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CPGE Futur

Exercice 2 : Oscillateurs harmoniques et amortis

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

Le présent problème s’intéresse à la modélisation et à l’étude dynamique d’un dispositif mécanique amorti, configuration classique rencontrée dans les systèmes d’suspension et les capteurs inertiels.

On considère un point matériel MM de masse mm, astreint à se déplacer sur un axe horizontal (O,u⃗x)(\text{O}, \vec{u}_x) muni d’un repère galiléen R(O,u⃗x,u⃗y,u⃗z)\mathcal{R}(\text{O}, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z). Ce point est attaché à l’extrémité d’un ressort idéal de raideur kk et de longueur à vide l0l_0. L’autre extrémité du ressort est fixée à une paroi rigide.

Le système est en outre soumis à une force de frottement fluide de type aérodynamique, modélisée par f⃗=−hv⃗\vec{f} = -h \vec{v}, où v⃗\vec{v} est le vecteur vitesse de MM dans R\mathcal{R} et h>0h > 0 une constante positive. Enfin, une force extérieure de commande, notée F⃗ext(t)=F0cos⁡(ωt)u⃗x\vec{F}_{\text{ext}}(t) = F_0 \cos(\omega t) \vec{u}_x (avec F0F_0 et ω\omega des constantes positives), s’exerce sur le point MM.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Section titled “❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)”
  1. Cinématique et bilan des forces : Déterminer la position d’équilibre statique du système, notée xeqx_{\text{eq}}, en l’absence de force extérieure et de frottement. Établir l’expression vectorielle et algébrique des forces s’exerçant sur MM pour une position quelconque x(t)x(t).
  2. Établissement de l’équation différentielle : En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) au point MM dans le référentiel galiléen R\mathcal{R}, montrer que l’écart X(t)=x(t)−xeqX(t) = x(t) - x_{\text{eq}} vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants de la forme : d2Xdt2+2λdXdt+ω02X=F0mcos⁡(ωt)\frac{\text{d}^2 X}{\text{d}t^2} + 2\lambda \frac{\text{d}X}{\text{d}t} + \omega_0^2 X = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) Exprimer les grandeurs caractéristiques ω0\omega_0 (pulsation propre) et λ\lambda (coefficient d’amortissement) en fonction de mm, kk et hh. Préciser leurs dimensions et unités légales.
  3. Étude du régime libre (amorti) : On suppose dans cette question que la force extérieure est nulle (F0=0F_0 = 0). Le système est lâché sans vitesse initiale depuis une position initiale X(0)=X0>0X(0) = X_0 > 0.
    • Établir l’équation caractéristique associée.
    • On se place dans le régime pseudo-périodique, caractérisé par une condition portant sur λ\lambda et ω0\omega_0 que l’on précisera. Déterminer l’expression de X(t)X(t) dans ce régime.
    • Définir la pseudo-période TT du mouvement et exprimer le décrément logarithmique δ\delta défini par δ=ln⁡(X(t)X(t+T))\delta = \ln\left(\frac{X(t)}{X(t+T)}\right).
  4. Réponse harmonique forcée et résonance : On réactive la force extérieure (F0≠0F_0 \neq 0) et l’on étudie le régime permanent établi. Par une méthode complexe, déterminer l’amplitude complexe X‾m\underline{X}_m de l’élongation X(t)X(t), puis son module XmX_m et sa phase ϕ\phi par rapport à l’excitation.
  5. Analyse critique du modèle :
    • Déterminer la pulsation de résonance en amplitude ωr\omega_r (pulsation pour laquelle l’amplitude XmX_m est maximale) et exprimer la condition d’existence de cette résonance.
    • Discuter les limites physiques du modèle choisi pour de très grandes amplitudes ou de très grandes vitesses (validité de la loi de Hooke et du frottement linéaire).

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Pour la force de rappel élastique, projetez soigneusement le vecteur position OM⃗=xu⃗x\vec{OM} = x \vec{u}_x et rappelez que la force s’exerce toujours dans le sens tendant à ramener le ressort à sa longueur à vide.
  • Question 2 : L’utilisation de la variable centrée X(t)=x(t)−xeqX(t) = x(t) - x_{\text{eq}} permet d’éliminer le terme constant issu de la tension du ressort à l’équilibre.
  • Question 3 : Résolvez l’équation différentielle homogène en posant X‾(t)=Aert\underline{X}(t) = A e^{rt}. Discutez le signe du discriminant pour identifier le régime pseudo-périodique.
  • Question 4 : Utilisez la notation complexe X‾(t)=X‾mejωt\underline{X}(t) = \underline{X}_m e^{j\omega t} et F‾ext(t)=F0mejωt\underline{F}_{\text{ext}}(t) = \frac{F_0}{m} e^{j\omega t}. Identifiez l’analogie avec un filtre linéaire de fonction de transfert.
  • Question 5 : Dérivez l’expression de Xm(ω)X_m(\omega) par rapport à ω\omega ou étudiez le carré de l’amplitude pour trouver ωr\omega_r. Pour l’analyse critique, pensez aux domaines de validité des lois phénoménologiques en physique macroscopique.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Cinématique et bilan des forces

