Cours : Probabilités discrètes et variables continues

Probabilités discrètes et variables continues (CPGE - MP)

1. Rappels sur les espaces probabilisés et variables discrètes

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé.

Définition (Variable aléatoire discrète)

Une variable aléatoire réelle $X$ est dite discrète si son image $X(\Omega)$ est finie ou dénombrable, et si pour tout $x \in X(\Omega)$, l’événement $\{X = x\} = X^{-1}(\{x\})$ appartient à la tribu $\mathcal{A}$.

• Loi de $X$ : Déterminée par la data de la famille $(P(X = x))_{x \in X(\Omega)}$.
• Espérance : $X$ admet une espérance si la famille $(x P(X = x))_{x \in X(\Omega)}$ est sommable. On pose alors : $E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x P(X = x)$
• Variance : $X$ admet une variance si $X^2$ admet une espérance (cas où $X \in \mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{A}, P)$) : $V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - (E(X))^2$

---

2. Variables aléatoires à densité

Définition (Variable à densité)

Une variable aléatoire réelle $X$ est dite à densité s’il existe une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ positive, continue par morceaux, telle que pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ (ou plus généralement pour tout borélien), et en particulier pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \leq b$ : $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(t) \, dt$ La fonction $f$ est appelée densité de probabilité de $X$. Elle vérifie nécessairement :

1. $\forall t \in \mathbb{R}, \, f(t) \geq 0$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = 1$ (convergence impropre absolue).

Fonction de répartition

La fonction de répartition de $X$, notée $F_X$, est définie par : $\forall x \in \mathbb{R}, \quad F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt$ Propriétés de $F_X$ :

• $F_X$ est de classe $\mathcal{C}^1$ partout où $f$ est continue.
• $F_X$ est croissante, $\lim_{-\infty} F_X = 0$ et $\lim_{+\infty} F_X = 1$.
• Si $f$ est continue en $x$, alors $F_X'(x) = f(x)$.

---

3. Moments d’une variable à densité

Espérance

Soit $X$ une variable aléatoire à densité de densité $f$. On dit que $X$ admet une espérance (ou est d’ordre 1) si l’intégrale impropre suivante converge absolument : $\int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt \quad \text{converge absolument}$ Le cas échéant, l’espérance est : $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) \, dt$

Théorème de transfert

Si $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continue par morceaux, alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si l’intégrale suivante converge absolument : $\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) f(t) \, dt < +\infty$ Dans ce cas : $E(g(X)) = \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) f(t) \, dt$

Variance

$X$ admet une variance (ordre 2) si $E(X^2)$ existe, c’est-à-dire si $\int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t) \, dt$ converge. $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (t - E(X))^2 f(t) \, dt$

---

4. Lois usuelles (Synthèse)

Loi	Paramètres	Support $X(\Omega)$	Densité $f(t)$ ou Loi $P(X=k)$	Espérance $E(X)$	Variance $V(X)$
Uniforme	$a, b \in \mathbb{R}, a < b$	$[a, b]$	$\frac{1}{b-a} \mathbf{1}_{[a,b]}(t)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
Exponentielle	$\lambda > 0$	$\mathbb{R}_+$	$\lambda e^{-\lambda t} \mathbf{1}_{\mathbb{R}_+}(t)$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
Gaussienne	$\mu \in \mathbb{R}, \sigma > 0$	$\mathbb{R}$	$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$	$\mu$	$\sigma^2$
Bernoulli	$p \in [0, 1]$	$\{0, 1\}$	$P(X=1)=p, P(X=0)=1-p$	$p$	$p(1-p)$
Binomiale	$n \in \mathbb{N}, p \in [0,1]$	$\llbracket 0, n \rrbracket$	$\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
Poisson	$\lambda > 0$	$\mathbb{N}$	$e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$

---

5. Couples de variables aléatoires

Densité conjointe

Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires. $(X, Y)$ admet une densité conjointe $f_{X,Y}$ si pour tout borélien $A$ de $\mathbb{R}^2$ : $P((X,Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy$

• Densités marginales : Si $f_{X,Y}$ est continue par morceaux, les densités de $X$ et $Y$ s’obtiennent par integration : $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dy \quad \text{et} \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x,y) \, dx$

Indépendance

Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si pour tous boréliens $A$ et $B$ : $P(X \in A, Y \in B) = P(X \in A)P(Y \in B)$ Caractérisation pour les densités : $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si l’on a $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$ presque partout.

Covariance et Inégalité de Cauchy-Schwarz

Si $X$ et $Y$ admettent des moments d’ordre 2, la covariance est définie par : $\text{Cov}(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)$

• Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\text{Cov}(X, Y)| \leq \sqrt{V(X)V(Y)}$
• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\text{Cov}(X, Y) = 0$ (la réciproque est fausse).

---

6. Démonstrations et méthodes clés

Démonstration : Positivité de la variance et cas d’égalité

Soit $X \in \mathcal{L}^2$. Posons $\mu = E(X)$. Pour tout réel $t$, considérons $f(t) = E((X - t)^2)$. En développant par linéarité de l’espérance : $f(t) = E(X^2 - 2tX + t^2) = E(X^2) - 2tE(X) + t^2 = t^2 - 2\mu t + E(X^2)$ C’est un polynôme du second degré en $t$ à coefficients réels. Par ailleurs, par positivité de la variable aléatoire $(X-t)^2$, on a : $\forall t \in \mathbb{R}, \quad f(t) \geq 0$ Le discriminant $\Delta$ de ce trinôme doit donc être négatif ou nul : $\Delta = 4\mu^2 - 4E(X^2) \leq 0 \implies \mu^2 \leq E(X^2) \implies V(X) = E(X^2) - \mu^2 \geq 0$ Cas d’égalité : Si $V(X) = 0$, alors $\Delta = 0$, donc le trinôme admet une racine double $t_0 = \mu$. Ainsi $f(\mu) = 0$, c’est-à-dire $E((X - \mu)^2) = 0$. Puisque $(X-\mu)^2$ est une variable positive d’espérance nulle, elle est presque sûrement nulle, donc $X = E(X)$ p.s.

---

Méthode : Calcul de la loi de $Z = X + Y$ (par convolution)

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à densité, indépendantes, de densités respectives $f_X$ et $f_Y$. On cherche la densité de $Z = X + Y$.

1. Par la fonction de répartition : $F_Z(z) = P(X + Y \leq z) = \iint_{x+y \leq z} f_X(x)f_Y(y) \, dx \, dy$
2. Par le théorème de Fubini : $F_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \left( \int_{-\infty}^{z-x} f_Y(y) \, dy \right) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) F_Y(z-x) \, dx$
3. Dérivation (si les densités sont continues) : On dérive $F_Z(z)$ par rapport à $z$ sous le signe intégrale pour obtenir la densité $f_Z$ : $f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx = (f_X * f_Y)(z)$ C’est le produit de convolution des deux densités.