Exercice 1 : Flexion, torsion et flambement
PROBLÈME GUIDÉ CORRIGÉ : Étude d’un bras de levier multifonctionnel
Section titled “PROBLÈME GUIDÉ CORRIGÉ : Étude d’un bras de levier multifonctionnel”Filière : CPGE PT
Matière : Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Chapitre: ** Résistance des Materiaux (RDM) et Conception
Thème : Sollicitations combinées (Flexion, torsion) et Instabilité élastique (Flambement)
0. Introduction et Présentation du problème
Section titled “0. Introduction et Présentation du problème”Dans le cadre de la conception d’un système de levage industriel, on s’intéresse à un bras de liaison représenté par une poutre cylindrique de longueur , de diamètre extérieur et d’épaisseur (supposée faible devant , soit ). La poutre est modélisée par un matériau isotrope homogène de module d’Young , de coefficient de Poisson et de limite d’élasticité .
L’objectif de ce problème est de dimensionner cette structure soumise simultanément à de la flexion, de la torsion, et de vérifier sa résistance au flambement.
1. Caractéristiques géométriques de la section
Section titled “1. Caractéristiques géométriques de la section”On note le diamètre intérieur de la poutre. Le rayon moyen est .
Question 1.1
Section titled “Question 1.1”Exprimer la section de la poutre en fonction de et , puis donner l’expression simplifiée au premier ordre en . Correction: ** La surface de la section est la différence entre l’aire du cercle extérieur et du cercle intérieur :
Pour un tube mince (), l’expression simplifiée au premier ordre est :
Question 1.2
Section titled “Question 1.2”Donner l’expression du moment quadratique de la section par rapport à un axe diamétral, et l’expression du moment quadratique polaire par rapport au centre de la section, dans l’approximation des tubes minces. Correction: ** Pour une section circulaire creuse :
- Moment quadratique par rapport à un axe diamétral : En posant et en développant pour , on obtient l’approximation des tubes minces :
- Moment quadratique polaire ( dans le cas circulaire) :
2. Sollicitations et Étude de la résistance (Flexion et Torsion)
Section titled “2. Sollicitations et Étude de la résistance (Flexion et Torsion)”Le bras est encastré en () et soumis en son extrémité libre () à un effort tridimensionnel. On néglige son poids propre. Au point , le torseur des efforts extérieurs appliqués par la charge est :
0 & 0 \\ F_y & 0 \\ 0 & C_z \end{Bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})}$$ Soit une force transversale $\vec{F} = F_y \vec{y}$ et un moment de torsion $\vec{C} = C_z \vec{z}$. ### Question 2.1 Déterminer le torseur de cohésion $\{\text{T}_{\text{coh}}(x)\}$ en une section droite d'abscisse $x$. En déduire les sollicitations simples subies par la poutre. Correction: ** En appliquant le PFD à la portion de poutre comprise entre $x$ et $L$ : $$\{\text{T}_{\text{coh}}(x)\} = \begin{Bmatrix} 0 & 0 \\ -F_y & -F_y(L-x) \\ 0 & C_z \end{Bmatrix}_{(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})}$$ Les sollicitations sont : * Un effort tranchant $T_y = -F_y$ * Un moment fléchissant $Mf_z = -F_y(L-x)$ (Flexion plane simple) * Un moment de torsion $Mt_x = C_z$ (Torsion simple) ### Question 2.2 Identifier la section la plus sollicitée et exprimer la contrainte normale maximale $\sigma_{\max}$ due à la flexion ainsi que la contrainte tangentielle maximale $\tau_{\max}$ due à la torsion. Correction: ** La section la plus sollicitée en flexion est l'encastrement ($x = 0$), là où le moment fléchissant est maximal en valeur absolue : $|Mf_z(0)| = F_y L$. La contrainte normale maximale de flexion s'exprime par : $$\sigma_{\max} = \frac{|Mf_z|_{\max}}{I_G / (D/2)} = \frac{F_y L}{\frac{\pi}{8} D^3 e} \frac{D}{2} = \frac{4 F_y L}{\pi D^2 e}$$ La contrainte tangentielle maximale de torsion (sur la fibre extérieure du tube) est : $$\tau_{\max} = \frac{|Mt_x|}{I_P / (D/2)} = \frac{C_z}{\frac{\pi}{4} D^3 e} \frac{D}{2} = \frac{2 C_z}{\pi D^2 e}$$ ### Question 2.3 En utilisant le critère de Von Mises, écrire la condition de résistance sous la forme d'une inéquation liant $F_y$, $C_z$, $D$, $e$ et $\text{R}_e$. Correction: ** Le critère de Von Mises pour un état plan de contraintes (contrainte normale $\sigma$ et contrainte tangentielle $\tau$) s'écrit : $$\sigma_{eq} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} \le \frac{\text{R}_e}{s}$$ *(où $s$ est le coefficient de sécurité, que l'on prendra égal à 1 pour simplifier l'expression brute).