Section titled “1. Cinématique et bilan des forces”

Le point MM est repéré par sa position OM⃗(t)=x(t)u⃗x\vec{OM}(t) = x(t) \vec{u}_x. Le ressort a une longueur à vide l0l_0 et son point d’attache fixe est situé à l’origine O\text{O}. La force de rappel élastique exercée par le ressort sur MM s’écrit : F⃗el=−k(x−l0)u⃗x\vec{F}_{\text{el}} = -k (x - l_0) \vec{u}_x La force de frottement fluide est : f⃗=−hv⃗=−hdxdtu⃗x\vec{f} = -h \vec{v} = -h \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \vec{u}_x La force extérieure est : F⃗ext=F0cos⁡(ωt)u⃗x\vec{F}_{\text{ext}} = F_0 \cos(\omega t) \vec{u}_x Le poids P⃗=mg⃗\vec{P} = m\vec{g} et la réaction normale du support N⃗\vec{N} se compensent exactement (P⃗+N⃗=0⃗\vec{P} + \vec{N} = \vec{0}) puisque le mouvement est strictement horizontal.

À l’équilibre statique (dxdt=0\frac{\text{d}x}{\text{d}t} = 0, d2xdt2=0\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} = 0, F⃗ext=0⃗\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}), la résultante des forces est nulle : −k(xeq−l0)u⃗x=0⃗  ⟹  xeq=l0-k (x_{\text{eq}} - l_0) \vec{u}_x = \vec{0} \implies x_{\text{eq}} = l_0

2. Établissement de l’équation différentielle

Section titled “2. Établissement de l’équation différentielle”

Appliquons le PFD à MM dans le référentiel galiléen R\mathcal{R} : md2xdt2u⃗x=F⃗el+f⃗+F⃗extm \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} \vec{u}_x = \vec{F}_{\text{el}} + \vec{f} + \vec{F}_{\text{ext}} En projetant sur l’axe (O,u⃗x)(\text{O}, \vec{u}_x) : md2xdt2=−k(x−l0)−hdxdt+F0cos⁡(ωt)m \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} = -k(x - l_0) - h \frac{\text{d}x}{\text{d}t} + F_0 \cos(\omega t) Introduisons la variable X(t)=x(t)−xeq=x(t)−l0X(t) = x(t) - x_{\text{eq}} = x(t) - l_0. Comme l0l_0 est une constante, on a dXdt=dxdt\frac{\text{d}X}{\text{d}t} = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} et d2Xdt2=d2xdt2\frac{\text{d}^2X}{\text{d}t^2} = \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}. L’équation devient : md2Xdt2+hdXdt+kX=F0cos⁡(ωt)m \frac{\text{d}^2X}{\text{d}t^2} + h \frac{\text{d}X}{\text{d}t} + kX = F_0 \cos(\omega t) En divisant par mm : d2Xdt2+hmdXdt+kmX=F0mcos⁡(ωt)\frac{\text{d}^2 X}{\text{d}t^2} + \frac{h}{m} \frac{\text{d}X}{\text{d}t} + \frac{k}{m} X = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) Par identification, on pose :

  • ω0=km\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} : pulsation propre, homogène à du (s)−1(\text{s})^{-1}.
  • 2λ=hm  ⟹  λ=h2m2\lambda = \frac{h}{m} \implies \lambda = \frac{h}{2m} : coefficient d’amortissement, homogène à du (s)−1(\text{s})^{-1}.

L’équation s’écrit bien : d2Xdt2+2λdXdt+ω02X=F0mcos⁡(ωt)\frac{\text{d}^2 X}{\text{d}t^2} + 2\lambda \frac{\text{d}X}{\text{d}t} + \omega_0^2 X = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t)

3. Étude du régime libre (amorti)

Section titled “3. Étude du régime libre (amorti)”

Avec F0=0F_0 = 0, l’équation homogène associée est : d2Xdt2+2λdXdt+ω02X=0\frac{\text{d}^2 X}{\text{d}t^2} + 2\lambda \frac{\text{d}X}{\text{d}t} + \omega_0^2 X = 0 L’équation caractéristique associée est : r2+2λr+ω02=0r^2 + 2\lambda r + \omega_0^2 = 0 Le discriminant réduit est Δ′=λ2−ω02\Delta' = \lambda^2 - \omega_0^2. Le régime est pseudo-périodique si les racines sont complexes conjuguées, ce qui correspond à un amortissement faible devant la raideur, soit Δ′<0  ⟺  λ<ω0\Delta' < 0 \iff \lambda < \omega_0.

Les racines sont alors : r1,r2=−λ±jωpr_1, r_2 = -\lambda \pm j \omega_p où ωp=ω02−λ2\omega_p = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2} est la pulsation propre amortie.

