Cours : Systèmes asservis

Fiche de Cours : Systèmes Asservis (CPGE PSI - Sciences Industrielles pour l’Ingénieur)

1. Introduction et Représentation des Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI)

Un Système Asservi Linéaire Continu Invariant (SLCI) a pour objectif de faire en sorte qu’une grandeur physique de sortie $s(t)$ (ou $S(p)$ ) suive le plus fidèlement possible une grandeur de consigne $e(t)$ (ou $E(p)$ ), malgré les perturbations extérieures.

A. Transformée de Laplace et Fonction de Transfert

La fonction de transfert $H(p)$ d’un SLCI est définie, sous des conditions initiales nulles, par le rapport de la transformée de Laplace de la sortie sur celle de l’entrée : $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$

B. Schémas fonctionnels et mise en cascade / boucle

Mise en cascade (série) : $H(p) = H_1(p) \cdot H_2(p)$
Mise en parallèle : $H(p) = H_1(p) + H_2(p)$
Système à retour (boucle fermée) : Considérons une chaîne directe $A(p)$ et une chaîne de retour $B(p)$ . La fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) notée $F(p)$ s’exprime par la formule de Black : $F(p) = \frac{A(p)}{1 + A(p)B(p)}$ La fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) est définie par : $T(p) = A(p)B(p)$ .

2. Étude des Systèmes Élémentaires

A. Premier ordre

Forme canonique : $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$ $H (p) = \frac{K}{1 + τ p}$
- $K$ : gain statique.
- $\tau$ : constante de temps ( $\text{en s}$ ).
Réponse indicielle (pour un échelon d’amplitude $E_0$ ) : $s(t) = K E_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)u(t)$
Caractéristiques remarquables :
- À $t = \tau$ , $s(\tau) \approx 0{,}63 \cdot K E_0$
- Temps de réponse à 5 % : $t_{r5\%} \approx 3\tau$

B. Second ordre

Forme canonique : $H(p) = \frac{K}{1 + \frac{2z}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$ $H (p) = \frac{K}{1 + \frac{2 z}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}}$
- $\omega_0$ : pulsation propre non amortie ( $\text{en rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ).
- $z$ : coefficient d’amortissement (sans dimension).
Cas selon la valeur de $z$ :
- Si $z > 1$ : Régime apériodique (deux pôles réels négatifs).
- Si $z = 1$ : Régime critique.
- Si $0 < z < 1$ $0 < z < 1$ : Régime pseudo-périodique. Les pôles sont complexes conjugués : $p_1, p_2 = -\sigma \pm j\omega_d$ $p_{1}, p_{2} = - σ \pm j ω_{d}$ .
  - Pulsation propre amortie : $\omega_d = \omega_0 \sqrt{1 - z^2}$
  - Dépassement maximal (pour un échelon) : $D_1 = e^{-\frac{\pi z}{\sqrt{1 - z^2}}}$

3. Stabilité des Systèmes Linéaires

Définition (Stabilité): Un système est dit stable si, pour toute entrée bornée, la sortie est bornée (critère BIBO). En pratique, pour un SLCI, la stabilité ne dépend que des pôles de la FTBF.

A. Théorème fondamental de la stabilité

Un SLCI est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée ont leur partie réelle strictement négative (ils sont situés dans le demi-plan gauche du plan complexe de Laplace).

B. Critère algébrique de Routh (pour les polynômes)

Soit le dénominateur de la FTBF sous forme polynomiale : $D(p) = a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 p + a_0 \quad (\text{avec } a_n > 0)$

Condition nécessaire (mais non suffisante) : Tous les coefficients $a_i$ doivent être de même signe et non nuls.
Construction du tableau de Routh : On construit les lignes à partir des coefficients.
- Si tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont de même signe, le système est stable.
- Le nombre de changements de signe dans la première colonne donne le nombre de pôles à partie réelle strictement positive (instabilité).

4. Performances d’un Système Asservi

Les performances d’un asservissement se jugent selon trois critères : la stabilité (marge), la précision (erreur) et la rapidité.

