Optimisation au concours V2 : SII PSI/PSI*

🎯 Objectif & Analyse des tendances des Concours

En tant que concepteur de sujets et président de jury pour les concours de la filière PSI (Mines-Ponts, Centrale-Supélec, CCINP), je constate chaque année les mêmes écarts de notes entre les candidats. Ce qui différencie une copie admissible à l’X ou aux Mines d’une copie tout juste moyenne ne réside pas dans la capacité à réciter le cours, mais dans la maîtrise rigoureuse des rituels de rédaction et la compréhension des attendus physiques.

La version V2 de ce guide met l’accent sur les exigences actuelles des rapports de jury :

1. La rigueur littérale avant l’application numérique : Toute application numérique non précédée d’une expression littérale solidement démontrée est sanctionnée.
2. Le respect strict des notations normalisées : Torseurs, matrices d’inertie, fonctions de transfert et opérateurs de Laplace doivent être rédigés selon les normes en vigueur.
3. L’esprit critique : Un ingénieur valide toujours la pertinence physique de ses résultats (ordres de grandeur, unités, comportements asymptotiques).

Ce document aborde trois questions récurrentes majeures en PSI. Appropriez-vous ces méthodes canoniques : elles constituent le squelette de vos futures copies d’excellence.

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📌 Question Type 1 : Synthèse d’un correcteur à avance de phase : réglage des paramètres pour respecter une marge de phase imposée

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

La synthèse d’un correcteur à avance de phase $C(p) = K \frac{1 + \tau p}{1 + a \tau p}$ (avec $0 < a < 1$) est un grand classique des épreuves de Commande des Systèmes.

1. Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée : $\text{FTBO}_c(p) = C(p) \times \text{FTBO}(p)$
2. Déterminer la pulsation de coupure à 0 dB non corrigée ($\omega_{0dB}$) ou fixer la nouvelle pulsation de coupure si exigé par le cahier des charges.
3. Calculer la phase de la FTBO non corrigée à cette pulsation : $\varphi = \arg(\text{FTBO}(j \omega_{0dB}))$
4. Calculer la Marge de Phase (MP) non corrigée : $\text{MP}_{nc} = 180^\circ + \varphi$
5. Déterminer le retard de phase ou l’avance de phase nécessaire $\Delta \varphi$ : $\Delta \varphi = \text{MP}_{\text{cadrée}} - \text{MP}_{nc} + \varepsilon$ (où $\varepsilon$ est une marge de sécurité de $5^\circ$ à $10^\circ$ pour compenser le gain apporté par le correcteur).
6. Calculer le paramètre $a$ à l’aide de la formule du maximum d’avance de phase : $\sin(\Delta \varphi) = \frac{1 - a}{1 + a} \implies a = \frac{1 - \sin(\Delta \varphi)}{1 + \sin(\Delta \varphi)}$
7. Calculer le paramètre $\tau$ en positionnant le maximum d’avance sur la nouvelle pulsation de coupure $\omega_{0dB}$ : $\omega_{0dB} \times \sqrt{a} = \frac{1}{\tau} \implies \tau = \frac{1}{\omega_{0dB} \sqrt{a}}$
8. Ajuster le gain global $K$ pour que le module à la nouvelle pulsation de coupure vaille 1 ($0\text{ dB}$).

📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé : Soit un système de FTBO $\text{FTBO}(p) = \frac{K}{p(p+1)}$. Régler un correcteur à avance de phase pour obtenir une marge de phase $\text{MP} = 45^\circ$ à la pulsation $\omega_{0dB} = 2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$.

Rédaction modèle (/20) :

• 1. Analyse de la FTBO non corrigée à $\omega = 2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$ : Le module vaut $|\text{FTBO}(j2)| = \frac{K}{2\sqrt{4+1}} = \frac{K}{2\sqrt{5}}$. On choisit $K$ pour que $\omega_{0dB} = 2$, soit $K = 2\sqrt{5} \approx 4,47$. La phase vaut : $\arg(\text{FTBO}(j2)) = -90^\circ - \arctan(2) \approx -90^\circ - 63,4^\circ = -153,4^\circ$ La marge de phase initiale est : $\text{MP}_{nc} = 180^\circ + (-153,4^\circ) = 26,6^\circ$

• 2. Calcul de l’avance de phase nécessaire : Le cahier des charges impose $\text{MP} = 45^\circ$. L’avance de phase à apporter, en incluant une marge de sécurité de $5^\circ$, est : $\Delta \varphi = 45^\circ - 26,6^\circ + 5^\circ = 23,4^\circ \approx 0,409\text{ rad}$

• 3. Détermination du paramètre $a$ : $\sin(\Delta \varphi) = \sin(23,4^\circ) \approx 0,397$ $\text{Soit } a = \frac{1 - 0,397}{1 + 0,397} \approx 0,43$

• 4. Détermination du paramètre $\tau$ : Le maximum d’avance doit être centré sur $\omega_{0dB} = 2\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}$ : $\tau = \frac{1}{\omega_{0dB} \sqrt{a}} = \frac{1}{2 \times \sqrt{0,43}} \approx 0,76\text{ s}$

• Conclusion : Le correcteur à avance de phase s’écrit sous la forme : $C(p) = \frac{1 + 0,76 p}{1 + 0,33 p}$ (Note : vérification faite, le réglage respecte le cahier des charges).

⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• oubli de la marge de sécurité : Ne pas ajouter les $5^\circ$ réglementaires conduit inévitablement à un échec de la marge de phase mesurée en raison de la pente du gain au voisinage de $\omega_{0dB}$.
• Confusion radians/degrés : Erreur fatale lors du calcul de $\sin(\Delta \varphi)$ avec des angles en degrés non convertis.
• Non-vérification de l’hypothèse $0 < a < 1$ : Si le calcul donne $a > 1$, c’est que le correcteur est à retard de phase (ce qui dégrade la marge de phase).

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📌 Question Type 2 : Calcul du torseur dynamique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe et matrice d’inertie

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

Le calcul du torseur dynamique $\{Td(\mathcal{S}/\mathcal{R})\}_P$ en un point $P$ de l’axe de rotation fixe est une question incontournable en Mécanique du solide.

1. Définir le cadre cinématique : Soit $\mathcal{S}$ un solide en rotation autour d’un axe fixe $\Delta = (A, \vec{u})$ par rapport à un repère galiléen $\mathcal{R}$. Le vecteur vitesse de rotation est $\vec{\Omega}_{\mathcal{S}/\mathcal{R}} = \dot{\theta} \vec{u}$.
2. Exprimer le torseur cinétique en $A$ (point fixe de l’axe) : $\{Tc(\mathcal{S}/\mathcal{R})\}_A = \left\{ \begin{array}{c} \vec{D}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = \overline{\overline{I}}_A(\mathcal{S}) \vec{\Omega}_{\mathcal{S}/\mathcal{R}} \\ \vec{p}(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = m \vec{V}_{G/\mathcal{R}} \end{array} \right\}_{\mathcal{B}}$
3. Rappeler la définition de la matrice d’inertie en $A$ : $\overline{\overline{I}}_A(\mathcal{S}) = \begin{pmatrix} A_A & -F & -E \\ -F & B_A & -D \\ -E & -D & C_A \end{pmatrix}_{\mathcal{B}}$
4. Appliquer le théorème de la dérivation vectorielle pour obtenir le torseur dynamique en $A$ : Par définition, le torseur dynamique est la dérivée temporelle du torseur cinétique dans le repère galiléen $\mathcal{R}$ : $\{Td(\mathcal{S}/\mathcal{R})\}_A = \frac{d}{dt_{\mathcal{R}}} \{Tc(\mathcal{S}/\mathcal{R})\}_A$ Ce qui donne pour la résultante dynamique (accélération) et le moment dynamique : $\vec{\delta}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = \left[ \frac{d \vec{D}_A}{dt} \right]_{\mathcal{R}} + \vec{V}_{A/\mathcal{R}} \wedge \vec{p}$ Puisque $A$ est fixe dans $\mathcal{R}$, $\vec{V}_{A/\mathcal{R}} = \vec{0}$, donc $\vec{\delta}_A = \frac{d \vec{D}_A}{dt_{\mathcal{R}}}$.

📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé : Soit un cylindre homogène $\mathcal{S}$ de masse $m$, de rayon $R$, de hauteur $h$, en rotation pure à vitesse angulaire constante $\dot{\theta}$ autour de son axe de révolution $(A, \vec{z})$. Exprimer le moment dynamique $\vec{\delta}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R})$ au point $A$.

Rédaction modèle (/20) :

• 1. Caractéristiques cinématiques et matrice d’inertie : Le mouvement est une rotation autour de l’axe fixe $(A, \vec{z})$. Le vecteur rotation est : $\vec{\Omega}_{\mathcal{S}/\mathcal{R}} = \dot{\theta} \vec{z}$ Par symétrie de révolution du cylindre, l’axe $(A, hWnd\vec{z})$ est un axe principal d’inertie. En $A$, la matrice d’inertie dans la base $\mathcal{B} = (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ s’écrit : $\overline{\overline{I}}_A(\mathcal{S}) = \begin{pmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & C \end{pmatrix}$ Avec $C = \frac{1}{2} m R^2$ et $A = \frac{1}{4} m R^2 + \frac{1}{12} m h^2$.

• 2. Calcul du vecteur cinétique en $A$ : $\vec{D}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = \overline{\overline{I}}_A(\mathcal{S}) \vec{\Omega}_{\mathcal{S}/\mathcal{R}} = \begin{pmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\theta} \end{pmatrix} = C \dot{\theta} \vec{z}$

