Skip to content
CPGE Futur

Exercice 1 : Familles libres, génératrices et bases

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Soit E=R2[X]E = \mathbb{R}_2[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 22. Sa dimension est dim⁡(E)=3\dim(E) = 3. On considère l’application Φ:E→E\Phi : E \to E définie pour tout polynôme P∈EP \in E par : Φ(P)=(X2−1)P′′+(2X−3)P′+2P\Phi(P) = (X^2 - 1)P'' + (2X - 3)P' + 2P où P′P' et P′′P'' désignent respectivement les dérivées première et seconde du polynôme PP.

L’objectif de ce problème est de montrer que Φ\Phi est un endomorphisme de EE, d’expliciter sa matrice dans la base canonique, de déterminer ses sous-espaces propres et d’exhiber une base de EE constituée de vecteurs propres.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”
  1. Vérification de la structure : Montrer que Φ\Phi est un endomorphisme de l’espace vectoriel EE.
  2. Calcul matriciel : Soit B=(1,X,X2)\mathcal{B} = (1, X, X^2) la base canonique de EE. Déterminer la matrice AA représentant Φ\Phi dans la base B\mathcal{B}.
  3. Étude spectrale :
    • Déterminer les valeurs propres de Φ\Phi.
    • Pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre associé en en donnant une base.
  4. Base de vecteurs propres : Conclure quant à la diagonalisabilité de Φ\Phi et écrire la matrice de Φ\Phi dans une base de vecteurs propres.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Rappeler qu’un endomorphisme est une application linéaire de EE dans EE. Il faut donc vérifier la linéarité et le fait que pour tout P∈R2[X]P \in \mathbb{R}_2[X], le polynôme Φ(P)\Phi(P) est bien de degré inférieur ou égal à 22.
  • Question 2 : Appliquer l’opérateur Φ\Phi aux vecteurs de la base canonique 11, XX et X2X^2, puis exprimer les résultats obtenus dans cette même base pour remplir les colonnes de la matrice AA.
  • Question 3 : Le calcul des valeurs propres se fait en résolvant l’équation caractéristique det⁡(A−λI3)=0\det(A - \lambda I_3) = 0. Pour les sous-espaces propres, on résout le système linéaire homogène associé.
  • Question 4 : Si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à dim⁡(E)\dim(E), l’endomorphisme est diagonalisable.

📋 Corrigé détaillé et vérification des résultats

Section titled “📋 Corrigé détaillé et vérification des résultats”

1. Vérification de la structure d’endomorphisme

Section titled “1. Vérification de la structure d’endomorphisme”

Soit P∈R2[X]P \in \mathbb{R}_2[X]. Posons P(X)=aX2+bX+cP(X) = aX^2 + bX + c. Calculons les dérivées :

  • P′(X)=2aX+bP'(X) = 2aX + b
  • P′′(X)=2aP''(X) = 2a

Substituons dans l’expression de Φ(P)\Phi(P) :

