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CPGE Futur

Cours : Physique quantique et Électromagnétisme

Fiche de Cours : Physique quantique et Électromagnétisme

Section titled “Fiche de Cours : Physique quantique et Électromagnétisme”

Niveau: ** Mathématiques, Physique et Informatique (MPI) - 2ème année
Matière : Physique-Chimie

Introduction et motivations

Section titled “Introduction et motivations”

Ce chapitre fait la jonction entre l’électromagnétisme macoroscopique (équations de Maxwell) et la description microscopique quantique. Il s’agit d’étudier le comportement d’une particule chargée soumise à un champ électromagnétique dans le cadre de la mécanique quantique non relativiste (équation de Schrödinger).

1. Rappels d’électromagnétisme et potentiels

Section titled “1. Rappels d’électromagnétisme et potentiels”

Dans un référentiel galiléen, le champ électrique E⃗\vec{E} et le champ magnétique B⃗\vec{B} dérivent de potentiels scalaire VV et vecteur A⃗\vec{A} par les relations de jauge : B⃗=rot⃗ A⃗\vec{B} = \vec{\text{rot}}\,\vec{A} E⃗=−grad⃗ V−∂A⃗∂t\vec{E} = -\vec{\text{grad}}\,V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

Ces grandeurs sont indissociables en physique quantique, comme le met en évidence l’effet Aharonov-Bohm.

2. Hamiltonien d’une particule chargée en champ électromagnétique

Section titled “2. Hamiltonien d’une particule chargée en champ électromagnétique”

2.1. Approche classique (Lagrangienne / Hamiltonienne)

Section titled “2.1. Approche classique (Lagrangienne / Hamiltonienne)”

Pour une particule de masse mm et de charge qq (avec q=−eq = -e pour l’électron), la fonction de Lagrange s’écrit : L(r⃗,r⃗˙,t)=12mr⃗˙ 2−qV(r⃗,t)+qr⃗˙⋅A⃗(r⃗,t)L(\vec{r}, \dot{\vec{r}}, t) = \frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^{\,2} - qV(\vec{r}, t) + q\dot{\vec{r}} \cdot \vec{A}(\vec{r}, t)

Le moment canonique p⃗\vec{p} associé à la position r⃗\vec{r} est défini par : p⃗=∂L∂r⃗˙=mr⃗˙+qA⃗\vec{p} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{r}}} = m\dot{\vec{r}} + q\vec{A}

On en déduit la vitesse : r⃗˙=p⃗−qA⃗m\dot{\vec{r}} = \frac{\vec{p} - q\vec{A}}{m}

L’hamiltonien H=p⃗⋅r⃗˙−LH = \vec{p} \cdot \dot{\vec{r}} - L s’exprime alors en fonction du moment canonique p⃗\vec{p} : H(r⃗,p⃗,t)=12m(p⃗−qA⃗(r⃗,t))2+qV(r⃗,t)H(\vec{r}, \vec{p}, t) = \frac{1}{2m} \left( \vec{p} - q\vec{A}(\vec{r}, t) \right)^2 + qV(\vec{r}, t)

2.2. Passage à la mécanique quantique (Principe de correspondance)

Section titled “2.2. Passage à la mécanique quantique (Principe de correspondance)”

Par quantification canonique, les observables position r⃗^\hat{\vec{r}} et moment canonique p⃗^\hat{\vec{p}} vérifient les relations de commutation canonique : [r^i,p^j]=iℏδijI^[\hat{r}_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij} \hat{I}

Dans la représentation position, l’opérateur moment canonique est p⃗^=−iℏgrad⃗\hat{\vec{p}} = -i\hbar \vec{\text{grad}}. L’hamiltonien quantique de la particule est l’opérateur : H^=12m(−iℏgrad⃗−qA⃗(r⃗^,t))2+qV(r⃗^,t)\hat{H} = \frac{1}{2m} \left( -i\hbar \vec{\text{grad}} - q\vec{A}(\hat{\vec{r}}, t) \right)^2 + qV(\hat{\vec{r}}, t)

3. Équation de Schrödinger en présence de champ électromagnétique

Section titled “3. Équation de Schrödinger en présence de champ électromagnétique”

L’évolution de la fonction d’onde ψ(r⃗,t)\psi(\vec{r}, t) de la particule est régie par l’équation de Schrödinger dépendant du temps : iℏ∂ψ∂t=H^ψ=[12m(−iℏgrad⃗−qA⃗)2+qV]ψi\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi = \left[ \frac{1}{2m} \left( -i\hbar \vec{\text{grad}} - q\vec{A} \right)^2 + qV \right] \psi

