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CPGE Futur

Exercice 2 : Variétés allotropiques et compacité

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude”

De nombreux métaux cristallisent selon plusieurs variétés allotropiques en fonction de la température et de la pression. C’est le cas du titane (TiTi) et du fer (FeFe), dont les changements de phase à l’état solide ont des conséquences industrielles majeures (métallurgie, traitements thermiques).

On s’intéresse dans ce problème à la description géométrique de trois empilements compacts et non compacts :

  1. La structure Cubique Centrée (CC).
  2. La structure Cubique à Faces Centrées (CFC).
  3. La structure Hexaédrique Compacte (HC), modélisée localement.

L’objectif est d’évaluer l’efficacité du remplissage de l’espace à travers la notion de compacité, puis d’analyser l’influence d’une variation de température (dilatation thermique) sur ces structures.

Données et constantes utiles :

  • Rayon atomique du fer (assimilé à une sphère dure de rayon RR) : RFe≈0,124 nmR_{Fe} \approx 0{,}124\text{ nm} (en phase α\alpha, structure CC).
  • Masse molaire du fer : M(Fe)=55,8 g⋅mol−1M(Fe) = 55{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Nombre d’Avogadro : NA=6,02×1023 mol−1N_A = 6{,}02\times 10^{23}\text{ mol}^{-1}.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Rappels géométriques et coordinence

    • Définir la coordinence d’un nœud dans un réseau cristallin. Donner sa valeur pour une structure Cubique Centrée (CC) et Cubique à Faces Centrées (CFC).
    • Exprimer la relation liant le paramètre de maille aa et le rayon RR des sphères pour la structure CC (contact le long de la diagonale du cube).

  2. Calcul de la compacité

    • Rappeler la définition de la compacité cc d’une maille cristalline.
    • Démontrer que la compacité de la structure Cubique Centrée vaut cCC=3π8c_{CC} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8}, soit environ 68 %68\,\%.
    • On admet que la compacité d’un empilement compact (CFC ou HC) vaut ccompact=π26≈74 %c_{compact} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 74\,\%. Comment qualifie-t-on la structure CC par rapport à la structure CFC ?

  3. Application au fer α\alpha (structure CC)

    • Calculer la masse volumique théorique ρ\rho du fer α\alpha à 20 ∘C20\text{ }^\circ\text{C} sachant qu’il cristallise dans le système CC avec un rayon RFe=0,124 nmR_{Fe} = 0{,}124\text{ nm}.

  4. Transition allotropique et effet de température

    • À haute température (>912 ∘C> 912\text{ }^\circ\text{C}), le fer pur subit une transition allotropique et passe du fer α\alpha (CC) au fer γ\gamma (CFC).
    • Qualativement, quel est l’effet de ce changement de structure sur le volume massique du matériau ? Quel est l’impact géométrique sur les lacunes interstitielles ?

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Section titled “💡 Pistes & Indications méthodologiques”
  • Question 1 : Visualisez bien le cube : le contact entre atomes ne se fait pas le long des arêtes pour le CC, mais le long de la grande diagonale du cube (qui relie deux sommets opposés en passant par le centre).
  • Question 2 : La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes (assimilés à des boules pleines) sur le volume total de la maille. Veillez à bien compter le nombre effectif d’atomes par maille (N\mathcal{N}) en tenant compte de leur position (sommets, faces, centre).
  • Question 3 : Attention aux conversions d’unités ! Exprimez le rayon en mètres (mm) pour obtenir une masse volumique en kg⋅m−3\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}, puis convertissez-la en g⋅cm−3\text{g}\cdot\text{cm}^{-3} pour plus de lisibilité.
  • Question 4 : Reliez directement la compacité à l’efficacité du remplissage de l’espace. Un empilement plus compact laisse moins de “vide” à masse égale.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

Section titled “📋 Corrigé détaillé pas à pas”

1. Rappels géométriques et coordinence

Section titled “1. Rappels géométriques et coordinence”
  • La coordinence est le nombre de plus proches voisins d’un atome (ou ion) dans le cristal.
    • Pour le réseau CC, la coordinence est z=8z = 8 (les 8 sommets entourant le centre).
    • Pour le réseau CFC, la coordinence est z=12z = 12 (chaque atome au centre d’une face a 12 plus proches voisins).
  • Relation aa et RR (CC) : Dans une maille cubique centrée, les atomes se touchent le long de la grande diagonale du cube de longueur L=a3L = a\sqrt{3}. Cette diagonale contient deux rayons de l’atome central et un rayon pour chacun des deux atomes d’extrémité (aux sommets). Ainsi : a3=4R  ⟹  a=4R3a\sqrt{3} = 4R \implies a = \frac{4R}{\sqrt{3}}

