Cours : Cinématique 3D et torseurs cinématiques

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $R_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0)$ un repère galiléen (ou par extension, un repère de référence) et $R_1 = (O_1, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_1)$ un repère lié à un solide $S_1$ .

Champ des vecteurs vitesse

Le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide $S_1$ par rapport à un repère $R_0$ , noté $\vec{V}_{S_1/R_0}(M)$ , est un champ de vecteurs équiprojectif.

Définition du torseur cinématique

Il existe un vecteur unique, noté $\vec{\Omega}_{S_1/R_0}$ , appelé vecteur taux de rotation du solide $S_1$ par rapport à $R_0$ , tel que pour tout couple de points $(A, B)$ du solide $S_1$ : $\vec{V}_{S_1/R_0}(B) = \vec{V}_{S_1/R_0}(A) + \vec{AB} \land \vec{\Omega}_{S_1/R_0}$

Le torseur cinématique du mouvement de $S_1$ par rapport à $R_0$ , exprimé au point $A$ , est le torseur noté : $\{\mathcal{V}_{S_1/R_0}\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{\Omega}_{S_1/R_0} \\ \vec{V}_{S_1/R_0}(A) \end{array} \right\}_A$

La réduction en un point $A$ associe à ce torseur une matrice colonne des composantes dans une base $\mathcal{B} = (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ : $\mathcal{V}_{S_1/R_0}(A) = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \\ u \\ v \\ w \end{pmatrix}_{\mathcal{B}} \in \mathcal{M}_{6,1}(\mathbb{R})$ où $\vec{\Omega}_{S_1/R_0} = p\vec{x} + q\vec{y} + r\vec{z}$ et $\vec{V}_{S_1/R_0}(A) = u\vec{x} + v\vec{y} + w\vec{z}$ .

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Théorème de composition des vitesses

Soient trois repères (ou solides) $R_0$ , $R_1$ et $R_2$ . Pour tout point $M$ appartenant par définition au solide lié à $R_2$ : $\vec{V}_{R_2/R_0}(M) = \vec{V}_{R_2/R_1}(M) + \vec{V}_{R_1/R_0}(M)$

Théorème de composition des torseurs cinématiques

La composition des mouvements se traduit par l’addition des torseurs cinématiques : $\{\mathcal{V}_{R_2/R_0}\} = \{\mathcal{V}_{R_2/R_1}\} + \{\mathcal{V}_{R_1/R_0}\}$

Démonstration rigoureuse :

Soit $A$ un point quelconque. Par définition de la composition des vitesses pour un point $M$ confondu avec $A$ : $\vec{V}_{R_2/R_0}(A) = \vec{V}_{R_2/R_1}(A) + \vec{V}_{R_1/R_0}(A)$

Considérons maintenant les vecteurs taux de rotation. Soit $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ une base liée au repère intermédiaire $R_1$ . Par définition de la dérivation vectorielle : $\vec{\Omega}_{R_2/R_0} = \vec{\Omega}_{R_2/R_1} + \vec{\Omega}_{R_1/R_0}$ En effet, si l’on dérive un vecteur unitaire $\vec{u}$ de la base de $R_2$ par rapport à $R_0$ : $\left. \frac{d\vec{u}}{dt} \right|_{R_0} = \left. \frac{d\vec{u}}{dt} \right|_{R_1} + \vec{\Omega}_{R_1/R_0} \land \vec{u}$ En appliquant cette relation au champ vectoriel de rotation, on démontre l’additivité des torseurs cinématiques en un même point $A$ . $\blacksquare$

💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Algorithme de détermination d’une liaison normalisée

Pour écrire le torseur cinématique d’une liaison entre deux solides $S_1$ et $S_2$ de centre $O$ :

Identifier la géométrie de la liaison : translation, rotation, hélicoïdale, sphérique, etc.
Poser le torseur dans la base locale liée au mécanisme (par exemple, $\vec{z}$ porté par l’axe de la liaison pivot).
Annuler les degrés de liberté interdits (termes nuls dans le vecteur rotation ou vitesse).

Exemple pour une Liaison Pivot d’axe $(O, \vec{z})$ : $\{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} = \left\{ \begin{array}{c} \dot{\theta} \vec{z} \\ \vec{0} \end{array} \right\}_O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \dot{\theta} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}_{\text{base}} \text{ (sous forme de matrice d'inertie/composantes)}$ Plus rigoureusement sous forme de matrice colonne des composantes à l’point $O$ : $\mathcal{V}_{S_2/S_1}(O) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\theta} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_{\mathcal{B}} \in \mathcal{M}_{6,1}(\mathbb{R})$

Utilisation de la formule de transport

Pour transporter les éléments de réduction d’un point $A$ vers un point $B$ : $\vec{V}_{S_1/R_0}(B) = \vec{V}_{S_1/R_0}(A) + \vec{BA} \land \vec{\Omega}_{S_1/R_0}$

⚠️ 4. Pièges classiques & Erreurs à éviter

Attention au point de transport : Ne jamais additionner ou égaler des moments (vecteurs vitesse) de torseurs exprimés en des points différents sans appliquer la formule de transport.
Non-holonomie de la vitesse : Le champ des vitesses est un torseur, mais le déplacement fini (ou position) ne forme pas un torseur. N’intégrez jamais brutalement un torseur cinématique pour obtenir un torseur géométrique.
Confusion dans l’ordre de composition : $\{\mathcal{V}_{S_2/R_0}\} = \{\mathcal{V}_{S_2/S_1}\} + \{\mathcal{V}_{S_1/R_0}\}$ L’indice “muet” $S_1$ doit se suivre (fermeture de la chaîne des compositions).
Bases de projection : Veillez impérativement à ce que toutes les composantes d’un même torseur (vecteur rotation et vecteur vitesse) soient projetées dans la même base avant d’effectuer des opérations algébriques matricielles.