La solution générale s’écrit sous la forme réelle : X(t)=e−λt(Acos⁡(ωpt)+Bsin⁡(ωpt))X(t) = e^{-\lambda t} \left( A \cos(\omega_p t) + B \sin(\omega_p t) \right) où AA et BB sont des constantes déterminées par les conditions initiales :

  1. X(0)=X0  ⟹  A=X0X(0) = X_0 \implies A = X_0
  2. dXdt∣t=0=0  ⟹  −λA+ωpB=0  ⟹  B=λωpX0\left.\frac{\text{d}X}{\text{d}t}\right|_{t=0} = 0 \implies -\lambda A + \omega_p B = 0 \implies B = \frac{\lambda}{\omega_p} X_0

La solution complète est donc : X(t)=X0e−λt(cos⁡(ωpt)+λωpsin⁡(ωpt))X(t) = X_0 e^{-\lambda t} \left( \cos(\omega_p t) + \frac{\lambda}{\omega_p} \sin(\omega_p t) \right)

La pseudo-période est T=2πωpT = \frac{2\pi}{\omega_p}. Le décrément logarithmique δ\delta vaut : δ=ln⁡(X(t)X(t+T))=ln⁡(e−λte−λ(t+T))=ln⁡(eλT)=λT=2πλωp\delta = \ln\left(\frac{X(t)}{X(t+T)}\right) = \ln\left(\frac{e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda(t+T)}}\right) = \ln(e^{\lambda T}) = \lambda T = \frac{2\pi \lambda}{\omega_p}

4. Réponse harmonique forcée et résonance

Section titled “4. Réponse harmonique forcée et résonance”

On cherche la solution particulière en notation complexe en associant à l’excitation F0mcos⁡(ωt)\frac{F_0}{m} \cos(\omega t) la grandeur complexe f‾(t)=F0mejωt\underline{f}(t) = \frac{F_0}{m} e^{j\omega t}. L’équation devient : d2X‾dt2+2λdX‾dt+ω02X‾=F0mejωt\frac{\text{d}^2 \underline{X}}{\text{d}t^2} + 2\lambda \frac{\text{d}\underline{X}}{\text{d}t} + \omega_0^2 \underline{X} = \frac{F_0}{m} e^{j\omega t} En cherchant une solution sous la forme X‾(t)=X‾mejωt\underline{X}(t) = \underline{X}_m e^{j\omega t}, les dérivées successives amènent : (−ω2+2jλω+ω02)X‾m=F0m\left( -\omega^2 + 2j\lambda\omega + \omega_0^2 \right) \underline{X}_m = \frac{F_0}{m} L’amplitude complexe est donc : X‾m=F0/mω02−ω2+2jλω\underline{X}_m = \frac{F_0 / m}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2j\lambda\omega} Le module de cette amplitude (amplitude réelle du mouvement permanent) est : Xm=∣X‾m∣=F0/m(ω02−ω2)2+(2λω)2X_m = |\underline{X}_m| = \frac{F_0 / m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\lambda\omega)^2}} La phase ϕ=arg⁡(X‾m)\phi = \arg(\underline{X}_m) est donnée par : tan⁡ϕ=−2λωω02−ω2\tan \phi = \frac{-2\lambda\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}

5. Analyse critique du modèle

Section titled “5. Analyse critique du modèle”

  • Recherche de la pulsation de résonance en amplitude ωr\omega_r : L’amplitude Xm(ω)X_m(\omega) est maximale lorsque le dénominateur est minimal. Posons g(ω)=(ω02−ω2)2+4λ2ω2g(\omega) = (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\lambda^2\omega^2. Dérivons g(ω)g(\omega) par rapport à ω\omega : g′(ω)=2(−2ω)(ω02−ω2)+8λ2ω=4ω[ω2−ω02+2λ2]g'(\omega) = 2(-2\omega)(\omega_0^2 - \omega^2) + 8\lambda^2\omega = 4\omega \left[ \omega^2 - \omega_0^2 + 2\lambda^2 \right] L’annulation de la dérivée pour une pulsation non nulle donne : ωr2=ω02−2λ2\omega_r^2 = \omega_0^2 - 2\lambda^2 Cette résonance en amplitude existe si et seulement si ωr2>0\omega_r^2 > 0, soit λ<ω02\lambda < \frac{\omega_0}{\sqrt{2}} (condition d’amortissement suffisamment faible). Si cette condition n’est pas remplie, l’amplitude est maximale pour ω=0\omega = 0 (pas de résonance).

  • Analyse critique du modèle physique :

    1. L’élasticité linéaire (loi de Hooke) : Le terme −k(x−l0)-k(x-l_0) suppose un ressort idéal valable uniquement pour des déformations modérées. Si l’amplitude XmX_m devient très grande, on sort du domaine de validité élastique (limite d’élasticité, non-linéarités géométriques et matérielles).
    2. Le frottement fluide linéaire : Le terme −hv⃗-h\vec{v} modélise correctement les écoulements à bas nombre de Reynolds (régime linéaire de Stokes). Pour des vitesses élevées (v⃗\vec{v} grand), les forces aérodynamiques deviennent quadratiques (régime de Newton, en −γ∥v⃗∥v⃗-\gamma \|\vec{v}\|\vec{v}), ce qui invalide l’équation linéaire et nécessite des méthodes de résolution non-linéaires (perturbations ou intégration numérique).