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CPGE Futur

Cours : Équations de Maxwell et propagation

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Section titled “📌 1. Définitions & Cadre d’étude”

Le cadre d’etude est celui de la mecanique des fluides et de l’electromagnetisme continus dans le referentiel galileen RR. Les champs macroscopiques E⃗(M,t)\vec{E}(M, t) (champ electrique) et B⃗(M,t)\vec{B}(M, t) (champ magnetique) sont des fonctions de classe C1C^1 sur l’espace-temps R4\mathbb{R}^4.

Les sources du champ electromagnetique sont la densite volumique de charge ρ(M,t)\rho(M, t) et la densite volumique de courant j⃗(M,t)\vec{j}(M, t).

Les equations de Maxwell locales s’ecrivent :

  • Maxwell-Gauss (MG) : div(E⃗)=ρε0\text{div}(\vec{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
  • Maxwell-Thomson (MT) : div(B⃗)=0\text{div}(\vec{B}) = 0
  • Maxwell-Faraday (MF) : rot(E⃗)=−∂B⃗∂t\text{rot}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  • Maxwell-Ampre (MA) : rot(B⃗)=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\text{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Avec les constantes universelles ε0\varepsilon_0 (permittivite dielectrique du vide) et μ0\mu_0 (permeabilite magnetique du vide), liees a la celerite de la lumiere cc par la relation : c=1μ0ε0c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Section titled “📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés”

Conservation de la charge (Equation de continuite)

Section titled “Conservation de la charge (Equation de continuite)”

L’application de l’operateur divergence a l’equation de Maxwell-Ampre, combinee a Maxwell-Gauss, conduit a l’equation de conservation de la charge : div(j⃗)+∂ρ∂t=0\text{div}(\vec{j}) + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

Equations d’onde dans le vide (ρ=0\rho = 0, j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0})

Section titled “Equations d’onde dans le vide (ρ=0\rho = 0ρ=0, j⃗=0⃗\vec{j} = \vec{0}j​=0)”

Demontrons que le champ E⃗\vec{E} verifie une equation de d’alembertienne. En prenant le rotationnel de l’equation de Maxwell-Faraday : rot(rot(E⃗))=rot(−∂B⃗∂t)\text{rot}(\text{rot}(\vec{E})) = \text{rot}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)

En utilisant l’identite vectorielle rot(rot(E⃗))=grad(div(E⃗))−ΔE⃗\text{rot}(\text{rot}(\vec{E})) = \text{grad}(\text{div}(\vec{E})) - \Delta \vec{E}, et en inversant les derivees spatiale et temporelle dans le membre de droite : grad(div(E⃗))−ΔE⃗=−∂∂t(rot(B⃗))\text{grad}(\text{div}(\vec{E})) - \Delta \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\text{rot}(\vec{B}))

Dans le vide, div(E⃗)=0\text{div}(\vec{E}) = 0 (Maxwell-Gauss) et rot(B⃗)=μ0ε0∂E⃗∂t\text{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} (Maxwell-Ampre). On obtient l’equation d’onde de d’Alembert : ΔE⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=0⃗\Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} Soit : ΔE⃗−1c2∂2E⃗∂t2=0⃗\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}

Une demarche strictement identique conduit a l’equation d’onde pour le champ magnetique : ΔB⃗−1c2∂2B⃗∂t2=0⃗\Delta \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = \vec{0}

Structure de l’onde plane progressive harmonique (OPPH)

Section titled “Structure de l’onde plane progressive harmonique (OPPH)”

On considere une onde se propageant selon la direction u⃗x\vec{u}_x. Les champs dependent uniquement de (x,t)(x, t). Les equations de Maxwell imposent la structure suivante pour le triad (E⃗,B⃗,u⃗x)(\vec{E}, \vec{B}, \vec{u}_x) :

  1. E⃗\vec{E} et B⃗\vec{B} sont orthogonaux a la direction de propagation u⃗x\vec{u}_x (ondes transverses).
  2. B⃗=1cu⃗x∧E⃗\vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u}_x \land \vec{E} (structure plane progressive).

💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Section titled “💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes”

  • Utilisation du formalisme complexe : Pour l’etude des OPPH, on pose E⃗‾(M,t)=E⃗‾0exp⁡(j(ωt−k⃗⋅M⃗))\underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{\vec{E}}_0 \exp(j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{M})). Les operateurs se traduisent ainsi :

    • ∂∂t↔jω\frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow j\omega
    • grad↔−jk⃗\text{grad} \leftrightarrow -j\vec{k}
    • div↔−jk⃗⋅\text{div} \leftrightarrow -j\vec{k}\cdot
    • rot↔−jk⃗∧\text{rot} \leftrightarrow -j\vec{k}\land

  • Resolution des equations de propagation :

    1. Ecrire les equations de Maxwell dans le milieu considere (vide, conducteur, dielectrique).
    2. Decoupler les champs E⃗\vec{E} et B⃗\vec{B} via l’application successive d’un rotationnel ou par le formalisme complexe.
    3. Identifier la vitesse de phase vϕ=ωkv_\phi = \frac{\omega}{k} et eventuellement le coefficient d’attenuation si le milieu est conducteur.
    4. Appliquer les conditions aux limites (continuité des composantes tangentielles de E⃗\vec{E} et B⃗\vec{B}).

⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

Section titled “⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours”
  • Oubli de la validite des regimes : Ne jamais appliquer les equations de l’approximation des régimes quasi-permanents (ARQP) (rot(B⃗)≈μ0j⃗\text{rot}(\vec{B}) \approx \mu_0 \vec{j}) lorsqu’on etudie la propagation d’ondes a haute frequence. Le terme de courant de deplacement ε0∂E⃗∂t\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est preponderant en propagation.
  • Homogeneite des relations : Verifier systematiquement les dimensions lors des manipulations vectorielles. Par exemple, rot\text{rot} ajoute un ordre de derivee spatiale (dimension L−1L^{-1}).
  • Confusion sur la polarisation : Une onde rectiligne n’est pas necessairement circulaire. Bien verifier la nature de la phase entre les composantes selon u⃗y\vec{u}_y et u⃗z\vec{u}_z.
  • Sens de propagation : Dans exp⁡(j(ωt±kx))\exp(j(\omega t \pm kx)), le signe −- associe a kxkx correspond a une propagation dans le sens des xx croissants, et vice-versa.