Exercice 1 : Produit matriciel et inversibilité

PROBLÈME GUIDÉ : Étude de l’inversibilité de matrices dépendant de paramètres et commutativité

Filière : MPSI
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Calcul matriciel et systèmes
Thème : Produit matriciel, inversibilité et relations de commutation

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Énoncé

Dans tout le problème, $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels, et $I_n$ la matrice identité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Le problème se propose d’étudier l’inversibilité de matrices construites à l’aide de relations algébriques non triviales, de déterminer le commutant de certaines matrices et d’analyser une approximation numérique d’inverse de matrice, tout en soulevant les limites de la modélisation informatique.

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Questions

Partie I : Une relation polynomiale et inversibilité

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3 - 3A^2 + 2I_n = 0$.

1. Montrer que $A$ est inversible et exprimer son inverse $A^{-1}$ sous forme d’un polynôme en $A$.
2. Déterminer les valeurs propres complexes possibles de la matrice $A$ (on pourra utiliser le fait que pour tout polynôme $P$ et toute valeur propre $\lambda$ de $A$, $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(A)$).
3. On suppose désormais que $n=2$ et que $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Vérifier que $A$ satisfait la relation précédente. Construire une matrice $B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ non nulle telle que $AB = BA$ sans être un polynôme en $A$ de degré $\le 2$ (on cherchera $B$ sous la forme d’un polynôme en $A$ ou d’une combinaison linéaire simple). Plus précisément, déterminer explicitement le commutant de $A$, noté $\mathcal{C}(A)$.

Partie II : Perturbation d’une matrice inversible et limite du modèle

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible et $H \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice de perturbation. On souhaite approcher l’inverse de $M + H$.

4. On suppose que la norme subordonnée de $H$ vérifie $\|H\| < \|M^{-1}\|^{-1}$. Établir que la matrice $I_n + M^{-1}H$ est inversible. En déduire que $M+H$ est inversible et que son inverse peut se développer sous la forme d’une série de Neumann : $(M+H)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k (M^{-1}H)^k M^{-1}$
5. Application numérique et analyse critique : On considère $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \end{pmatrix}$ et $H = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \end{pmatrix}$. Calculer $(M+H)^{-1}$. Que remarquez-vous sur l’ordre de grandeur des coefficients de la matrice inverse par rapport à $H$ ? Discuter des limites de ce modèle d’inversion en arithmétique finie (ordinateurs).

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Pistes et Indications

• Q1 : Factorisez le polynôme $X^3 - 3X^2 + 2$ dans $\mathbb{R}[X]$. Isolez l’identité $I_n$ pour faire apparaître un facteur commun $A$.
• Q2 : Si $\lambda$ est valeur propre de $A$ associée à un vecteur non nul $X$, appliquez l’égalité polynomiale à $X$.
• Q3 : Pour trouver le commutant de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, écrivez une matrice $B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ et résolvez le système linéaire découlant de $AB = BA$.
• Q4 : Pensez à l’identité algébrique $(I_n - X)\sum_{k=0}^N X^k = I_n - X^{N+1}$. Utilisez la convergence de la série géométrique matricielle lorsque $\|X\| < 1$.
• Q5 : Calculez explicitement $M+H$, son inverse, et observez le conditionnement de la matrice $M$.

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Corrigé

Partie I : Une relation polynomiale et inversibilité

1. Inversibilité et expression de $A^{-1}$ : On factorise le polynôme $P(X) = X^3 - 3X^2 + 2$. Remarquons que $P(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Par division euclidienne ou identification : $X^3 - 3X^2 + 2 = (X - 1)(X^2 - 2X - 2)$ La matrice $A$ vérifiant $A^3 - 3A^2 + 2I_n = 0$, on a : $A^3 - 3A^2 = -2I_n \iff A(A^2 - 3A) = -2I_n \iff A \left( -\frac{1}{2} (A^2 - 3A) \right) = I_n$ Ainsi, $A$ est inversible et son inverse est : $A^{-1} = -\frac{1}{2}(A^2 - 3A) = \frac{3}{2}I_n - \frac{1}{2}A$

2. Valeurs propres de $A$ : Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X \neq 0$ un vecteur propre associé. On a $AX = \lambda X$. En appliquant la relation polynomiale à $X$, on obtient : $(A^3 - 3A^2 + 2I_n)X = 0 \implies (\lambda^3 - 3\lambda^2 + 2)X = 0$ Comme $X \neq 0$, nécessairement $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 2 = 0$. Les valeurs propres de $A$ sont donc racines du polynôme $P(X)$, c’est-à-dire $1$ et $1 \pm \sqrt{3}$.

