Cours : Automatique et systèmes asservis

Fiche de Cours : Automatique et Systèmes Asservis

Filière : PTSI — Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Niveau: ** Première année

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1. Introduction et généralités sur les systèmes

A. Définitions fondamentales

• Système : Ensemble de composants organisés pour accomplir une fonction (généralement convertir des grandeurs physiques).
• Chaîne d’information / Chaîne de puissance : Tout système asservi est composé d’une chaîne d’information (mesurer, traiter, communiquer) et d’une chaîne de puissance (alimenter, distribuer, convertir).
• Système en Boucle Ouverte (SBO) : Système pour lequel l’action sur le processus ne dépend pas de la grandeur de sortie mesurée. Il n’y a pas de correction automatique des perturbations.
• Système en Boucle Fermée (SBF) ou Asservissement : Système dont l’action dépend de la mesure de la sortie, comparée en permanence à la consigne afin de corriger les écarts dus aux perturbations.

B. Schéma bloc (ou schéma fonctionnel)

Les blocs représentent des fonctions de transfert dans le domaine de Laplace ($p$ variable de Laplace).

• Entrée : $E(p)$ (souvent la consigne $W(p)$)
• Sortie : $S(p)$
• Fonction de Transfert (FT) : $H(p) = \frac{S(p)}{E(p)}$

Théorème (Association de blocs) :

• Mise en cascade (série) : $H_{eq}(p) = H_1(p) \cdot H_2(p)$
• Mise en parallèle : $H_{eq}(p) = H_1(p) + H_2(p)$
• Boucle de retour (FTBF) : Pour un système avec une chaîne directe $H(p)$ et un retour $K(p)$ (souvent un capteur) : $\text{FTBF}(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{H(p)}{1 + H(p)K(p)}$ (Le produit $H(p)K(p)$ est appelé Fonction de Transfert avec Boucle Ouverte - FTBO).

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2. Modélisation temporelle : Ordres 1 et 2

A. Systèmes du 1er ordre

Définition

Un système du 1er ordre a pour fonction de transfert canonique : $H(p) = \frac{K}{1 + \tau p}$

• $K$ : Gain statique (sans dimension ou homogène au rapport des unités).
• $\tau$ : Constante de temps du système (en $\text{s}$).

Réponse indicielle (Entrée échelon d’amplitude $E_0$)

Pour $e(t) = E_0 \cdot \mathcal{U}(t)$, la sortie $s(t)$ s’exprime par : $s(t) = K \cdot E_0 \left( 1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right) \mathcal{U}(t)$

Propriétés remarquables :

• À $t = \tau$, $s(\tau) \approx 0,63 \cdot K \cdot E_0$ (soit $63\%$ de la valeur finale).
• À $t = 3\tau$, $s(3\tau) \approx 0,95 \cdot K \cdot E_0$ ($95\%$).
• À $t = 5\tau$, $s(5\tau) \approx 0,993 \cdot K \cdot E_0$ ($99\%$, régime permanent atteint).
• La tangente à l’origine $(t=0)$ coupe l’asymptote horizontale finale $s(\infty) = K \cdot E_0$ au point d’abscisse $t = \tau$.

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B. Systèmes du 2ème ordre

Définition

Un système du 2ème ordre a pour fonction de transfert canonique : $H(p) = \frac{K}{1 + \frac{2z}{\omega_0}p + \frac{p^2}{\omega_0^2}}$

• $K$ : Gain statique.
• $\omega_0$ : Pulsation propre non amortie (en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$).
• $z$ : Coefficient d’amortissement (sans dimension).

Selon la valeur de $z$, le régime temporel diffère :

1. $z > 1$ (Régime aperiodique) : Deux pôles réels négatifs. Pas de dépassement, cinétique lente.
2. $z = 1$ (Régime critique) : Pôle double. Retour rapide à l’équilibre sans dépassement.
3. $0 < z < 1$ (Régime pseudo-périodique) : Pôles complexes conjugués. La réponse présente des oscillations amorties.

Réponse indicielle en régime pseudo-périodique ($0 < z < 1$)

$s(t) = K \cdot E_0 \left[ 1 - \frac{e^{-z\omega_0 t}}{\sqrt{1-z^2}} \sin(\omega_p t + \phi) \right]$ Avec :

• $\omega_p = \omega_0 \sqrt{1-z^2}$ : Pulsation pseudo-propre (en $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$).
• $\phi = \arccos(z)$ : Phase à l’origine.

