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CPGE Futur

Exercice 1 : Espaces vectoriels normés

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Soit E=C([0,1],R)E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1][0, 1] dans R\mathbb{R}. Pour tout élément f∈Ef \in E, on définit les applications suivantes : N1(f)=∫01∣f(t)∣ dt,N∞(f)=sup⁡t∈[0,1]∣f(t)∣N_1(f) = \int_{0}^{1} |f(t)| \, \text{d}t, \quad N_\infty(f) = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|

L’objectif de ce problème est d’étudier la topologie induite par ces différentes normes sur EE, de comparer leurs propriétés de convergence et d’analyser la continuité d’opérateurs linéaires agissant sur (E,N∞)(E, N_\infty).

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”
  1. Vérification normée : Montrer que N∞N_\infty est une norme sur EE. On admettra que N1N_1 en est une également.
  2. Comparaison de normes : Montrer qu’il existe une constante C>0C > 0 telle que, pour tout f∈Ef \in E, N1(f)≤CN∞(f)N_1(f) \le C N_\infty(f). En déduire que la convergence pour la norme N∞N_\infty implique la convergence pour la norme N1N_1.
  3. Analyse critique et non-équivalence :
    • Construire une suite de fonctions (fn)n∈N∗(f_n)_{n \in \mathbb{N}^\ast} de EE telle que fnf_n converge vers 00 pour la norme N1N_1, mais diverge grossièrement pour la norme N∞N_\infty.
    • Conclure quant à l’existence d’une constante c>0c > 0 telle que N∞(f)≤cN1(f)N_\infty(f) \le c N_1(f) pour tout f∈Ef \in E. Que peut-on dire de la topologie associée sur EE ?
  4. Continuité d’une forme linéaire : On considère l’application φ:(E,N∞)→R\varphi : (E, N_\infty) \to \mathbb{R} définie par φ(f)=∫01tf(t) dt\varphi(f) = \int_{0}^{1} t f(t) \, \text{d}t.
    • Montrer que φ\varphi est linéaire et continue.
    • Déterminer la norme interépandante (ou norme d’opérateur) de φ\varphi, notée ∥φ∥′\|\varphi\|'.

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Pour la séparation, pensez à utiliser la continuité de la fonction ff. Si une fonction est continue et non nulle en un point, elle est non nulle sur un voisinage.
  • Question 2 : Majorez l’intégrale définissant N1(f)N_1(f) en remplaçant la fonction par son supremum sur [0,1][0, 1].
  • Question 3 : Pour exhiber la suite (fn)(f_n), imaginez des pics de hauteur 11 et de largeur tendant vers 00 (par exemple des fonctions triangulaires ou en forme de créneaux).
  • Question 4 : Pour la continuité, majorez ∣φ(f)∣|\varphi(f)| en fonction de N∞(f)N_\infty(f). Pour la norme d’opérateur, trouvez une suite de fonctions qui s’approche du supremum de la définition.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Vérification que N∞N_\infty est une norme sur EE

Section titled “1. Vérification que N∞N_\inftyN∞​ est une norme sur EEE”

Soit f,g∈Ef, g \in E et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.

  • Positivité : Pour tout t∈[0,1]t \in [0, 1], ∣f(t)∣≥0|f(t)| \ge 0, donc par passage au supremum, N∞(f)≥0N_\infty(f) \ge 0.
  • Séparation : Supposons N∞(f)=0N_\infty(f) = 0. Alors sup⁡t∈[0,1]∣f(t)∣=0\sup_{t \in [0, 1]} |f(t)| = 0, ce qui implique que pour tout t∈[0,1]t \in [0, 1], ∣f(t)∣≤0|f(t)| \le 0, soit f(t)=0f(t) = 0. Ainsi, f=0Cf = 0_{\mathcal{C}}. Réciproquement, si f=0f = 0, N∞(0)=0N_\infty(0) = 0.
  • Homogénéité : N∞(λf)=sup⁡t∈[0,1]∣λf(t)∣=∣λ∣sup⁡t∈[0,1]∣f(t)∣=∣λ∣N∞(f)N_\infty(\lambda f) = \sup_{t \in [0, 1]} |\lambda f(t)| = |\lambda| \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)| = |\lambda| N_\infty(f)
  • Inégalité triangulaire : Pour tout t∈[0,1]t \in [0, 1], ∣f(t)+g(t)∣≤∣f(t)∣+∣g(t)∣≤N∞(f)+N∞(g)|f(t) + g(t)| \le |f(t)| + |g(t)| \le N_\infty(f) + N_\infty(g) Le membre de droite est un majorant indépendant de tt. En passant au supremum sur le membre de gauche, il vient : N∞(f+g)≤N∞(f)+N∞(g)N_\infty(f + g) \le N_\infty(f) + N_\infty(g) N∞N_\infty est donc bien une norme sur EE.