* En remplaçant $\sigma$ par $\sigma_{\max}$ et $\tau$ par $\tau_{\max}$ : $$\sqrt{\left(\frac{4 F_y L}{\pi D^2 e}\right)^2 + 3\left(\frac{2 C_z}{\pi D^2 e}\right)^2} \le \text{R}_e$$ Soit : $$\frac{2}{\pi D^2 e} \sqrt{4 (F_y L)^2 + 3 C_z^2} \le \text{R}_e$$ --- ## 3. Risque d'instabilité élastique (Flambement) On suppose désormais que la poutre est soumise à un effort normal de compression pur $\vec{N} = -N_0 \vec{x}$ ($N_0 > 0$) appliqué en $B$. ### Question 3.1 R rappeler la formule d'Euler donnant la charge critique de flambement $N_cr$ pour cette poutre encastrée-libre. Correction: ** Pour une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre (cas $1$), la longueur flambée est $L_f = 2L$. La formule d'Euler donne : $$N_{cr} = \frac{\pi^2 E I_G}{L_f^2} = \frac{\pi^2 E I_G}{(2L)^2} = \frac{\pi^2 E I_G}{4 L^2}$$ ### Question 3.2 En déduire l'expression de $N_{cr}$ en fonction de $E$, $D$, $e$ et $L$. Correction: ** En remplaçant $I_G$ par son expression dans l'approximation des tubes minces ($\frac{\pi}{8} D^3 e$) : $$N_{cr} = \frac{\pi^2 E \left(\frac{\pi}{8} D^3 e\right)}{4 L^2} = \frac{\pi^3 E D^3 e}{32 L^2}$$ --- ## 4. Application numérique et Analyse critique ### Question 4.1 On donne les caractéristiques numériques suivantes : * $L = 1,2 \text{ m}$ * $D = 80 \text{ mm} = 0,08 \text{ m}$ * $e = 4 \text{ mm} = 0,004 \text{ m}$ * $E = 210 \text{ GPa} = 210 \times 10^9 \text{ Pa}$ (Acier) * $\text{R}_e = 235 \text{ MPa} = 235 \times 10^6 \text{ Pa}$ Calculer la charge critique de flambement $N_{cr}$. Correction: ** A.N. : $$N_{cr} = \frac{\pi^3 \times (210 \times 10^9) \times (0,08)^3 \times 0,004}{32 \times (1,2)^2}$$ $$N_{cr} = \frac{31,006 \times (210 \times 10^9) \times (5,12 \times 10^{-4}) \times 0,004}{32 \times 1,44}$$ $$N_{cr} = \frac{13292,8}{46,08} \approx 288,4 \times 10^3 \text{ N} = 288,4 \text{ kN}$$ ### Question 4.2 : Analyse critique Un ingénieur affirme que puisque la charge de flambement est de $288 \text{ kN}$, on peut sans risque appliquer un effort de compression de $200 \text{ kN}$ sur ce bras de levier. Discuter cette affirmation au regard des hypothèses de la RDM et des critères de sécurité usuels en conception industrielle. **Correction de l'analyse critique :** L'affirmation de l'ingénieur appellent plusieurs réserves fondamentales : 1. **Coefficient de sécurité :** Un effort de $200 \text{ kN}$ par rapport à une limite critique de $288 \text{ kN}$ conduit à un coefficient de sécurité $s = \frac{288}{200} = 1,44$. En construction mécanique, pour des phénomènes d'instabilité (qui sont catastrophiques car non progressifs), le coefficient de sécurité minimal exigé est généralement de l'ordre de $3$ à $4$. 2. **Domaine de validité de la formule d'Euler :** La formule d'Euler n'est valable que si la contrainte normale de compression reste inférieure à la limite d'élasticité ($\frac{N_0}{S} < \text{R}_e$). Vérifions la section $S$ : $$S \approx \pi D e = \pi \times 0,08 \times 0,004 \approx 1,005 \times 10^{-3} \text{ m}^2$$ Pour $N_0 = 200 \text{ kN}$ : $$\sigma_{\text{comp}} = \frac{200 \times 10^3}{1,005 \times 10^{-3}} \approx 199 \text{ MPa}$$ Cette valeur est très proche de $\text{R}_e = 235 \text{ MPa}$. Il y a donc un risque majeur de **plastification de la section** avant même que le flambement élastique pur ne se produise. 3. **Sollicitations combinées :** En réalité, le bras subit de la flexion et de la torsion en plus de la compression. L'interaction des efforts (flambement + flexion, dit effet $P-\delta$) réduit considérablement la charge critique admissible. Conclusion: ** L'affirmation est fausse et dangereuse. La structure céderait par plastification ou par flambement interactif bien avant d'atteindre les $200 \text{ kN}$.