Exercice 2 : Bernoulli et statique des fluides

Problème guidé : Étude d’un dispositif hydraulique et aérodynamique

Ce problème aborde de manière couplée la statique des fluides (hydrostatique) et la dynamique des fluides parfaits (relation de Bernoulli), deux piliers du programme de physique en BCPST.

Partie I : Étude d’un manomètre en U (Statique des fluides)

On considère un tube en $U$ partiellement rempli d’un liquide manométrique (de masse volumique $\rho_m$ ). Ce tube est branché sur une canalisation horizontale dans laquelle s’écoule un gaz, assimilé à un fluide parfait de masse volumique $\rho_g$ , telle que $\rho_g \ll \rho_m$ .

Le dispositif permet de mesurer la différence de pression entre deux points.

          Gaz (rho_g)
      ====================>
      [Canalisation]
            |
            | (Prise de pression)
            v
         +-----+
         |     |
        _|_   _|_
       /   \ /   \  <-- Liquide (rho_m)
      |     v     |
      |           |
      +-----------+

Rappeler la loi fondamentale de la statique des fluides (LFSF) dans un champ de pesanteur uniforme $\vec{g} = -g \vec{e}_z$ (avec l’axe $z$ orienté verticalement vers le haut).
Exprimer la variation de pression $\Delta P$ entre deux points situés à une même verticale dans un fluide au repos.
Soit $z_1$ et $z_2$ les niveaux de la surface libre du liquide manométrique dans les deux branches du tube en $U$ . En négligeant la variation de pression dans la colonne de gaz entre les deux branches, établir la relation entre la différence de pression $\Delta P = P_A - P_B$ dans la canalisation et la dénivellation $\Delta z = z_2 - z_1$ .

Partie II : Écoulement et théorème de Bernoulli

On s’intéresse maintenant à l’écoulement du gaz dans la canalisation. La canalisation présente un convergent : sa section passe brusquement (ou progressivement) d’une aire $S_1$ à une aire $S_2$ (avec $S_2 < S_1$ ).

Le gaz est supposé incompressible et indilatable (masse volumique $\rho_g = \text{cste}$ ), et l’écoulement est stationnaire, parfait et irrotationnel.

Énoncer le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant en précisants les conditions de validité de ce théorème.
À l’aide de l’équation de conservation de la masse (équation de continuité), exprimer la vitesse $v_2$ du gaz dans la section $S_2$ en fonction de la vitesse $v_1$ dans la section $S_1$ et du rapport des sections $s = S_2 / S_1$ .
En appliquant le théorème de Bernoulli entre le point 1 (section $S_1$ ) et le point 2 (section $S_2$ ), situés sur la même horizontale, établir l’expression de la surpression ou dépression $\Delta P = P_1 - P_2$ en fonction de $\rho_g$ , $v_1$ et $s$ .

Partie III : Couplage et mesure de vitesse (Effet Venturi)

On relie les prises de pression des sections $S_1$ et $S_2$ aux deux branches du tube en $U$ de la Partie I.

Exprimer la vitesse $v_1$ du gaz dans la canalisation en fonction de $\rho_m$ , $\rho_g$ , $g$ , $\Delta z$ (dénivellation du liquide manométrique) et du rapport des sections $s$ .
Analyse critique :
- A-t-on le droit de négliger la masse volumique du gaz $\rho_g$ devant celle du liquide manométrique $\rho_m$ ? Justifier quantitativement avec des ordres de grandeur usuels ( $\rho_g \approx 1{,}2 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$ pour l’air, $\rho_m \approx 1000 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$ pour l’eau).
- Que se passerait-il si l’on augmentait trop la vitesse $v_1$ dans le convergent ? Quel phénomène physique limite la validité du modèle ?

