Cours : Mécanique des fluides

Fiche de Cours : Mécanique des Fluides (PC - Deuxième année)

Fluide : Milieu continu, déformable, sans rigidité au repos. Un gaz ou un liquide est modélisé par un champ continu de variables intensives.
Approche eulérienne : On étudie le fluide en fixant un point d’observation $\vec{r}$ dans l’espace galiléen et en observant l’évolution temporelle des grandeurs locales : masse volumique $\rho(\vec{r}, t)$ , champ des vitesses $\vec{v}(\vec{r}, t)$ , pression $P(\vec{r}, t)$ , température $T(\vec{r}, t)$ .
Dérivée particulaire (ou totale) : Soit une grandeur physique scalaire ou vectorielle $A(\vec{r}, t)$ transportée par une particule fluide dont la trajectoire est $\vec{r}(t)$ . La variation temporelle subie par cette particule est : $\frac{D A}{D t} = \frac{\partial A}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) A$ (Le terme $\frac{\partial A}{\partial t}$ est la dérivée locale et $(\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) A$ est la dérivée convective).

Condition d’équilibre : Dans un référentiel galiléen, pour un fluide au repos ( $\vec{v} = \vec{0}$ ), l’équation fondamentale de la statique des fluides (exprimée par application du PFD à une particule fluide) s’écrit : $\vec{\nabla} P = \rho \vec{g}$ où $\vec{g}$ est le champ de pesanteur (supposé uniformément vertical : $\vec{g} = -g \vec{e}_z$ ).
Conséquences :
1. Fluide incompressible et homogène ( $\rho = \text{cste}$ ) dans un champ de pesanteur uniforme : $P(z) + \rho g z = P_0 + \rho g z_0 = \text{cste}$ Soit la loi fondamentale de la statique des fluides : $P_2 - P_1 = -\rho g (z_2 - z_1)$ .
2. Atmosphère isotherme ( $T = \text{cste}$ , gaz parfait $\rho = \frac{M P}{R T}$ ) : $P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{M g z}{R T}\right)$

Fluide parfait vs Fluide visqueux : Un fluide est dit parfait si son tenseur des contraintes se réduit à la pression isotrope (absence de frottements visqueux). Il est réel/visqueux si les frottements internes s’opposent au mouvement.
Équation de Navier-Stokes (quantité de mouvement) : Pour un fluide newtonien, incompressible ( $\rho = \text{cste}$ ) et de viscosité dynamique $\eta$ constante, l’application du PFD à un volume de contrôle conduit à : $\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \vec{\nabla}) \vec{v} \right) = -\vec{\nabla} P + \eta \Delta \vec{v} + \rho \vec{g}$
Nombre de Reynolds ( $\text{Re}$ ) : Grandeur sans dimension caractérisant le régime d’écoulement : $\text{Re} = \frac{\rho V L}{\eta} = \frac{V L}{\nu}$ $Re = \frac{ρ V L}{η} = \frac{V L}{ν}$ avec $V$ $V$ une vitesse caractéristique, $L$ $L$ une dimension caractéristique de l’obstacle ou de la conduite, et $\nu = \frac{\eta}{\rho}$ $ν = \frac{η}{ρ}$ la viscosité cinématique.
- Si $\text{Re} \ll 1$ : Régime de Stokes (laminaire visqueux prédominant, inertie négligeable).
- Si $\text{Re} \gg 1$ : Régime d’Euler (effets visqueux négligeables sauf aux parois, écoulement potentiel).

Équation de continuité (conservation de la masse) : $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0$ Pour un fluide incompressible ( $\rho = \text{cste}$ ), cela se simplifie en : $\vec{\nabla} \cdot \vec{v} = 0 \quad (\text{écoulement isovolume})$ En régime stationnaire et monodimensionnel (dans un tube de courant de section $S(x)$ ), cela donne la conservation du débit volumique $D_v$ : $v_1 S_1 = v_2 S_2 = D_v = \text{cste}$
Théorème de Bernoulli (première forme - le long d’une ligne de courant) : Pour un écoulement stationnaire, parfait, incompressible et soumis à des forces conservatives ( $\vec{g} = -\vec{\nabla}(gz)$ ), le long d’une même ligne de courant : $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gz = \text{cste}$
Théorème de Bernoulli généralisé (entre deux points 1 et 2 d’une même ligne de courant) : En présence de forces de viscosité (pertes de charge volumiques ou par unité de volume notées $\delta W_{\text{nc}}$ ou $P_{\text{ch}}$ ) : $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g z_2 + \Delta P_{\text{charge}}$

Méthode 1 : Appliquer le théorème de Bernoulli
1. Identifier un système (le fluide) stationnaire.
2. Définir des lignes de courant pertinentes.
3. Choisir deux points $1$ et $2$ judicieusement (par exemple : un point de surface libre où la pression est la pression atmosphérique $P_0$ et la vitesse quasi-nulle, et un point de sortie de tuyère).
4. Écrire la conservation de Bernoulli et exploiter l’équation de continuité si les sections varient.
Méthode 2 : Traiter un écoulement laminaire stationnaire (Ex: Poiseuille)
1. Poser les symétries et invariances du champ de vitesse ( $\vec{v} = v(r) \vec{e}_z$ en coordonnées cylindriques).
2. Simplifier l’équation de Navier-Stokes (termes convectifs nuls en stationnaire/rectiligne, $\frac{\partial P}{\partial z} = \text{cste}$ ).
3. Intégrer par rapport à la variable d’espace avec les conditions aux limites (condition de non-glissement à la paroi : $\vec{v}_{\text{paroi}} = \vec{0}$ ).

Oublier les hypothèses de Bernoulli : Ne jamais appliquer Bernoulli si le fluide est visqueux (sauf si l’on introduit explicitement les pertes de charge), ou si l’écoulement est instationnaire, ou entre deux points n’appartenant pas à la même ligne de courant (sauf si l’écoulement est irrotationnel partout).
Erreur de signe avec la pression et l’altitude : Dans l’équation de la statique, $\frac{d P}{d z} = -\rho g$ (si $z$ est orienté vers le haut). La pression diminue quand l’altitude augmente.
Confusion sur la nature des vitesses : Dans l’équation de continuité $v_1 S_1 = v_2 S_2$ , $v$ représente la vitesse moyenne sur la section $S$ si le profil n’est pas uniforme (comme dans Poiseuille où $v$ est maximale au centre).
Dimension des pertes de charge : Veiller à homogénéiser les termes de Bernoulli. Soit tout exprimer en pressions (Pa), soit en hauteurs de colonne de fluide (m).