe $\mathcal{C}^1$ (donc $\varphi' \neq 0$ ou monotone, avec $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ ). Soit $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ . Alors : $\int_a^b f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t) \, dt$

Théorème : Soit $f \in \mathcal{CPM}([a, b], \mathbb{K})$ . La suite de termes généraux : $S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \quad \text{et} \quad \tilde{S}_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right)$ convergent toutes deux vers $\int_a^b f(t) \, dt$ lorsque $n \to +\infty$ .
Formule classique ( $a=0, b=1$ ) : $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(t) \, dt$

Inégalité de Cauchy-Schwarz (pour les intégrales) : Soient $f, g$ continues sur $[a, b]$ à valeurs réelles ou complexes : $\left| \int_a^b f(t)\overline{g(t)} \, dt \right|^2 \le \left( \int_a^b |f(t)|^2 \, dt \right) \left( \int_a^b |g(t)|^2 \, dt \right)$
Inégalité de Minkowski (Inégalité triangulaire $L^2$ ) : $\left( \int_a^b |f(t)+g(t)|^2 \, dt \right)^{1/2} \le \left( \int_a^b |f(t)|^2 \, dt \right)^{1/2} + \left( \int_a^b |g(t)|^2 \, dt \right)^{1/2}$

Oublier la continuité pour dériver : Si $f$ est seulement continue par morceaux, la fonction $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ n’est pas dérivable partout (elle est dérivable seulement là où $f$ est continue). N’écrivez pas $F'(x) = f(x)$ aveuglément !
Changement de variable invalide : Pour un CDV $x = \varphi(t)$ , il faut impérativement que $\varphi$ soit bijective (ou au moins $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme par morceaux) et que $\varphi'$ ne s’annule pas de manière pathologique pour garantir l’équivalence. N’oubliez pas de changer les bornes et la mesure $dx = \varphi'(t)dt$ .
Inversion des bornes lors d’un CDV : Si $\varphi(\alpha) = b$ et $\varphi(\beta) = a$ , respectez le sens des bornes ou sortez un signe $-\text{1}$ .
Confusion entre valeur nulle de l’intégrale et nullité de la fonction : $\int_0^1 f = 0$ n’implique pas $f = 0$ , même si $f \ge 0$ , sauf si $f$ est continue. Contre-exemple : une fonction en escalier valant $1$ sur un point ou présentant un pic isolé modifié (mais l’intégrale d’une fonction CPM positive nulle n’implique que la nullité partout où la fonction est continue).