Exercice 1 : Équation de Navier-Stokes

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Le présent problème s’intéresse à l’étude de l’écoulement permanent, bidimensionnel et incompressible d’un fluide visqueux newtonien entre deux plaques planes, infinies, horizontales et parallèles, séparées par une distance $h$. Ce modèle d’écoulement, dit de Couette-Poiseuille plan, combine un entraînement par cisaillement (mouvement de la plaque supérieure) et un entraînement par gradient de pression (effet de pompe).

On choisit un repère cartésien $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$ tel que :

• La plaque inférieure immobile est située dans le plan $y = 0$.
• La plaque supérieure, animée d’une vitesse constante $V_0 \vec{e}_x$, est située dans le plan $y = h$.
• L’écoulement est invariant par translation selon l’axe Ox (direction de l’écoulement) et l’axe Oz (direction transverse).

Le fluide est caractérisé par sa masse volumique $\rho$ (constante) et sa viscosité dynamique $\mu$ (constante). L’accélération de la pesanteur est $\vec{g} = -g \vec{e}_y$.

---

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

1. Analyse cinématique : À partir des hypothèses de symétrie et d’invariance du problème, et sachant que le fluide est incompressible ($\text{div}(\vec{v}) = 0$), déterminer la forme générale du champ de vitesse $\vec{v}(x, y, z, t)$.
2. Simplification des équations de Navier-Stokes : Écrire l’équation de Navier-Stokes vectorielle pour un fluide incompressible soumis à la pesanteur. En déduire les équations aux dérivées partielles régissant les composantes du champ de vitesse et de la pression $P(x,y,z)$.
3. Champ de pression : Montrer que la pression $P$ ne dépend pas de la coordonnée $y$ (à l’altitude près) et que le gradient de pression $\frac{\partial P}{\partial x}$ est une constante négative ou nulle notée $G$.
4. Profil de vitesse : Résoudre l’équation différentielle portant sur la composante $v_x(y)$ en tenant compte des conditions aux limites mécaniques (adhérence du fluide aux parois). Exprimer $v_x(y)$ en fonction de $y$, $h$, $\mu$, $V_0$ et $G = -\frac{d P}{d x}$.
5. Débit volumique : Exprimer le débit volumique $Q$ par unité de largeur (selon $z$) traversant une section droite de l’écoulement.
6. Analyse critique et limites du modèle :
   • Proposer une grandeur sans dimension caractéristique permettant de quantifier l’importance relative du terme d’entraînement visqueux (Couette) par rapport au terme de gradient de pression (Poiseuille).
   • Discuter brièvement la validité de l’hypothèse d’incompressibilité et du régime laminaire en introduisant le nombre de Reynolds adéquat.

---

💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Question 1 : Utilisez l’invariance spatiale (traduite par les dérivées nulles par rapport à certaines coordonnées) et l’équation de continuité pour contraindre la vitesse normale $v_y$ et la vitesse transverse $v_z$.
• Question 2 & 3 : Projetez l’équation de Navier-Stokes selon les trois axes cartésiens. L’équation selon $y$ permet d’isoler la variation verticale de la pression en incluant la pesanteur.
• Question 4 : C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Intégrez-la deux fois et utilisez $v_x(0) = 0$ et $v_x(h) = V_0$.
• Question 5 : Le débit par unité de largeur est l’intégrale du profil de vitesse entre $y = 0$ et $y = h$.

---

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Analyse cinématique

Soit $\vec{v}(x, y, z, t) = v_x(x, y, z, t)\vec{e}_x + v_y(x, y, z, t)\vec{e}_y + v_z(x, y, z, t)\vec{e}_z$ le champ d’Eulérien des vitesses.

• L’écoulement est permanent : $\frac{\partial}{\partial t} = 0$.
• L’écoulement est invariant par translation selon $x$ et $z$ : $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ et $\frac{\partial}{\partial z} = 0$. Par conséquent, toutes les composantes de la vitesse ne dépendent que de la coordonnée $y$ : $\vec{v} = v_x(y)\vec{e}_x + v_y(y)\vec{e}_y + v_z(y)\vec{e}_z$.

L’incompressibilité du fluide se traduit par l’équation de continuité : $\text{div}(\vec{v}) = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0$ En tenant compte des invariances : $\frac{\partial v_y}{\partial y} = 0 \implies v_y(y) = \text{cte}$ Puisque le fluide est imperméable aux parois situées à $y=0$ et $y=h$ (où $v_y = 0$), on en déduit que $v_y(y) = 0$ partout. Par symétrie du problème, il n’y a pas de raison d’avoir un mouvement transverse, donc $v_z(y) = 0$.