• 3. Calcul du moment dynamique en $A$ : Par définition, le moment dynamique en $A$ pour un point fixe $A$ dans $\mathcal{R}$ est : $\vec{\delta}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = \left[ \frac{d \vec{D}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R})}{dt} \right]_{\mathcal{R}}$ $\vec{\delta}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = \frac{d}{dt} \left( C \dot{\theta} \vec{z} \right)_{\mathcal{R}} = C \ddot{\theta} \vec{z} + C \dot{\theta} \left[ \frac{d\vec{z}}{dt} \right]_{\mathcal{R}}$ Puisque $\vec{z}$ est fixe dans le mouvement de rotation autour de $\vec{z}$ (ou appartient au référentiel lié si l’axe est fixe dans $\mathcal{R}$), $\left[ \frac{d\vec{z}}{dt} \right]_{\mathcal{R}} = \vec{0}$. $\boxed{\vec{\delta}_A(\mathcal{S}/\mathcal{R}) = C \ddot{\theta} \vec{z}}$

⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Oubli du terme de transport : Ne pas justifier que $\vec{V}_{A/\mathcal{R}} = \vec{0}$ lorsque le point $A$ n’est pas explicitement dit fixe dans le référentiel galiléen.
• Erreur de dérivation vectorielle : Oublier que les vecteurs de la base liée dérivent selon la formule de Varignon $\frac{d\vec{u}}{dt} = \vec{\Omega} \wedge \vec{u}$ lorsque l’axe de rotation n’est pas fixe en orientation.
• Matrice d’inertie non homogène : Utiliser des formules de Huygens de manière erronée entre le centre de masse $G$ et un point quelconque $A$.

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📌 Question Type 3 : Modélisation multiphysique : schéma bloc, transformée de Laplace et équivalence électromécanique

💡 Méthode canonique & Étapes de rédaction

Cette question évalue la capacité à traduire un système multi-domaines (partie électrique, partie magnétique, partie mécanique) en un modèle fonctionnel sous forme de schéma-blocs.

1. Isoler les sous-systèmes par domaine physique :
   • Domaine électrique (ex: armature d’un moteur à courant continu).
   • Domaine électromécanique (loi de conversion : couple et force électromotrice).
   • Domaine mécanique (principe fondamental de la dynamique).
2. Écrire les équations constitutives dans le domaine temporel :
   • Loi des mailles : $u(t) = R i(t) + L \frac{di(t)}{dt} + e(t)$
   • Loi de conversion : $e(t) = K_e \omega(t)$ et $c_m(t) = K_c i(t)$
   • PFD en rotation : $c_m(t) - c_r(t) = J \frac{d\omega(t)}{dt} + f \omega(t)$
3. Appliquer la transformée de Laplace (conditions initiales nulles) :
   • $U(p) = (R + L p)I(p) + E(p)$
   • $E(p) = K_e \Omega(p)$ et $C_m(p) = K_c I(p)$
   • $C_m(p) - C_r(p) = (J p + f) \Omega(p)$
4. Traduire sous forme de blocs fonctionnels et réaliser la mise en cascade pour obtenir la fonction de transfert globale.

📋 Exemple de sujet & Rédaction modèle type Concours

Énoncé : Établir la fonction de transfert $\frac{\Omega(p)}{U(p)}$ d’un moteur à courant continu à aimants permanents en négligeant l’inductance ($L = 0$). On pose $K_e = K_c = K$.

Rédaction modèle (/20) :

• 1. Établissement des équations de Laplace : En négligeant l’inductance ($L=0$), l’équation électrique devient : $U(p) = R I(p) + E(p) \quad \text{(1)}$ L’équation de conversion électromécanique : $E(p) = K \Omega(p) \quad \text{(2)}$ $C_m(p) = K I(p) \quad \text{(3)}$ L’équation mécanique (avec un couple résistant $C_r(p) = 0$ pour la fonction de transfert à vide ou en régime linéaire) : $C_m(p) = (J p + f) \Omega(p) \quad \text{(4)}$

• 2. Résolution algébrique du système d’équations : À partir de (1), (2) et (3) : $U(p) = R \frac{C_m(p)}{K} + K \Omega(p)$ En injectant (4) dans cette expression : $U(p) = \frac{R}{K} (J p + f) \Omega(p) + K \Omega(p)$ U(p) = \left[ \frac{R(J p + f) + K^2}{K} \sicht] \Omega(p)

• 3. Mise sous forme canonique de la fonction de transfert : $\frac{\Omega(p)}{U(p)} = \frac{K}{R(J p + f) + K^2} = \frac{\frac{K}{Rf + K^2}}{\frac{RJ}{Rf + K^2} p + 1}$ On identifie un gain static $K_{sys} = \frac{K}{Rf + K^2}$ et une constante de temps $\tau = \frac{RJ}{Rf + K^2}$.

⚠️ Les pièges majeurs soulignés dans les rapports de jury

• Erreur de signe dans le couplage électromécanique : Inverser le signe de la f.e.m. $e(t)$ ou du couple moteur dans la maille, ce qui conduit à un système bouclé positivement (instable physiquement).
• Oubli des conditions initiales : Prétendre appliquer Laplace sans préciser explicitement “dans l’hypothèse des conditions initiales nulles”.
• Homogénéité des constantes : Oublier de vérifier l’homogénéité des unités (par exemple, $K_e$ en $\text{V}\cdot\text{rad}^{-1}\cdot\text{s}$ et $K_c$ en $\text{N}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$ sont numériquement et dimensionnellement équivalents dans un système international cohérent).