3.1. Développement du carré de l’opérateur

Section titled “3.1. Développement du carré de l’opérateur”

Il est crucial de tenir compte de la non-commutativité entre grad⃗\vec{\text{grad}} et A⃗\vec{A}. En effet, A⃗\vec{A} dépend de la position. Développons le terme cinétique : (−iℏgrad⃗−qA⃗)2ψ=(−iℏgrad⃗−qA⃗)⋅(−iℏgrad⃗ψ−qA⃗ψ)\left( -i\hbar \vec{\text{grad}} - q\vec{A} \right)^2 \psi = \left( -i\hbar \vec{\text{grad}} - q\vec{A} \right) \cdot \left( -i\hbar \vec{\text{grad}}\psi - q\vec{A}\psi \right)

En appliquant les opérateurs et en remarquant que div⃗(A⃗ψ)=(div⃗ A⃗)ψ+A⃗⋅grad⃗ψ\vec{\text{div}}(\vec{A}\psi) = (\vec{\text{div}}\,\vec{A})\psi + \vec{A} \cdot \vec{\text{grad}}\psi, on obtient (en choisissant la jauge de Coulomb div⃗ A⃗=0\vec{\text{div}}\,\vec{A} = 0) : H^ψ=(−ℏ22mΔ−qmA⃗⋅(−iℏgrad⃗)+q22mA⃗2+qV)ψ\hat{H}\psi = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta - \frac{q}{m}\vec{A} \cdot (-i\hbar \vec{\text{grad}}) + \frac{q^2}{2m}\vec{A}^2 + qV \right) \psi

4. Effet Zeeman et moment magnétostatique

Section titled “4. Effet Zeeman et moment magnétostatique”

Considérons un électron (q=−eq = -e) placé dans un champ magnétique uniforme constant B⃗=B0e⃗z\vec{B} = B_0 \vec{e}_z. On choisit la jauge de Coulomb avec le potentiel vecteur : A⃗=12B⃗∧r⃗\vec{A} = \frac{1}{2} \vec{B} \wedge \vec{r}

L’hamiltonien s’écrit : H^=p⃗^ 22m+e2mB⃗⋅(r⃗^∧p⃗^)+e28m(B⃗∧r⃗^)2+V(r^)\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^{\,2}}{2m} + \frac{e}{2m} \vec{B} \cdot (\hat{\vec{r}} \wedge \hat{\vec{p}}) + \frac{e^2}{8m} (\vec{B} \wedge \hat{\vec{r}})^2 + V(\hat{r})

En reconnaissant l’opérateur moment cinétique orbital L⃗^=r⃗^∧p⃗^\hat{\vec{L}} = \hat{\vec{r}} \wedge \hat{\vec{p}}, le terme linéaire en B⃗\vec{B} s’écrit : H^M=e2mB⃗⋅L⃗^=−μ⃗^L⋅B⃗\hat{H}_M = \frac{e}{2m} \vec{B} \cdot \hat{\vec{L}} = -\hat{\vec{\mu}}_L \cdot \vec{B}

Où mu⃗^L=−e2mL⃗^\hat{\vec{mu}}_L = -\frac{e}{2m}\hat{\vec{L}} est le moment magnétique orbital associé à la particule chargée.

  • Le terme linéaire en B⃗\vec{B} est responsable de l’effet Zeeman normal (levée de dégénérescence des niveaux d’énergie en présence de champ magnétique).
  • Le terme en B2B^2 (quadratique) correspond au diamagnétisme, souvent négligeable devant le terme paramagnétisme linéaire pour des champs de laboratoire usuels.

5. Le courant de probabilité en présence de champ

Section titled “5. Le courant de probabilité en présence de champ”

La conservation de la probabilité locale est assurée par l’équation de continuité : ∂ρ∂t+div⃗ j⃗=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\text{div}}\,\vec{j} = 0

Avec la densité de probabilité ρ=∣ψ∣2\rho = |\psi|^2 et le vecteur densité de courant de probabilité j⃗\vec{j} modifié par la présence du champ électromagnétique : j⃗=1mRe[ψ∗(−iℏgrad⃗−qA⃗)ψ]\vec{j} = \frac{1}{m} \text{Re} \left[ \psi^* \left( -i\hbar \vec{\text{grad}} - q\vec{A} \right) \psi \right]

Cette expression montre clairement que le courant de probabilité est couplé au potentiel vecteur A⃗\vec{A}, ce qui traduit l’invariant de jauge global de la théorie quantique.