Le champ de vitesse se réduit donc à : $\vec{v}(y) = v_x(y)\vec{e}_x$

2. Simplification des équations de Navier-Stokes

L’équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible s’écrit : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{grad})\vec{v} \right) = -\vec{grad}(P) + \mu \Delta \vec{v} + \rho \vec{g}$

Evaluons chaque terme :

• Terme d’accélération convective : $(\vec{v} \cdot \vec{grad})\vec{v} = v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} \vec{e}_x = \vec{0}$ (car $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ et $v_y = v_z = 0$).
• Terme de forces de volume : $\rho \vec{g} = -\rho g \vec{e}_y$.
• Terme de diffusion visqueuse : $\Delta \vec{v} = \frac{d^2 v_x}{d y^2} \vec{e}_x$.

La projection sur les trois axes donne :

• Sur $\vec{e}_x$ : $0 = -\frac{\partial P}{\partial x} + \mu \frac{d^2 v_x}{d y^2}$
• Sur $\vec{e}_y$ : $0 = -\frac{\partial P}{\partial y} - \rho g$
• Sur $\vec{e}_z$ : $0 = -\frac{\partial P}{\partial z}$

3. Champ de pression

D’après l’équation projetée sur $\vec{e}_y$ : $\frac{\partial P}{\partial y} = -\rho g \implies P(x, y, z) = -\rho g y + f(x, z)$ D’après l’équation projetée sur $\vec{e}_z$ : $\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z} = 0 \implies f(x, z) = f(x)$ Ainsi, $P(x, y) = -\rho g y + P_0(x)$. En injectant dans l’équation selon $\vec{e}_x$ : $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{d P_0}{d x} = \mu \frac{d^2 v_x}{d y^2}$ Puisque le membre de gauche ne dépend que de $x$ et le membre de droite ne dépend que de $y$, cette quantité est nécessairement une constante, notée $-G$ (avec $G = -\frac{dP_0}{dx}$ représentant la chute de pression motrice par unité de longueur) : $\frac{d P_0}{d x} = -G \implies \frac{d^2 v_x}{d y^2} = -\frac{G}{\mu}$

4. Profil de vitesse

L’équation différentielle à résoudre est : $\frac{d^2 v_x}{d y^2} = -\frac{G}{\mu}$ Par intégration successives par rapport à $y$ : $\frac{d v_x}{d y} = -\frac{G}{\mu} y + C_1$ $v_x(y) = -\frac{G}{2\mu} y^2 + C_1 y + C_2$

Appliquons les conditions aux limites d’adhérence visqueuse (vitesse du fluide égale à celle des parois) :

1. En $y = 0$ (plaque fixe) : $v_x(0) = 0 \implies C_2 = 0$.
2. En $y = h$ (plaque mobile à $V_0$) : $v_x(h) = V_0 \implies -\frac{G}{2\mu} h^2 + C_1 h = V_0 \implies C_1 = \frac{V_0}{h} + \frac{Gh}{2\mu}$.

Le profil de vitesse complet est donc : $v_x(y) = \frac{V_0}{h} y + \frac{G}{2\mu} y(h - y)$ Remarque: * On retrouve la superposition d’un profil de Couette pur ($\frac{V_0}{h}y$) et d’un profil de Poiseuille pur ($\frac{G}{2\mu}y(h-y)$).

5. Débit volumique

Le débit volumique $Q$ par unité de largeur (selon l’axe $Oz$) est défini par : $Q = \int_{0}^{h} v_x(y) \, dy$ Calculons cette intégrale : $Q = \int_{0}^{h} \left[ \frac{V_0}{h} y + \frac{G}{2\mu} (hy - y^2) \right] dy$ $Q = \left[ \frac{V_0}{2h} y^2 + \frac{G}{2\mu} \left( \frac{h}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3 \right) \right]_{0}^{h}$ $Q = \frac{V_0 h}{2} + \frac{G h^3}{2\mu} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{V_0 h}{2} + \frac{G h^3}{12 \mu}$

6. Analyse critique et limites du modèle

• Grandeur sans dimension (Nombre de Couette/Poiseuille) : On peut comparer le terme d’entraînement visqueux pur $V_0$ au terme induit par le gradient de pression en formant le rapport des vitesses caractéristiques ou via un nombre sans dimension : $\Pi = \frac{G h^2}{2 \mu V_0}$ Si $\Pi \ll 1$, l’écoulement est dominé par l’effet Couette (cisaillement pur). Si $\Pi \gg 1$, l’écoulement est dominé par l’effet Poiseuille (mise en pression).

• Limites physiques :

  • Incompressibilité : Valable tant que les variations de pression restent faibles devant la pression absolue et que le nombre de Mach associé à l’écoulement ($Ma = V_0 / c \ll 1$, où $c$ est la celerité du son) est respecté.
  • Régime laminaire : L’hypothèse stationnaire et unidirectionnelle n’est stable que si le nombre de Reynolds de l’écoulement reste inférieur au seuil de transition critique (généralement $Re = \frac{\rho V_0 h}{\mu} \lesssim 2000$). Au-delà, des instabilités (type Tollmien-Schlichting) mènent à la turbulence.