Exercice 1 : Développements limités

Problème GUIDÉ : Étude asymptotique et recherche d’un équivalent

En tant qu’examinateur en classes préparatoires (filière PCSI), j’attends des candidats non seulement une maîtrise rigoureuse des formules de Taylor-Young et des opérations algébriques sur les développements limités (DL), mais aussi une capacité à mener des calculs de restes avec méthode et à interpréter géométriquement ou analytiquement les résultats obtenus.

Le problème proposé ci-dessous est conçu pour baliser les difficultés classiques rencontrées aux concours : composition de DL, gestion des formes indéterminées et recherche d’un équivalent fin au voisinage d’un point.

Énoncé du problème

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0, +\infty[$ par : $f(x) = \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)$

Justifier que la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ , que l’on précisera (on posera $f(0) = 0$ ).
Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $4$ au voisinage de $0$ .
En déduire la nature de la courbe représentative de $f$ au voisinage de son point d’abscisse $0$ (tangente et position par rapport à la tangente).
Déterminer un équivalent simple de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives.

Corrigé et Guide de Résolution

Question 1 : Prolongement par continuité en $0$

Objectif: ** Lever l’indétermination en $0$ pour la fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ .

Analyse de l’examinateur : C’est un classique absolu. On rappelle le développement limité usuel de $\sin x$ en $0$ à l’ordre $3$ (ou $1$ ).

Au voisinage de $0$ , on a le développement limité : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Par conséquent, pour $x \neq 0$ : $\frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + o(x^2)$

Lorsque $x \to 0$ , $\frac{\sin x}{x} tend vers$ 1 $. Puisque la fonction$ \ln $est continue en$ 1$, on a : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{X \to 1} \ln(X) = \ln(1) = 0$

La fonction $f$ admet donc une limite finie en $0$ . En posant $f(0) = 0$ , $f$ est prolongeable par continuité en $0$ .

Question 2 : Développement limité de $f$ à l’ordre $4$ en $0$

Objectif: ** Utiliser la composition de développements limités.

Analyse de l’examinateur : Soit on pousse le DL de $\frac{\sin x}{x}$ à un ordre suffisant pour obtenir l’ordre $4$ pour le $\ln$ , soit on utilise directement le DL de $\ln(1+u)$ .

Reprenons le terme $\frac{\sin x}{x}$ . Pour obtenir un DL à l’ordre $4$ de $f(x) = \ln\left(1 + \left(\frac{\sin x}{x} - 1\right)\right)$ , il nous faut un DL de $\frac{\sin x}{x} - 1$ à l’ordre $4$ . Écrivons le DL de $\sin x$ à l’ordre $5$ : $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$

On en déduit : $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)$

Posons $u(x) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)$ . On remarque que $u(x) \to 0$ lorsque $x \to 0$ . On utilise le développement limités de $\ln(1+u)$ au voisinage de $0$ : $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$

Substituons $u(x)$ dans cette expression en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à $4$ :

Calcul de $u(x)$ : $u(x) = -\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} + o(x^4)$
Calcul de $u(x)^2$ (les termes de degré strictement supérieur à $4$ seront intégrés dans le $o(x^4)$ ) : $u^2(x) = \left(-\frac{x^2}{6} + o(x^2)\right)^2 = \frac{x^4}{36} + o(x^4)$

Assemblons les morceaux via la formule de composition : $f(x) = \left(-\frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{x^4}{36}\right) + o(x^4)$ $f(x) = -\frac{x^2}{6} + x^4 \left(\frac{1}{120} - \frac{1}{72}\right) + o(x^4)$

Mettons $\frac{1}{120}$ et $\frac{1}{72}$ au même dénominateur ( $360$ ) :

$\frac{1}{120} = \frac{3}{360}$
$\frac{1}{72} = \frac{5}{360}$
$\frac{3}{360} - \frac{5}{360} = -\frac{2}{360} = -\frac{1}{180}$

Finalement, le DL de $f$ à l’ordre $4$ en $0$ est : $\mathbf{f(x) = -\frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{180} + o(x^4)}$

Question 3 : Étude locale de la courbe (Tangente et Position)

Objectif: ** Exploiter les coefficients du DL pour conclure géométriquement.

D’après la formule de Taylor-Young et le DL obtenu à l’ordre $4$ (qui fournit a fortiori un DL à l’ordre $1$ et $2$ ) : $f(x) = -\frac{x^2}{6} + o(x^2)$

Tangente en $0$ : Puisque $f(x) = 0 \cdot x + o(x)$ , la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ admet au point $(0,0)$ une tangente horizontale d’équation $y = 0$ (l’axe des abscisses).
Position relative : Pour déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente, on étudie le signe de la différence $f(x) - y_{\text{tangente}} = f(x) - 0 = f(x)$ . Au voisinage de $0$ , le comportement de $f(x)$ est dicté par son premier terme non nul : $f(x) \sim -\frac{x^2}{6}$ Puisque $-\frac{x^2}{6} < 0$ pour tout $x \neq 0$ au voisinage de $0$ , on en conclut que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située strictement en dessous de sa tangente au voisinage de $0$ .

Question 4 : Équivalent de $f(x)$ en $0$

Objectif: ** Extraire le terme prépondérant.

Par définition d’un développement limité dont le premier coefficient non nul est en $x^2$ , on a immédiatement : $\mathbf{f(x) \underset{0}{\sim} -\frac{x^2}{6}}$

Analyse critique et Bilan de l’examinateur

Piège classique évité : Certains candidats imprudents développent $\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)$ en écrivant $\ln(\sin x) - \ln(x)$ . C’est une erreur magistrale car $\ln(x)$ diverge vers $-\infty$ en $0$ , ce qui viole le domaine d’application des opérations sur les équivalents/DL (on ne peut pas sommer des $o$ ou manipuler des limites infinies de la sorte sans précautions). Il est impératif de factoriser l’intérieur du log sous la forme $1 + u(x)$ avec $\lim_{x\to 0} u(x) = 0$ .
Rigueur des $o(x^n)$ : Le calcul de $u(x)^2$ ne doit pas être mené trop rapidement. Écrire explicitement $u(x) = -\frac{x^2}{6} + o(x^2)$ pour la partie carré suffit amplement à justifier que les termes suivants tombent dans le $o(x^4)$ .
Rédaction : Aux concours, l’utilisation correcte des symboles $\sim$ et $o$ permet de gagner de précieux points. Veillez à bien expliciter le prolongement par continuité avant d’appliquer des théorèmes de dérivation ou de développements limités.