Théorème (Dépassement maximal) : Le premier dépassement $D_1$ (en pourcentage de la valeur finale) ne dépend que de l’amortissement $z$ : $D_1 = 100 \cdot e^{-\frac{\pi z}{\sqrt{1-z^2}}}$ Inversement : $z = \frac{-\ln(D_1 / 100)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2(D_1 / 100)}}$

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3. Analyse des performances des systèmes asservis

A. Précision en régime permanent

La précision quantifie l’écart entre la consigne $w(t)$ et la sortie $s(t)$ lorsque $t \to +\infty$. On définit l’écart $\varepsilon(t) = w(t) - s(t)$.

Théorème (Théorème de la valeur finale) : $\lim_{t \to +\infty} \varepsilon(t) = \lim_{p \to 0} p \cdot \varepsilon(p) = \lim_{p \to 0} p \cdot [W(p) - S(p)]$

On définit la classe d’un système par le nombre d’integrateurs pur ($p$ au dénominateur) dans sa chaîne ouverte $\text{FTBO}(p) = \frac{N(p)}{p^\alpha \cdot D(p)}$.

Entrée \ Classe	Classe 0 ($\alpha = 0$)	Classe 1 ($\alpha = 1$)	Classe 2 ($\alpha = 2$)
Échelon ($E_0 / p$)	$\varepsilon_{\infty} = \frac{E_0}{1 + K_{BO}}$	$\varepsilon_{\infty} = 0$	$\varepsilon_{\infty} = 0$
Rampe ($E_0 / p^2$)	$\varepsilon_{\infty} = +\infty$	$\varepsilon_{\infty} = \frac{E_0}{K_v}$	$\varepsilon_{\infty} = 0$
Parabole ($E_0 / p^3$)	$\varepsilon_{\infty} = +\infty$	$\varepsilon_{\infty} = +\infty$	$\varepsilon_{\infty} = \frac{E_0}{K_a}$

• $K_{BO}$ : Gain statique de la FTBO.
• $K_v$ : Constante de vitesse.
• $K_a$ : Constante d’accélération.

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B. Stabilité des systèmes bouclés

Définition

Un système est stable si, soumis à une perturbation ou à une entrée bornée, sa sortie demeure bornée. En régime linéaire, la stabilité ne dépend que des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée (les racines de $1 + H(p)K(p) = 0$).

Théorème (Condition de stabilité) : Un système linéaire invariant est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée ont leur partie réelle strictement négative (situés dans le demi-plan gauche du plan complexe de Laplace).

Critère algébrique de Routh (pour les polynômes)

Soit le polynôme caractéristique du dénominateur de la FTBF : $P(p) = a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \dots + a_1 p + a_0 \quad (\text{avec } a_i > 0)$ On construit le tableau de Routh.

• Condition nécessaire : Tous les coefficients $a_i$ doivent être de même signe et non nuls.
• Condition suffisante (Routh) : Tous les termes de la première colonne du tableau de Routh doivent être de même signe.

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4. Correction des systèmes

Pour améliorer simultanément la stabilité, la précision et la rapidité, on insère un correcteur $C(p)$ dans la chaîne directe.

• Correcteur Proportionnel (P) : $C(p) = K_p$
  • Action : Améliore la rapidité et réduit l’écart statique, mais peut dégrader la stabilité (voire amener à l’instabilité si $K_p$ est trop grand).
• Correcteur Proportionnel Intégrateur (PI) : $C(p) = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_i p} \right)$
  • Action : Annule l’erreur statique (augmente la classe du système de 1), mais diminue la rapidité et la stabilité (introduction d’un déphasage négatif).
• Correcteur Proportionnel Dérivé (PD) : $C(p) = K_p (1 + T_d p)$
  • Action : Améliore la stabilité et la rapidité (introduit un amortissement et un déphasage positif), mais amplifie le bruit de mesure à hautes fréquences.

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5. Méthodes et Pièges à éviter

Méthode - Étude d’un système asservi :

1. Modéliser les blocs et exprimer la $\text{FTBF}(p)$.
2. Déterminer l’ordre du système et vérifier la stabilité (Routh ou position des pôles).
3. Calculer l’erreur statique en fonction de l’entrée (théorème de la valeur finale).
4. Étudier la rapidité et le dépassement si le système est d’ordre 2.

⚠️ Pièges classiques :

• Confondre FTBO et FTBF : La stabilité se calcule sur les pôles de la FTBF, jamais de la FTBO directement (sauf application du critère du revers non abordé ici en détail).
• Oublier les conditions initiales nulles : L’utilisation de la transformée de Laplace en PTSI suppose des conditions initiales nulles ($s(0^+) = 0$, $\dot{s}(0^+) = 0$, etc.).
• Erreur d’homogénéité : Vérifier systématiquement que $\tau p$ est sans dimension, donc que $\tau$ s’exprime bien en secondes et $p$ en $\text{s}^{-1}$.