Cours : Réduction, Topologie et Probabilités MPI

Fiche de Cours : Réduction, Topologie et Probabilités MPI

Niveau: ** Deuxième année (CPGE MPI)
Matière : Mathématiques

Soit $K$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ .

Définition : Pour $P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k \in K[X]$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ , on définit l’endomorphisme $P(u) = \sum_{k=0}^{d} a_k u^k$ (avec $u^0 = \text{id}_E$ ).
Noyau et Image : Le polynôme minimal $\pi_u$ est l’unique polynôme unitaire générateur de l’idéal $\{P \in K[X] \mid P(u) = 0\}$ .
Théorème de Cayley-Hamilton : Si $\chi_u$ désigne le polynôme caractéristique de $u$ (défini par $\chi_u(X) = \det(X\text{id}_E - u)$ ), alors $\chi_u(u) = 0$ .

Théorème de décomposition de Dunford : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ $u \in L (E)$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $K$ $K$ . Il existe un unique couple $(d, n) \in \mathcal{L}(E)^2$ $(d, n) \in L (E)^{2}$ tel que :
1. $u = d + n$
2. $d$ est diagonalisable et $n$ est nilpotent
3. $d$ et $n$ commutent ( $dn = nd$ ) De plus, $d$ et $n$ sont des polynômes en $u$ .

Soit $(E, \|\cdot\|)$ un EVN sur $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Équivalence des normes : En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. C’est-à-dire que pour toutes normes $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_2$ sur $E$ , il existe des constantes $c, C > 0$ telles que : $\forall x \in E, \quad c\|x\|_1 \le \|x\|_2 \le C\|x\|_1$
Conséquence fondamentale : Toute application linéaire entre deux EVN en dimension finie est continue. Les notions de compacité (parties fermées et bornées) coïncident en dimension finie (Théorème de Borel-Lebesgue).

Produit scalaire : Application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{K}$ sesquilinéaire (ou bilinéaire si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ), hermitienne (ou symétrique), définie positive.
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$
Théorème de projection orthogonale : Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé d’un espace hilbertien $H$ . Alors $H = F \oplus F^\perp$ . Pour tout $x \in H$ , il existe un unique $p(x) \in F$ tel que $\|x - p(x)\} = \inf_{y \in F} \|x - y\|$ .

Définition : Un espace probabilisé est un triplet $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ où $\Omega$ est un ensemble, $\mathcal{A}$ une tribu (ou $\sigma$ -algèbre) sur $\Omega$ , et $\mathbb{P}$ une mesure de probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ .
Système complet d’événements : Une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d’événements est un système complet si les $A_n$ sont deux à deux disjoints et $\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \Omega$ .
Formule des probabilités totales : Si $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est un système complet d’événements de probabilités non nulles, alors pour tout événement $B$ : $\mathbb{P}(B) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(B \mid A_n)\mathbb{P}(A_n)$

Variable aléatoire (v.a.) réelle : Application $X : \Omega \to \mathbb{R}$ $\mathcal{A}-\mathcal{B}(\mathbb{R})$ -mesurable.
Espérance : Une v.a. $X$ est intégrable (ou d’espérance finie) si $\int_\Omega |X| d\mathbb{P} < +\infty$ . On note $\mathbb{E}[X]$ son espérance.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Si $X$ admet un moment d’ordre 2 (variance $\mathbb{V}(X)$ finie), alors pour tout $\epsilon > 0$ : $\mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \ge \epsilon) \le \frac{\mathbb{V}(X)}{\epsilon^2}$

Convergence en probabilité : Une suite de v.a. $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers une v.a. $X$ si : $\forall \epsilon > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(|X_n - X| \ge \epsilon) = 0$
Loi Faible des Grands Nombres : Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de v.a. i.i.d. admettant une espérance $m$ et une variance $\sigma^2$ finies. En posant $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ , la suite $\left(\frac{S_n}{n}\right)_{n \ge 1}$ converge en probabilité vers $m$ .
Théorème de la Limite Centrale (TLC) : Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de v.a. i.i.d. d’espérance $m$ et d’écart-type $\sigma > 0$ . Alors la suite des variables centrées réduites $Z_n = \frac{S_n - n m}{\sigma \sqrt{n}}$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$ . C’est-à-dire : $\forall x \in \mathbb{R}, \quad \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}(Z_n \le x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2 / 2} \, dt$