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CPGE Futur

Exercice 1 : Différentiabilité et matrice jacobienne

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Étude de cas”

Dans le cadre de la modélisation thermodynamique d’un réacteur chimique diphasique, on s’intéresse à la transformation d’un vecteur d’état représentant les concentrations de réactifs et les températures locales. Pour optimiser le rendement énergétique du procédé, les ingénieurs cherchent à linéariser le comportement du système autour d’un point de fonctionnement stationnaire.

Soit Ω=]0,+∞[2×]0,Tmax⁡[\Omega = ]0, +\infty[^2 \times ]0, T_{\max}[ l’ouvert de R3\mathbb{R}^3 représentant l’espace des paramètres physiques accessibles (concentrations molaires normalisées x,yx, y et température absolue TT). On définit l’application F:Ω→R2F : \Omega \to \mathbb{R}^2 modélisant le flux de matière net par : F(x,y,T)=(f1(x,y,T)f2(x,y,T))=(k0 x y exp⁡(−EaRT)−QVxk0 x y exp⁡(−EaRT)−(QV+kd)y)F(x, y, T) = \begin{pmatrix} f_1(x, y, T) \\ f_2(x, y, T) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_0 \, x \, y \, \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right) - \frac{Q}{V} x \\ k_0 \, x \, y \, \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right) - \left(\frac{Q}{V} + k_d\right) y \end{pmatrix}

où :

  • k0>min(Pratiques)k_0 > \text{min}(\text{Pratiques}) est le facteur pré-exponentiel d’Arrhenius (s−1\text{s}^{-1}).
  • Ea>0E_a > 0 est l’énergie d’activation (J⋅mol−1\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}).
  • RR est la constante gaz parfaits (J⋅mol−1⋅K−1\text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
  • Q/V>0Q/V > 0 est le taux de renouvellement volumique (s−1\text{s}^{-1}).
  • kd>0k_d > 0 est la constante de désactivation thermique (s−1\text{s}^{-1}).

Note de modélisation et esprit critique : La loi d’Arrhenius exp⁡(−Ea/RT)\exp(-E_a / RT) est une approximation empirique valable pour des régimes thermiques modérés. En cas d’emballement thermique (T→Tmax⁡T \to T_{\max}), cette modélisation diverge physiquement car elle néglige la fusion des parois ou la déplétion totale des sites réactifs. Les ingénieurs doivent donc valider la pertinence du modèle local uniquement sur un domaine restreint de température ΔT\Delta T.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Régularité et calculs formels Justifier que l’application FF est de classe C1\mathcal{C}^1 sur Ω\Omega. Expliciter les dérivées partielles premières de f1f_1 et f2f_2 par rapport à xx, yy et TT.

  2. Matrice Jacobienne Écrire la matrice jacobienne JF(x,y,T)J_F(x, y, T) de l’application FF en tout point (x,y,T)∈Ω(x, y, T) \in \Omega.

  3. Linéarisation et point de fonctionnement On considère un point de fonctionnement stationnaire M0=(x0,y0,T0)M_0 = (x_0, y_0, T_0) tel que F(M0)=0F(M_0) = \mathbf{0}. Écrire l’approximation affine de FF au voisinage de M0M_0. Quel est l’intérêt pratique d’une telle matrice en automatique et régulation industrielle ?

  4. Analyse critique des sensibilités On pose Ea=80 000 J⋅mol−1E_a = 80 \, 000 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}, R=8,314 J⋅mol−1⋅K−1R = 8{,}314 \, \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, et T0=400 KT_0 = 400 \, \text{K}. Évaluer l’ordre de grandeur du terme ∂partialT[exp⁡(−EaRT)]T=T0\frac{\partial}{\\partial T}\left[\exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right)\right]_{T=T_0}. Conclure quantitativement sur la sensibilité extrême du réacteur face à de légères fluctuations thermiques.

💡 Pistes & Indications

Section titled “💡 Pistes & Indications”
  • Q1 : Utilisez les théorèmes généraux de régularité (somme, produit, composition de fonctions usuelles de classe C∞\mathcal{C}^\infty).
  • Q2 : La matrice jacobienne est de taille 2×32 \times 3. Veillez à bien ranger les lignes (fonctions f1,f2f_1, f_2) et les colonnes (variables x,y,Tx, y, T).
  • Q3 : Rappelez le théorème des accroissements finis ou l’inégalité des accroissements finis pour justifier l’erreur commise lors de l’approximation linéaire ΔF≈JF(M0)ΔM\Delta F \approx J_F(M_0) \Delta M.
  • Q4 : Calculez explicitement la dérivée par rapport à TT de l’exponentielle d’Arrhenius et faites l’application numérique. Discutez de l’impact d’une variation de ±1 ∘C\pm 1\,^{\circ}\text{C} sur le système.

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

Section titled “📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats”

1. Régularité de FF

Section titled “1. Régularité de FFF”

Les fonctions f1f_1 et f2f_2 sont composées et produits de :

  • Fonctions polynômes en xx et yy (qui sont C∞\mathcal{C}^\infty sur R2\mathbb{R}^2).
  • L’application T \mapsto \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\end{right) qui est C∞\mathcal{C}^\infty sur ]0,Tmax⁡[]0, T_{\max}[ car le dénominateur ne s’annule pas et l’exponentielle est de classe C∞\mathcal{C}^\infty sur R\mathbb{R}.

Par conséquent, FF est de classe C1\mathcal{C}^1 (et même C∞\mathcal{C}^\infty) sur l’ouvert Ω\Omega.

Calculons les dérivées partielles : ∂f1∂x=k0 y exp⁡(−EaRT)−QV,∂f1∂y=k0 x exp⁡(−EaRT),∂f1∂T=k0 x y EaRT2exp⁡(−EaRT)\frac{\partial f_1}{\partial x} = k_0 \, y \, \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right) - \frac{Q}{V}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y} = k_0 \, x \, \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right), \quad \frac{\partial f_1}{\partial T} = k_0 \, x \, y \, \frac{E_a}{R T^2} \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right)

∂f2∂x=k0 y exp⁡(−EaRT),∂f2∂y=k0 x exp⁡(−EaRT)−(QV+kd),∂f2∂T=k0 x y EaRT2exp⁡(−EaRT)\frac{\partial f_2}{\partial x} = k_0 \, y \, \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right), \quad \frac{\partial f_2}{\partial y} = k_0 \, x \, \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right) - \left(\frac{Q}{V} + k_d\right), \quad \frac{\partial f_2}{\partial T} = k_0 \, x \, y \, \frac{E_a}{R T^2} \exp\left(-\frac{E_a}{R T}\right)

2. Matrice Jacobienne

Section titled “2. Matrice Jacobienne”

La matrice jacobienne est de format 2×32 \times 3 :

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