Exercice 1 : Polynôme annulateur et diagonalisation

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Dans le cadre de l’étude de la stabilité d’un système dynamique linéaire discret intervenant dans la modélisation de réseaux de transport d’énergie, on s’intéresse à l’évolution d’un vecteur d’états $\mathbf{X}_n \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ régi par la relation de récurrence vectorielle : $\mathbf{X}_{n+1} = A \mathbf{X}_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}$ où $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ est une matrice de transition représentant les taux de transfert entre différents nœuds du réseau.

Pour dimensionner correctement les infrastructures et garantir l’absence de saturation (explosion en norme lorsque $n \to +\infty$ ), les ingénieurs doivent déterminer si la matrice $A$ est diagonalisable et évaluer le comportement asymptotique de ses puissances $A^n$ .

Dans ce problème, on se propose d’étudier un critère de diagonalisation basé sur un polynôme annulateur particulier, puis d’appliquer ces résultats à une matrice de modélisation simplifiée d’un réseau à $d=3$ nœuds.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel (avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ) de dimension finie $d$ , et $u$ un endomorphisme de $E$ .

❓ Questions progressives

Préalable sur les polynômes annulateurs Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ un polynôme annulateur de $u$ (c’est-à-dire $P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ ). Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $u$ , alors $\lambda$ est nécessairement une racine de $P$ .
Condition suffisante de diagonalisation On suppose qu’il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ tel que $P(u) = 0$ . À l’aide du théorème de décomposition des noyaux, démontrer que $u$ est diagonalisable.
Application à une matrice concrète de réseau On considère la matrice $A$ associée au système de transport, définie par : $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ Calculer le polynôme $P(X) = X^3 - 3X^2 + 3X - 1$ évalué en $A$ (on remarquera que $P(X) = (X-1)^3$ ). $A$ est-elle annulée par un polynôme scindé à racines simples ? Conclure directement quant à la diagonalisation de $A$ par cette méthode.
Recherche des sous-espaces propres Déterminer le spectre de $A$ et calculer la dimension de chaque sous-espace propre associé. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
Analyse critique du modèle et des limites physiques On suppose que le vecteur $\mathbf{X}_n$ représente la quantité d’énergie (en $\text{MWh}$ ) stockée dans trois nœuds interconnectés.
- Si un modèle linéaire conduit à une matrice non diagonalisable dont la valeur propre maximale est strictement supérieure à $1$ en module, que peut-on prédire pour la stabilité physique du réseau à long terme ?
- Discutez des limites inhérentes à un modèle linéaire stationnaire ( $\mathbf{X}_{n+1} = A \mathbf{X}_n$ ) pour simuler un réseau électrique réel soumis à des fluctuations de charge aléatoires et à des saturations physiques des lignes.

💡 Pistes & Indications

Question 1 : Écrire la définition d’une valeur propre associée à un vecteur non nul $x$ , puis appliquer l’endomorphisme $P(u)$ à $x$ .
Question 2 : Rappeler le théorème de décomposition des noyaux pour un polynôme $P = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)$ avec des $\lambda_i$ distincts. Quel est le lien entre le noyau $\ker(u - \lambda_i \text{id})$ et les espaces propres ?
Question 3 & 4 : Calculez $(A - I_3)^2$ puis $(A - I_3)^3$ . Utilisez la définition du polynôme minimal ou cherchez directement les vecteurs propres associés aux valeurs propres trouvées.
Question 5 : Pensez à l’impact de la non-diagonalisation (apparition de blocs de Jordan et de termes séculaires en $n \lambda^n$ ou $n^k$ ) couplé à une valeur propre $\ge 1$ .