3. Calcul du commutant pour $n=2$ : Soit $B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Calculons les produits : $AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+z & y+t \\ 2z & 2t \end{pmatrix}$ $BA = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & x + 2y \\ z & z + 2t \end{pmatrix}$ La condition $AB = BA$ donne le système : $\begin{cases} x+z = x \\ y+t = x+2y \\ 2z = z \\ 2t = z + 2t \end{cases} \iff \begin{cases} z = 0 \\ x = t - y \\ z = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ Ainsi, $z = 0$ et $x = t-y$, ce qui signifie que $B$ est de la forme : $B = \begin{pmatrix} t-y & y \\ 0 & t \end{pmatrix} = (t-y)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ Le commutant $\mathcal{C}(A)$ est donc l’espace vectoriel engendré par $I_2$ et $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Puisque tout polynôme en $A$ s’exprime comme une combinaison linéaire de $I_2$ et $A$ (le polynôme minimal de $A$ étant scindé à racines simples $X(X-1)(X-2)$ ou via Cayley-Hamilton sur un polynôme de degré 2), et que $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, on constate que $\mathcal{C}(A)$ est de dimension 2, ce qui montre que le commutant contient des matrices qui ne sont pas de simples polynômes en $A$ (ou que les polynômes se réduisent à une forme spécifique).

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Partie II : Perturbation d’une matrice inversible et limite du modèle

4. Série de Neumann : Si $\|M^{-1}H\| < 1$, la matrice $X = -M^{-1}H$ vérifie $\|X\| < 1$. Il est connu (cours d’analyse/algébre linéaire sur les normes matricielles) que $I_n - X = I_n + M^{-1}H$ est inversible et que son inverse s’exprime comme la somme de la série géométrique : $(I_n + M^{-1}H)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k (M^{-1}H)^k$ Or, $M + H = M(I_n + M^{-1}H)$. Comme produit de matrices inversibles, $M+H$ est inversible et : $(M+H)^{-1} = (I_n + M^{-1}H)^{-1} M^{-1} = \left( \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k (M^{-1}H)^k \right) M^{-1}$

5. Application numérique et analyse critique : Calculons $M+H$ : $M+H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 10^{-6} \end{pmatrix}$ Son inverse est immédiat : $(M+H)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} 10^{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5 \cdot 10^{5} \end{pmatrix}$

   Analyse critique des limites du modèle : La perturbation $H$ est extrêmement petite ($\|H\| = 10^{-6}$), pourtant elle entraîne une modification gigantesque sur le coefficient $(2,2)$ de l’inverse (qui passe de $10^6$ à $5 \cdot 10^5$, soit une variation de l’ordre de $5 \cdot 10^5$).

   • Conditionnement : Le nombre de conditionnement de la matrice $M$ (pour la norme subordonnée infinie, $\text{cond}(M) = \|M\| \|M^{-1}\|$) vaut ici $1 \times 10^6 = 10^6$.
   • Limite informatique : En arithmétique à virgule flottante (précision machine $\varepsilon_{\text{mach}} \approx 10^{-16}$ pour le double standard), une matrice mal conditionnée amplifie considérablement les erreurs d’arrondi. Si $H$ représente une erreur de mesure ou d’arrondi, l’erreur relative sur le calcul de l’inverse est multipliée par le conditionnement. Le modèle théorique de Neumann garantit mathématiquement l’inversibilité, mais l’évaluation numérique par ordinateur devient numériquement instable pour des matrices de grand conditionnement, rendant les résultats aberrants si l’on ne recourt pas à des méthodes de régularisation ou à une arithmétique de plus haute précision.