Cours : Statique des solides

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

A. Modélisation géométrique et cinématique

La statique des solides indéformables étudie l’équilibre mécanique des systèmes dans un référentiel galiléen. Un solide $\mathcal{S}$ est dit indéformable si, pour tout couple de points $(M, N)$ appartenant à $\mathcal{S}$, la distance $PM = \| \vec{MN} \}$ est constante au cours du temps.

B. Torseurs des actions mécaniques (TAM)

Une action mécanique extérieure exercée par un milieu $\mathcal{E}$ sur un solide $\mathcal{S}$ est modélisée par un torseur, noté $\{\mathcal{T}_{\mathcal{E}\to\mathcal{S}}\}$. En tout point $A$, ce torseur se réduit à :

$\{\mathcal{T}_{\mathcal{E}\to\mathcal{S}}\}_A = \begin{Bmatrix} \vec{R}_{\mathcal{E}\to\mathcal{S}} \\ \vec{M}_{A,\mathcal{E}\to\mathcal{S}} \end{Bmatrix}_A$

• $\vec{R}_{\mathcal{E}\to\mathcal{S}}$ est la résultante du torseur (en $\text{N}$).
• $\vec{M}_{A,\mathcal{E}\to\mathcal{S}}$ est le moment du torseur au point $A$ (en $\text{N}\cdot\text{m}$).

Propriété de transport du moment : Soit $A$ et $B$ deux points de l’espace. Le moment en $B$ se déduit du moment en $A$ par la relation de transport : $\vec{M}_{B,\mathcal{E}\to\mathcal{S}} = \vec{M}_{A,\mathcal{E}\to\mathcal{S}} + \vec{BA} \land \vec{R}_{\mathcal{E}\to\mathcal{S}}$

C. Notion d’isolement d’un système

Isoler un système, c’est définir précisément la frontière du système $\mathcal{S}$ étudié. Le bilan des actions mécaniques extérieures (BAMEx) consiste à recenser tous les torseurs $\{\mathcal{T}_{i\to\mathcal{S}}\}$ appliqués par le milieu extérieur $\mathcal{E}$ sur $\mathcal{S}$.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

A. Principe Fondamental de la Statique (PFS)

Un solide $\mathcal{S}$ est dit en équilibre dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}_g$ si et seulement si la somme de tous les torseurs des actions mécaniques extérieures appliquées à $\mathcal{S}$ est nulle en tout point $A$ :

$\sum_{\text{i}} \{\mathcal{T}_{i\to\mathcal{S}}\} = \{\mathbf{0}\}$

Ce qui se traduit analytiquement en tout point $A$ par deux équations vectorielles :

1. Équation de la résultante : $\sum_{\text{i}} \vec{R}_{i\to\mathcal{S}} = \vec{0}$
2. Équation du moment : $\sum_{\text{i}} \vec{M}_{A, i\to\mathcal{S}} = \vec{0}$

B. Théorème de la Résultante Statique (TRS) et du Moment Statique (TMS)

• TRS (Projection vectorielle ou scalaire) : La somme vectorielle des forces extérieures est nulle. $\sum \vec{F}_{\text{ext}\to\mathcal{S}} = \vec{0}$
• TMS (en un point $A$) : La somme vectorielle des moments des forces extérieures en $A$ est nulle. $\sum \vec{M}_{A}(\text{ext}\to\mathcal{S}) = \vec{0}$

C. Théorème des 3 forces (Cas particulier fondamental)

Énoncé : Si un solide $\mathcal{S}$, soumis à l’action de trois forces extérieures $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$ et $\vec{F}_3$ (non parallèles) agissant en des points distincts ou concourants, est en équilibre, alors :

1. Les droites d’action de ces trois forces sont coplanaires.
2. Leurs droites d’action sont concourantes en un même point $I$ (ou strictement parallèles).

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💡 3. Méthodes classiques de résolution

Pour résoudre un problème de statique des solides en PTSI, la démarche rigoureuse suivante doit être systématiquement appliquée :

1. Isolant : Définir clairement le système $\mathcal{S}$ isolé (un solide ou un ensemble de solides).
2. Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAMEx) : Lister toutes les actions exercées par le milieu extérieur sur le système isolé en utilisant les modèles de liaisons normalisées (pivot, glissière, rotule, etc.).
3. Référentiel : Préciser que le problème est résolu dans un référentiel galiléen.
4. Application du PFS : Écrire les équations scalaires issues du TRS et du TMS.
   • Astuce de projection : Choisir judicieusement le point d’application du TMS (par exemple, un point d’intersection de plusieurs droites d’action de forces inconnues pour éliminer ces dernières du calcul).
5. Résolution du système d’équations : Résoudre le système algébrique (nombre d’équations vs nombre d’inconnues statiques). Un système est dit isostatique si le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations indépendantes. Il est hyperstatique si le nombre d’inconnues est supérieur (nécessité d’utiliser des équations de comportement élastique ou des conditions géométriques supplémentaires).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Oubli du sens ou du type de liaison : Ne pas confondre une liaison avec frottement et une liaison parfaite (sans frottement). Dans une liaison parfaite, la composante tangentielle de l’effort est nulle.
• Erreur de transport de moment : Appliquer la relation de transport $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{BA} \land \vec{R}$ en inversant les vecteurs de position ($\vec{AB}$ au lieu de $\vec{BA}$).
• Incompatibilité des dimensions : Écrire une équation vectorielle ou scalaire en mélangeant des moments ($\text{N}\cdot\text{m}$) et des forces ($\text{N}$).
• Mauvais choix du point d’application pour le TMS : Choisir un point $A$ quelconque qui n’annule aucun moment inconnu, alourdissant inutilement le système d’équations algébriques.
• Oubli de la pesanteur : Négliger l’action de la pesanteur (poids du solide) lorsque l’énoncé précise explicitement que la masse du solide n’est pas nulle et que ses dimensions ou sa masse le justifient.