CORRIGÉ ET GUIDAGE PAS À PAS

Partie I : Étude d’un manomètre en U_1. Loi fondamentale de la statique des fluides :

Dans un fluide au repos, soumis à un champ de pesanteur $\vec{g} = -g \vec{e}_z$ , la variation de pression est donnée par : $\text{d}P = \rho \vec{g} \cdot \text{d}\vec{OM}$ Soit sous forme locale : $\vec{\nabla} P = \rho \vec{g}$

Variation de pression verticale : En projetant selon l’axe vertical $(O_z)$ orienté vers le haut ( $\vec{g} = -g \vec{e}_z$ ): $\frac{\text{d}P}{\text{d}z} = -\rho g$ Entre deux zéniths $z_A$ et $z_B$ d’une même colonne de fluide homogène : $P(B) - P(A) = -\rho g (z_B - z_A)$
Calcul de la dénivellation : Puisque le gaz a une masse volumique $\rho_g$ très faible devant celle du liquide manométrique ( $\rho_g \ll \rho_m$ ), on peut négliger la variation de pression dans les colonnes de gaz. Ainsi, la pression au sommet de la branche 1 est égale à $P_1$ , et dans la branche 2 à $P_2$ . En appliquant la LFSF dans le liquide manométrique entre les deux surfaces libres situées aux hauteurs $z_1$ et $z_2$ : $P_{\text{interface, 1}} - P_{\text{interface, 2}} = -\rho_m g (z_1 - z_2)$ Comme les interfaces sont en contact avec le gaz aux pressions $P_1$ et $P_2$ (et que les variations de pression dans le gaz entre la canalisation et les interfaces sont négligeables) : $P_1 - P_2 = \rho_m g (z_2 - z_1) = \rho_m g \Delta z$

Partie II : Éconoulement et théorème de Bernoulli

Théorème de Bernoulli : Le long d’une ligne de courant, pour un écoulement stationnaire, incompressible, d’un fluide parfait et non visqueux, le trinôme de Bernoulli se conserve : $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gz = \text{cste}$
Équation de continuité : Pour un écoulement stationnaire et incompressible, le débit massique (ou volumique) se conserve : $Q_v = S_1 v_1 = S_2 v_2$ On en déduit : $v_2 = \frac{S_1}{S_2} v_1 = \frac{v_1}{s}$ (avec $s = S_2 / S_1 < 1$ ).
Application de Bernoulli : Les points 1 et 2 étant sur la même horizontale ( $z_1 = z_2$ ), la conservation de Bernoulli s’écrit : $P_1 + \frac{1}{2}\rho_g v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho_g v_2^2$ $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho_g (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2}\rho_g v_1^2 \left(\frac{1}{s^2} - 1\right)$

Partie III : Couplage et mesure de vitesse

Expression de la vitesse $v_1$ : En combinant les résultats de la Partie I et de la Partie II : $\Delta P = \rho_m g \Delta z = \frac{1}{2}\rho_g v_1^2 \left(\frac{1}{s^2} - 1\right)$ On isole $v_1$ : $v_1 = \sqrt{\frac{2 \rho_m g \Delta z}{\rho_g \left(\frac{1}{s^2} - 1\right)}}$
Analyse critique :
- Comparaison des masses volumiques : Avec $\rho_g \approx 1{,}2 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$ et $\rho_m \approx 1000 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$ , on a $\rho_g \ll \rho_m$ (un rapport de l’ordre de $10^3$ ). Il est donc tout à fait légitime de négliger le terme $\rho_g$ dans l’expression de la statique des fluides de la partie I (la variation de pression dans les colonnes de gaz est de l’ordre de $\rho_g g \Delta z$ , négligeable devant $\rho_m g \Delta z$ ).
- Limites du modèle (Cavitation / Compressibilité / Viscosité) :
  - Compressibilité : Si la vitesse $v_2$ devient trop importante (généralement si $v_2 > 0{,}3 \, c_{\text{son}}$ , soit environ $100 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ dans l’air), les variations de pression induisent des variations de masse volumique significatives : l’hypothèse de l’incompressibilité du gaz ( $\rho_g = \text{cste}$ ) n’est plus valide.
  - Phénomène de cavitation ou décrochement : Si la vitesse dans le col augmente, $P_2$ chute fortement. Pour un gaz, cela peut mener à des vitesses supersoniques locales (régime bloqué). Si le fluide était un liquide, une pression $P_2$ inférieure à la pression de vapeur saturante provoquerait une vaporisation (cavitation), ruinant l’hypothèse d’un écoulement monophasique parfait.