A. Précision (Erreur statique et dynamique)

On définit l’erreur epsilon par $e_{rr}(t) = consigne(t) - sortie(t)$ . En régime permanent, on utilise le théorème de la valeur finale : $\varepsilon_{+\infty} = \lim_{p \to 0} p \cdot (E(p) - S(p)) = \limits_{t \to +\infty} \varepsilon_{rr}(t)$

Classe d’un système : C’est l’ordre de la multiplicité de l’origine dans la FTBO, c’est-à-dire le nombre d’intégrateurs purs $p$ au dénominateur de $T(p)$ : $T(p) = \frac{N(p)}{p^\alpha \cdot D_0(p)} \quad (\text{avec } D_0(0) \neq 0)$ $\alpha$ est la classe du système.
Tableau récapitulatif des erreurs (écarts) :

Entrée \ Classe	Classe 0	Classe 1	Classe 2 ou plus
Échelon ( $E_0 / p$ )	$\frac{E_0}{1 + K_0}$ (fini)	$0$	$0$
Rampe ( $E_0 / p^2$ )	$+\infty$	$\frac{E_0}{K_v}$ (fini)	$0$
Parabole ( $E_0 / p^3$ )	$+\infty$	$+\infty$	$\frac{E_0}{K_a}$ (fini)

(avec $K_0, K_v, K_a$ respectivement les facteurs de gain de position, vitesse et accélération).

B. Rapidité

Temps de réponse à 5 % ( $t_{r5\%}$ ) : Temps au bout duquel la sortie reste définitivement dans la bande de $\pm 5\%$ de sa valeur finale.
Pour un système du 1er ordre : $t_{r5\%} \approx 3\tau$ .
Pour un second ordre (avec $z < 0.7$ ), on retient souvent l’approximation : $t_{r5\%} \approx \frac{3}{z\omega_0}$ .

C. Stabilité relative : Marges de stabilié (Diagrammes de Bode)

On étudie la FTBO $T(j\omega)$ .

Marge de gain ( $MG$ ) : C’est l’opposé du gain du système (exprimé en dB) lorsque la phase vaut $-180^\circ$ . $MG(\text{en dB}) = -20 \log_{10}(|T(j\omega_{180})|) \quad \text{avec } \arg(T(j\omega_{180})) = -180^\circ$
Marge de phase ( $MP$ ) : C’est l’écart à $-180^\circ$ de la phase lorsque le gain vaut $0\text{ dB}$ (pulsation de coupure à 0 dB, $\omega_c$ ). $MP = 180^\circ + \arg(T(j\omega_c)) \quad \text{avec } |T(j\omega_c)| = 1 \text{ (soit } 0\text{ dB)}$

Critère du revers / Stabilité relative : Pour qu’un système rebouclé soit stable, il faut généralement :

$MG > 6\text{ dB}$

$MP > 45^\circ$

5. Correction des Systèmes

Pour améliorer simultanément la précision, la rapidité et la stabilité, on insère un correcteur $C(p)$ dans la chaîne directe.

Correcteur Proportionnel ( $P$ ) : $C(p) = K_p$
- Effet : Améliore la rapidité et réduit l’erreur statique (augmente le gain $K_0$ ), mais dégrade la marge de phase (risque d’instabilité).
Correcteur Proportionnel Intégrateur ( $PI$ ) : $C(p) = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i p}\right)$
- Effet : Annule l’erreur statique (augmente la classe du système de 1) sans modifier le comportement à haute fréquence, mais apporte un déphasage négatif (diminue la marge de phase).
Correcteur Proportionnel Dérivé ( $PD$ ) : $C(p) = K_p (1 + T_d p)$
- Effet : Apporte un déphasage positif (améliore la stabilité et la marge de phase) et accélère le système. Amplifie cependant le bruit de mesure à haute fréquence.

6. Méthodes et Pièges à Éviter (Spéco PSI)

⚠️ PIÈGES CLASSIQUES / ERREURS À NE PAS COMMETTRE :

Attention aux conditions initiales : La formule $H(p) = S(p)/E(p)$ n’est valable que si les conditions initiales sont nulles ( $s(0^+) = 0$ , $\dot{s}(0^+) = 0$ , etc.). Ne jamais l’écrire directement avec des dérivées non nulles en $t=0$ .

Inversion FTBF / FTBO : Dans le calcul des marges de stabilité, on trace le diagramme de Bode de la FTBO $T(j\omega) = A(p)B(p)$ et non de la FTBF ! C’est une erreur éliminatoire fréquente aux concours.

Unités en Logarithméc (Bode) : Le gain s’exprime en décibels ( $20 \log_{10}$ ), la pulsation en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ sur une échelle logarithmique, et la phase en degrés. Ne mélangez pas radians et degrés.

Ordre de grandeur du dépassement : Un système sans dépassement ( $z \ge 1$ ) est souvent trop lent. Un bon compromis en ingénierie (type placement de pôles) consiste à viser un coefficient d’amortissement $z \approx 0{,}7$ (soit un dépassement d’environ $5\%$ à $10\%$ ).