\Phi(P)(X) &= (X^2 - 1)(2a) + (2X - 3)(2aX + b) + 2(aX^2 + bX + c) \\ &= 2aX^2 - 2a + (4aX^2 + 2bX - 6aX - 3b) + 2aX^2 + 2bX + 2c \\ &= (2a + 4a + 2a)X^2 + (-6a + 2b + 2b)X + (-2a - 3b + 2c) \\ &= 8aX^2 + (-6a + 4b)X + (-2a - 3b + 2c) \end{aligned}$$ Le polynôme $\Phi(P)$ est bien de degré inférieur ou égal à $2$, donc $\Phi(P) \in E$. L'application $\Phi$ va de $E$ dans $E$. De plus, la dérivation et la multiplication par des polynômes étant des opérations linéaires, $\Phi$ est une combinaison linéaire d'applications linéaires, donc $\Phi$ est un endomorphisme de $E$. --- #### 2. Calcul de la matrice de $\Phi$ dans la base canonique Notons $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ la base canonique de $E$. Appliquons $\Phi$ à chaque vecteur de $\mathcal{B}$ : - Pour $P_1(X) = 1$ ($a=0, b=0, c=1$) : $$\Phi(1) = 8(0)X^2 + 0X + (-2(0) - 3(0) + 2(1)) = 2$$ - Pour $P_2(X) = X$ ($a=0, b=1, c=0$) : $$\Phi(X) = 8(0)X^2 + (0 + 4(1))X + (0 - 3(1) + 0) = 4X - 3$$ - Pour $P_3(X)X^2$ ($a=1, b=0, c=0$) : $$\Phi(X^2) = 8(1)X^2 + (-6(1) + 0)X + (-2(1) - 0 + 0) = 8X^2 - 6X - 2$$ En écrivant les coefficients de ces polynômes en colonnes (dans l'ordre $1, X, X^2$), on obtient la matrice $A$ de $\Phi$ dans la base $\mathcal{B}$ : $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 \\ 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 8 \text{ \textendash attention: } 8 \end{pmatrix}$$ Plus précisément, en réécrivant proprement les coordonnées : - Pour $\Phi(1) = 2$, les coordonnées sont $(2, 0, 0)$. - Pour $\Phi(X) = -3 + 4X$, les coordonnées sont $(-3, 4, 0)$. - Pour $\Phi(X^2) = -2 - 6X + 8X^2$, les coordonnées sont $(-2, -6, 8)$. Ainsi : $$A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 \\ 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$ --- #### 3. Étude spectrale La matrice $A$ étant triangulaire supérieure, ses valeurs propres sont ses éléments diagonaux, c'est-à-dire : $$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 4, \quad \lambda_3 = 8$$ Comme les trois valeurs propres sont distinctes et que $\dim(E) = 3$, l'endomorphisme $\Phi$ est **diagonalisable**. Déterminons les sous-espaces propres $E_\lambda = \ker(\Phi - \lambda \text{Id})$ : * **Pour $\lambda_1 = 2$ :** On cherche $P(X) = aX^2 + bX + c$ tel que $(A - 2I_3)\begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ : $$\begin{pmatrix} 0 & -3 & -2 \\ 0 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Ce système se traduit par : 1. $6a = 0 \implies a = 0$ 2. $2b - 6a = 0 \implies 2b = 0 \implies b = 0$ 3. $-3b - 2a = 0$ (vérifié) Le paramètre $c$ est libre. Ainsi, $E_2 = \text{Vect}(1)$. * **Pour $\lambda_2 = 4$ :** On résout $(A - 4I_3) \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} = 0$ : $$\begin{pmatrix} -2 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Ce système donne : 1. $-6a = 0 \implies a = 0$ 2. $-2c - 3b - 2a = 0 \implies 2c + 3b = 0 \implies c = -\frac{3}{2}b$ En posant $b = 2$, on a $c = -3$ et $a = 0$. Le polynôme propre est $2X - 3$. Ainsi, $E_4 = \text{Vect}(2X - 3)$. * **Pour $\lambda_3 = 8$ :** On résout $(A - 8I_3) \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} = 0$ : $$\begin{pmatrix} -6 & -3 & -2 \\ 0 & -4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Ce système donne : 1. $-4b - 6a = 0 \implies 2b = -3a$ 2. $-6c - 3b - 2a = 0$ Posons $a = 2$. Alors $b = -3$. L'équation devient : $-6c - 3(-3) - 2(2) = 0 \implies -6c + 9 - 4 = 0 \implies -6c + 5 = 0 \implies c = \frac{5}{6}$. Pour s'affranchir des fractions, multiplions par $6$ : posons $a = 12$, alors $b = -18$ et $c = 5$. Le polynôme est $12X^2 - 18X + 5$. Vérifions directement avec $\Phi(P)$ pour $P(X) = X^2 - \frac{3}{2}X + \frac{5}{12}$ (en prenant $a=1$) : $$\Phi(X^2 - \frac{3}{2}X + \frac{5}{12}) = 8X^2 - 6X - 2 - \frac{3}{2}(4X - 3) + \frac{5}{12}(2) \dots$$ Plus simplement avec $P(X) = 2X^2 - 3X + \frac{5}{2}$ ? Non, reprenons $a=2, b=-3, c=\frac{5}{6}$. Le sous-espace propre est $E_8 = \text{Vect}(12X^2 - 18X + 5)$. --- #### 4. Conclusion La famille $\mathcal{B}' = (1, 2X - 3, 12X^2 - 18X + 5)$ est constituée de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ($2, 4, 8$). C'est donc une **base de vecteurs propres** de $E$. Dans cette base $\mathcal{B}'$, la matrice de $\Phi$ est diagonale : $$\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(\Phi) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$