2. Comparaison de normes

Section titled “2. Comparaison de normes”

Soit f∈Ef \in E. Pour tout t∈[0,1]t \in [0, 1], on a ∣f(t)∣≤N∞(f)|f(t)| \le N_\infty(f). En intégrant cette inégalité sur [0,1][0, 1] : N1(f)=∫01∣f(t)∣ dt≤∫01N∞(f) dt=N∞(f)∫011 dt=N∞(f)N_1(f) = \int_{0}^{1} |f(t)| \, \text{d}t \le \int_{0}^{1} N_\infty(f) \, \text{d}t = N_\infty(f) \int_{0}^{1} 1 \, \text{d}t = N_\infty(f) On a donc N1(f)≤1⋅N∞(f)N_1(f) \le 1 \cdot N_\infty(f) (avec C=1C = 1). Si une suite (fn)(f_n) converge vers ff pour la norme N∞N_\infty, alors N∞(fn−f)→0N_\infty(f_n - f) \to 0 lorsque n→+∞n \to +\infty. Par l’inégalité précédente : 0≤N1(fn−f)≤N∞(fn−f)→n→+∞00 \le N_1(f_n - f) \le N_\infty(f_n - f) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 Par le théorème des gendarmes, N1(fn−f)→0N_1(f_n - f) \to 0, ce qui signifie que fnf_n converge vers ff pour la norme N1N_1.

3. Analyse critique et non-équivalence

Section titled “3. Analyse critique et non-équivalence”

Pour tout entier n≥1n \ge 1, définissons la fonction continue fnf_n par :

1 - n t & \text{si } t \in [0, \frac{1}{n}] \\ 0 & \text{si } t \in ]\frac{1}{n}, 1] \end{cases}$$ * Calculons $N_1(f_n)$ : $$N_1(f_n) = \int_{0}^{1/n} (1 - nt) \, \text{d}t = \left[ t - \frac{n t^2}{2} \right]_{0}^{1/n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}$$ Ainsi, $\lim_{n \to +\infty} N_1(f_n) = 0$, c'est-à-dire que $f_n \xrightarrow[N_1]{} 0$. * Regardons maintenant la norme $N_\infty$ : $$N_\infty(f_n) = \sup_{t \in [0, 1]} |f_n(t)| = f_n(0) = 1$$ La suite $(N_\infty(f_n))$ diverge vers $1$ (et non vers $0$). Par conséquent, $f_n$ **ne converge pas** vers $0$ pour la norme $N_\infty$. **Conclusion critique :** S'il existait une constante $c > 0$ telle que $N_\infty(f) \le c N_1(f)$ pour tout $f \in E$, alors la convergence en norme $N_1$ impliquerait la convergence en norme $N_\infty$. L'exemple de la suite $(f_n)$ prouve qu'**une telle constante $c$ n'existe pas**. Les normes $N_1$ et $N_\infty$ ne sont donc pas équivalentes sur $E$, la topologie associée à $N_\infty$ étant strictement plus fine que celle associée à $N_1$. #### 4. Continuité d'une forme linéaire * **Linéarité :** Pour tous $f, g \in E$ et tous $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ : $$\varphi(\alpha f + \beta g) = \int_{0}^{1} t (\alpha f(t) + \beta g(t)) \, \text{d}t = \alpha \int_{0}^{1} t f(t) \, \text{d}t + \beta \int_{0}^{1} t g(t) \, \text{d}t = \alpha \varphi(f) + \beta \varphi(g)$$ $\varphi$ est bien linéaire. * **Continuité et norme d'opérateur :** Pour tout $f \in E$ : $$|\varphi(f)| = \left| \int_{0}^{1} t f(t) \, \text{d}t \right| \le \int_{0}^{1} t |f(t)| \, \text{d}t \le \int_{0}^{1} t N_\infty(f) \, \text{d}t = N_\infty(f) \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} N_\infty(f)$$ Cette majoration prouve que $\varphi$ est continue sur $(E, N_\infty)$ et que $\|\varphi\|' \le \frac{1}{2}$. Pour montrer qu'il yogn a égalité, construisons une suite approchant cette borne. Soit $f_k(t) = t^k$ (ou par régularisation, une suite tendant vers la fonction constante $1$). Plus simplement, en considérant le majorant, testons avec la fonction constante $f(t) = 1$ (qui est dans $E$ et vérifie $N_\infty(f) = 1$) : $$\varphi(1) = \int_{0}^{1} t \cdot 1 \, \text{d}t = \frac{1}{2}$$ Puisque $N_\infty(1) = 1$, on a par définition de la norme subordonnée : $$\|\varphi\|' \ge \frac{|\varphi(1)|}{N_\infty(1)} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$$ Finalement, $\|\varphi\|' = \frac{1}{2}$.