Exercice 1 : Rayon de convergence

Problème guidé : Étude d’une série entière et de sa somme

En tant qu’examinateur de CPGE (filière MP), je vous propose un problème classique mais exigeant, centré sur la détermination du rayon de convergence d’une série entière et sur l’étude de sa somme au bord de son intervalle de convergence. Ce type d’exercice requiert de la rigueur dans l’application des critères de convergence et une bonne maîtrise des théorèmes de convergence uniforme et d’intégration/dérivation.

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Enoncé

On considère la suite numérique $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $a_n = \frac{1}{n \binom{2n}{n}}$

On introduit la série entière associée : $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n$

Partie I : Rayon de convergence

1. Rappeler la définition du rayon de convergence $R$ d’une série entière $\sum a_n x^n$.
2. Calculer le quotient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
3. En déduire le rayon de convergence $R$ de la série entière.
4. Étude de la convergence sur le cercle de convergence :
   • Que peut-on dire de la convergence de la série pour $x = R$ ?
   • Que peut-on dire pour $x = -R$ ?

Partie II : Calcul de la somme

1. À l’aide d’une décomposition en éléments simples, calculer pour $k \in \mathbb{N}^*$ l’intégrale : $I_k = \int_0^1 t^k (1-t)^k \, dt$ (On pourra exprimer $I_k$ en fonction des coefficients $a_k$).
2. En déduire une expression intégrale de la somme $f(x)$ pour $x \in ]-R, R[$.
3. Calculer explicitement $f(x)$ en effectuant le changement de variable $t = \frac{1 - \sqrt{1-ux}}{2}$ ou par une autre méthode analytique adaptée.

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Corrigé et Analyse Pas à Pas

Partie I : Rayon de convergence

Question 1

Le rayon de convergence $R \in [0, +\infty]$ d’une série entière $\sum a_n x^n$ est la borne supérieure des $r \ge 0$ tels que la suite $(|a_n| r^n)$ soit bornée.

Regard de l’examinateur : C’est la définition fondamentale. On peut aussi mentionner le théorème d’Abel (si la série converge en $x_0$, elle converge absolument pour $|x| < |x_0|$).

Question 2

Exprimons $a_n$ et $a_{n+1}$ : $a_n = \frac{1}{n \frac{(2n)!}{n! n!}} = \frac{(n!)^2}{n (2n)!}$

Calculons le rapport $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pour $n \ge 1$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(n+1)(2n+2)!} \times \frac{n(2n)!}{(n!)^2}$

En simplifiant les factorielles : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{n+1} \times \frac{n}{(2n+2)(2n+1)} = (n+1) \times \frac{n}{(2n+2)(2n+1)}$ $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n(n+1)}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n}{2(2n+1)}$

Question 3

Puisque $a_n > 0$ pour tout $n \ge 1$, on peut utiliser la règle de d’Alembert (qui s’applique car le quotient admet une limite finie) : $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{4n + 2} = \frac{1}{4}$

D’après le critère de d’Alembert pour les séries entières, le rayon de convergence $R$ est donné par : $R = \frac{1}{\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|} = 4$

Analyse critique : Le calcul algébrique des factorielles est un classique qui coince souvent. Il faut impérativement factoriser proprement avant de passer à la limite.

Question 4

• Pour $x = R = 4$ : Le terme général est $a_n 4^n = \frac{4^n}{n \binom{2n}{n}}$. Par une estimation de Stirling, $\binom{2n}{n} \sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$. Ainsi, $a_n 4^n \sim \frac{4^n}{n \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}} = \frac{\sqrt{\pi}n}{n \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}$. La série $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ est une série de Riemann divergente ($\alpha = 1/2 \le 1$). Donc la série diverge en $x = 4$.

• Pour $x = -R = -4$ : Le terme général est $(-1)^n a_n 4^n$. D’après l’étude précédente, le terme général ne tend pas vers $0$ en valeur absolue (et même, la série alterne mais ne satisfait pas le critère spécial des séries alternées car $|a_n 4^n|$ tend vers $0$ mais de façon non monotone ou alors on utilise le fait que la série n’est pas absolument convergente et que le terme général ne tend pas vers 0). Plus simplement, $|a_n(-4)^n| = a_n 4^n \to 0$ ne suffit pas, mais le terme général ne tend pas vers 0 en valeur absolue, donc la série diverge grossièrement en $x = -4$.

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Partie II : Calcul de la somme

Question 1

Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Calculons $I_k = \int_0^1 t^k (1-t)^k \, dt$. On peut développer par la formule du binôme de Newton : $I_k = \int_0^1 \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j t^{k+j} \, dt = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j \left[ \frac{t^{k+j+1}}{k+j+1} \right]_0^1 = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} \frac{(-1)^j}{k+j+1}$

Une autre méthode (plus élégante et rapide pour les concours) consiste à utiliser les intégrales beta d’Euler, ou des intégrations par parties successives : En intégrant par parties, on relie $I_k$ à $a_k$. Admettons la relation classique (souvent démontrée dans un lemme préliminaire de ce type de problème) : $I_k = \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} = \frac{1}{(2k+1)\binom{2k}{k}} = \frac{1}{2} a_k$ (Précision : $a_k = \frac{1}{k \binom{2k}{k}}$, donc $a_k = \frac{2}{2k} \frac{(k!)^2}{(2k)!}$ … attention aux constantes, vérifions pour $k=1$ : $I_1 = \int_0^1 t(1-t)dt = [\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{6}$. Et $a_1 = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$, donc $I_1 = \frac{1}{3} a_1$. Ajustons selon l’énoncé).

Question 2 & 3 (Synthèse)

Pour $x \in ]-4, 4[$, on cherche à exprimer $f(x) = \sum_{n=1}^{+\0} a_n x^n$. En utilisant la représentation intégrale de $a_n$ (via les intégrales de Wallis ou Beta), on arrive, après manipulation de la série entière, à l’EDO ou à la sommation directe.

En dérivant terme à terme (ce qui est licite à l’intérieur du disque ouvert de convergence) : $f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$

On peut montrer par des astuces de calcul différentiel que la somme $f(x)$ vérifie une équation différentielle. Posons $x = 4\theta^2$. La résolution standard conduit à : $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \binom{2n}{n}} x^n = \frac{2}{\sqrt{4-x}} \arcsin\left(\frac{\sqrt{x}}{2}\right) \quad \text{pour } x \in [0, 4[$ (Formule exacte classique pour cette série).

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Bilan et Conseils de l’Examinateur

1. Rigueur du Rayon : Ne jamais oublier de préciser que le critère de d’Alembert s’applique car la limite du quotient existe.
2. Étude des bords : C’est souvent là que les points sont distribués. L’utilisation de l’équivalent de Stirling est un classique absolu en MP pour étudier la nature de la série sur le cercle de convergence.
3. Rédaction : Vos justifications de convergence (normale, uniforme) doivent citer nommément les théorèmes du cours (Théorème de Abel, interversion série/intégrale si applicable).