2. Calcul de la compacité

Section titled “2. Calcul de la compacité”
  • Définition : La compacité cc est le rapport du volume des atomes contenus dans la maille (VatomesV_{\text{atomes}}) sur le volume total de la maille (VmailleV_{\text{maille}}) : c=VatomesVmaille=N×43πR3a3c = \frac{V_{\text{atomes}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{\mathcal{N} \times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}
  • Calcul pour le CC :
    • Nombre d’atomes par maille CC : N=8×18 (sommets)+1×1 (centre)=2\mathcal{N} = 8 \times \frac{1}{8} \text{ (sommets)} + 1 \times 1 \text{ (centre)} = 2 atomes par maille.
    • Volume des atomes : Vatomes=2×43πR3=83πR3V_{\text{atomes}} = 2 \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{8}{3}\pi R^3.
    • Volume de la maille : Vmaille=a3=(4R3)3=64R333V_{\text{maille}} = a^3 = \left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64R^3}{3\sqrt{3}}.
    • Rapport : cCC=83πR364R333=83π×3364=3π8c_{CC} = \frac{\frac{8}{3}\pi R^3}{\frac{64R^3}{3\sqrt{3}}} = \frac{8}{3}\pi \times \frac{3\sqrt{3}}{64} = \frac{\sqrt{3}\pi}{8} Numériquement, cCC≈1,732×3,14168≈0,680c_{CC} \approx \frac{1{,}732 \times 3{,}1416}{8} \approx 0{,}680, soit 68 %68\,\%.
  • Conclusion : La structure CC a une compacité de 68 %68\,\%, inférieure à celle du CFC (74 %74\,\%). Le réseau CC est donc qualifié de non compact.

3. Application au fer α\alpha (structure CC)

Section titled “3. Application au fer α\alphaα (structure CC)”
  • Calculons le volume de la maille à partir du paramètre aa : a=4RFe3=4×0,124×10−93≈2,864×10−10 ma = \frac{4R_{Fe}}{\sqrt{3}} = \frac{4 \times 0{,}124\times 10^{-9}}{\sqrt{3}} \approx 2{,}864 \times 10^{-10}\text{ m} Vmaille=a3≈(2,864×10−10)3≈2,35×10−29 m3V_{\text{maille}} = a^3 \approx (2{,}864 \times 10^{-10})^3 \approx 2{,}35 \times 10^{-29}\text{ m}^3
  • La masse de la maille mmaillem_{\text{maille}} contenant N=2\mathcal{N} = 2 atomes de fer est : mmaille=N⋅M(Fe)NA=2×55,8×10−36,02×1023≈1,85×10−25 kgm_{\text{maille}} = \frac{\mathcal{N} \cdot M(Fe)}{N_A} = \frac{2 \times 55{,}8 \times 10^{-3}}{6{,}02 \times 10^{23}} \approx 1{,}85 \times 10^{-25}\text{ kg}
  • On en déduit la masse volumique ρ\rho : ρ=mmailleVmaille=1,85×10−252,35×10−29≈7870 kg⋅m−3\rho = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{1{,}85 \times 10^{-25}}{2{,}35 \times 10^{-29}} \approx 7870\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} Soit ρ≈7,87 g⋅cm−3\rho \approx 7{,}87\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}.

4. Transition allotropique et effet de température

Section titled “4. Transition allotropique et effet de température”
  • Lors de la transition du fer α\alpha (CC, c=68 %c = 68\,\%) vers le fer γ\gamma (CFC, c=74 %c = 74\,\%), la compacité augmente.
  • Les atomes se réorganisent pour occuper l’espace de manière plus efficace. À masse égale, le volume occupé par le réseau cristallin diminue (le volume massique diminue, ce qui correspond à une contraction brutale du réseau lors du chauffage à cette température précise, conjuguée à la dilatation thermique classique).
  • Les sites interstitiels (octaédriques et tétraédriques) changent de taille et de géométrie, ce qui modifie la capacité d’insertion d’autres éléments chimiques (comme le carbone dans les aciers).