Cours : Calcul différentiel dans les espaces vectoriels normés

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le cadre general est celui d’espaces vectoriels normés (EVN) sur le corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), de dimensions finies ou infinies selon les besoins, bien que la plupart des théorèmes fondamentaux de ce chapitre nécessitent des espaces de Banach (complets) ou de dimension finie.

1. Dérivabilité et différentiabilité

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-EVN, $\Omega$ un ouvert de $E$, $f : \Omega \to F$ une application, et $a \in \Omega$.

• Définition (Différentiabilité) : L’application $f$ est dite différentiable en $a$ s’il existe une application linéaire continue $L \in \mathcal{L}(E, F)$ et une application $\varepsilon : \Omega \to F$ telles que pour tout $h \in E$ tel que $a+h \in \Omega$ : $f(a+h) = f(a) + L(h) + \|h\_E \varepsilon(h)$ avec $\lim_{h \to 0} \varepsilon(h) = 0_F$. L’application linéaire $L$ est alors unique ; on la note $\text{d}f(a)$ ou $f'(a)$, appelée différentiable de $f$ en $a$.

• Lien avec la dérivée directionnelle : Si $f$ est différentiable en $a$, alors pour tout vecteur $v \in E$, $f$ admet en $a$ une dérivée suivant $v$ notée $\partial_v f(a)$ ou $\text{d}_v f(a)$, définie par : $\partial_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+tv) - f(a)}{t} = \text{d}f(a)(v)$

2. Dérivées partielles et gradient

• Dérivées partielles : Si $E = E_1 \times \dots \times E_p$ est un produit d’EVN, la $i$-ème dérivée partielle de $f$ en $a = (a_1, \dots, a_p)$ est la différentiable (si elle existe) de l’application partielle $x_i \mapsto f(a_1, \dots, x_i, \dots, a_p)$.
• Gradient : Dans le cas où $E$ est un espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ et $F = \mathbb{R}$, le théorème de représentation de Riesz assure l’existence d’un unique vecteur $\nabla f(a) \in E$, appelé gradient, tel que pour tout $h \in E$ : $\text{d}f(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle$

3. Classes de régularité

• On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^0(\Omega, F)$ si elle est continue.
• On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1(\Omega, F)$ si elle est différentiable sur $\Omega$ et si l’application $\text{d}f : \Omega \to \mathcal{L}(E, F)$ est continue.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

1. Théorème de Schwarz (Symétrie des dérivées secondes)

• Énoncé : Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^2$ et $f : \Omega \to \mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^2$. Alors pour tout $(x, y) \in \Omega$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y)$

• Démonstration (Esquisse par double application du TAF) : On introduit la quantité infinitésimale de second ordre pour $h, k \neq 0$ petits : $\Delta(h, k) = f(x+h, y+k) - f(x+h, y) - f(x, y+k) + f(x,y)$ On définit $g(t) = f(x+t, y+k) - f(x+t, y)$. Par le théorème des accroissements finis (TAF) appliqué à $g$ sur $[0, h]$ : $\Delta(h, k) = h \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1 h, y+k) - \frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1 h, y) \right)$ On applique à nouveau le TAF, cette fois par rapport à la seconde variable sur $[0, k]$ : $\Delta(h, k) = hk \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x+\theta_1 h, y+\theta_2 k)$ En procédant de même en inversant l’ordre des applications, on obtient $\Delta(h, k) = hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta'_1 h, y+\theta'_2 k)$. Par continuité des dérivées secondes et passage à la limite lorsque $(h, k) \to (0, 0)$, on conclut à l’égalité. $\blacksquare$

2. Théorème des accroissements finis

• Énoncé : Soient $E, F$ deux $\mathbb{R}$-EVN, $a, b \in E$ avec $a \neq b$. Soit $f : [a, b] \to F$ une application continue sur le segment $[a, b]$, et différentiable sur l’ouvert ]$a, b$[. Alors : $\|f(b) - f(a)\|_F \le \sup_{c \in ]a, b[} \|\text{d}f(c)\|_{\mathcal{L}(E,F)} \|b - a\|_E$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

1. Algorithme de calcul de la différentiable

Pour montrer qu’une application $f : \Omega \subset E \to F$ est différentiable en $a$ et calculer sa différentiable :

1. Candidat (via les dérivées partielles) : Si $E = \mathbb{R}^n$, on calcule les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$.
2. Linéarité candidate : On forme l’application linéaire $L : h = (h_1, \dots, h_n) \mapsto \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.
3. Vérification par la limite : On étudie la quantité $\frac{\|f(a+h) - f(a) - L(h)\|_F}{\|h\|_E}$ lorsque $h \to 0_E$.
4. Conclusion par $\mathcal{C}^1$ : En pratique, on montre souvent que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ en vérifiant la continuité des dérivées partielles, ce qui implique la différentiabilité.

2. Matrice Jacobienne (en dimension finie)

Si $E = \mathbb{R}^n$ et $F = \mathbb{R}^p$, la différentiable $\text{d}f(a)$ est représentée dans les bases canoniques par la matrice jacobienne $J_f(a) \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ :

\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a) & \dots & \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix}$$ ### 3. Règle de chaine (Chain Rule) Soient $U \subset E$, $V \subset F$ des ouverts, $f : U \to V$ et $g : V \to G$ deux applications. Si $f$ est différentiable en $a \in U$ et $g$ est différentiable en $f(a) \in V$, alors l'application composée $g \circ f$ est différentiable en $a$ et : $$\text{d}(g \circ f)(a) = \text{d}g(f(a)) \circ \text{d}f(a)$$ --- ## ⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours 1. **Confondre existence des dérivées partielles et différentiabilité :** Une application peut admettre des dérivées partielles en un point sans y être continue, et donc *a fortiori* sans y être différentiable. *Exemple classique :* $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$. Ses dérivées partielles existent en $(0,0)$, mais $f$ n'y est même pas continue. 2. **Oublier la complétude (Banach) dans les théorèmes d'inversion :** Le théorème d'inversion locale et le théorème des fonctions implicites exigent que les espaces vectoriels normés sous-jacents soient complets (de Banach) lorsque l'on travaille en dimension infinie. En dimension finie, cette propriété est automatique. 3. **Mauvaise manipulation de la norme d'opérateurs :** Pour appliquer le théorème des accroissements finis ou le théorème de point fixe de Picard, il est impératif de majorer correctement la norme subordonnée de la différentiable : $$\|\text{d}f(x)\|_{\mathcal{L}(E,F)} = \sup_{\|h\|_E \le 1} \|\text{d}f(x)(h)\|_F$$ Ne pas confondre avec la simple norme euclidienne des coefficients de la matrice jacobienne.