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

Préalable sur les polynômes annulateurs Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ et $x \in E \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé, de sorte que $u(x) = \lambda x$ . Par récurrence immédiate, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ , on a $u^k(x) = \lambda^k x$ . Soit $P = \sum_{k=0}^{m} a_k X^k$ un polynôme annulateur de $u$ . Alors : $P(u)(x) = \sum_{k=0}^{m} a_k u^k(x) = \sum_{k=0}^{m} a_k \lambda^k x = \left( \sum_{k=0}^{m} a_k \lambda^k \right) x = P(\lambda)x$ Puisque $P(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ , on a $P(u)(x) = 0_E$ . Ainsi, $P(\lambda)x = 0_E$ . Comme $x \neq 0_E$ , on en déduit que $P(\lambda) = 0$ .
Condition suffisante de diagonalisation Puisque $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ , il s’écrit sous la forme : $P = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)$ où les $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ sont des scalaires distincts. Le théorème de décomposition des noyaux s’applique car les facteurs $(X - \lambda_i)$ sont premiers entre eux deux à deux. On obtient : $E = \bigoplus_{i=1}^k \ker((u - \lambda_i \text{id}))$ Par définition, pour tout $i \in \{1, \dots, k\}$ , le noyau $\ker(u - \lambda_i \text{id})$ est inclus dans le sous-espace propre $\text{E}_{\lambda_i}(u)$ (et réciproquement par définition d’une valeur propre). La somme directe de ces sous-espaces est égale à tout l’espace $E$ , ce qui est la définition même d’un endomorphisme diagonalisable.
Application à la matrice $A$ Calculons $A - I_3$ : $A - I_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ Calculons $(A - I_3)^2$ : $(A - I_3)^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ On constate que $(A - I_3)^2 = 0_{\mathcal{M}_3(\mathbb{R})}$ . Le polynôme $Q(X) = (X-1)^2$ est donc un polynôme annulateur de $A$ . Cependant, ce polynôme n’est pas à racines simples (la racine $1$ est d’ordre de multiplicité $2$ ). La condition suffisante du cours (racines simples) ne s’applique pas directement ici. Cela n’prouve pas que $A$ n’est pas diagonalisable, mais cela invite à chercher explicitement la dimension du sous-espace propre.
Recherche des sous-espaces propres Le polynôme caractéristique de $A$ est : $\chi_A(X) = \det(X I_3 - A) = (X-1)^3$ La seule valeur propre de $A$ est $\lambda = 1$ , de multiplicité algébrique $3$ . Déterminons le sous-espace propre $\text{E}_1(A) = \ker(A - I_3)$ en résolvant le système $(A - I_3)X = 0$ : $\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 0 = 0 \\ -x + y - z = 0 \end{cases} \iff x - y + z = 0$ Ce sous-espace est donc défini par une seule équation cartésienne dans $\mathbb{R}^3$ , il est de dimension $2$ . Puisque la dimension du sous-espace propre $\text{dim}(\text{E}_1(A)) = 2$ est strictement inférieure à la multiplicité algébrique ( $3$ ), la matrice $A$ n’est pas diagonalisable.
Analyse critique du modèle et des limites physiques
- Stabilité à long terme : Une matrice non diagonalisable dont la valeur propre maximale est $1$ (ou supérieure à $1$ en module) engendre des termes séculaires du type $n^k \lambda^n$ dans l’expression générale de $\mathbf{X}_n$ (via la réduction de Jordan). Si $\lambda = 1$ et que la dimension du bloc de Jordan est supérieure ou égale à $2$ (ce qui est le cas ici avec un bloc de taille $2$ ), la solution générale comporte des termes en $n \times 1^n = n$ . Le vecteur d’état $\mathbf{X}_n$ diverge linéairement vers l’infini lorsque $n \to +\infty$ . Physiquement, le réseau d’énergie non contrôlé conduit à une accumulation infinie d’énergie, ce qui est absurde.
- Limites du modèle :
  1. Linéarité et stationnarité : Le modèle suppose des coefficients de transfert constants dans le temps ( $A$ indépendante de $n$ ). En réalité, les impédances des lignes varient avec la température et la charge.
  2. Absence de saturation : Les infrastructures physiques possèdent des capacités maximales (effet Joule, limites thermiques des transformateurs). Un modèle linéaire pur ignore ces contraintes d’inégalités ( $\mathbf{X}_n \leq \mathbf{X}_{\max}$ ).
  3. Caractère discret : L’approximation à pas de temps constant masque les dynamiques transCONTINUES rapides (oscillations électromécaniques à l’échelle de la milliseconde).