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CPGE Futur

Cours : Cinématique des systèmes

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Section titled “📌 1. Définitions & Cadre d’étude”

La cinématique a pour objet l’étude du mouvement des systèmes matériels en fonction du temps, indépendamment des causes qui les produisent (forces et moments).

1.1. Notion de Référentiel et de Repère

Section titled “1.1. Notion de Référentiel et de Repère”
  • Référentiel R\mathcal{R} : Ensemble indformable associé à un solide de référence, muni d’une base orthonormée directe B=(x⃗,y⃗,z⃗)\mathcal{B} = (\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}).
  • Repère d’espace : Dééfini par un origine OO et une base B\mathcal{B}.
  • Repère de temps : Échelle des temps permettant de dater les événements.

1.2. Champ des vitesses d’un solide indéformable

Section titled “1.2. Champ des vitesses d’un solide indéformable”

Soit un solide SS en mouvement par rapport à un référentiel R0\mathcal{R}_0. Le champ des vecteurs vitesse V⃗S/R0(P)\vec{V}_{S/\mathcal{R}_0}(P) d’un point P∈SP \in S est caractérisé par l’existence d’un vecteur rotation instantanée, noté Ω⃗S/R0\vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_0}, tel que pour tout couple de points (A,B)(A, B) appartenant au solide SS :

V⃗S/R0(B)=V⃗S/R0(A)+Ω⃗S/R0∧AB⃗\vec{V}_{S/\mathcal{R}_0}(B) = \vec{V}_{S/\mathcal{R}_0}(A) + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{AB}

Cette relation fondamentale traduit le fait que le champ des vitesses d’un solide indéformable est un champ équiprojectif.

1.3. Cinématique du point matériel et compositions

Section titled “1.3. Cinématique du point matériel et compositions”
  • Vitesse absolue : V⃗M/R0=(dOM⃗dt)R0\vec{V}_{M/\mathcal{R}_0} = \left( \frac{d\vec{OM}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0}
  • Accélération absolue : Γ⃗M/R0=(d2OM⃗dt2)R0\vec{\Gamma}_{M/\mathcal{R}_0} = \left( \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} \right)_{\mathcal{R}_0}

Loi de composition des vitesses

Section titled “Loi de composition des vitesses”

Soit un point MM en mouvement dans un référentiel R1\mathcal{R}_1, lui-même en mouvement par rapport à un référentiel absolu R0\mathcal{R}_0 :

V⃗M/R0=V⃗M/R1+V⃗e(M∈R1/R0)\vec{V}_{M/\mathcal{R}_0} = \vec{V}_{M/\mathcal{R}_1} + \vec{V}_{e}(M \in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0)

Où V⃗e(M∈R1/R0)=V⃗O1/R0+Ω⃗R1/R0∧O1M⃗\vec{V}_{e}(M \in \mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) = \vec{V}_{O_1/\mathcal{R}_0} + \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O_1M} est la vitesse d’entraînement.

Loi de composition des accélérations

Section titled “Loi de composition des accélérations”

Γ⃗M/R0=Γ⃗M/R1+Γ⃗e(M)+Γ⃗c(M)\vec{\Gamma}_{M/\mathcal{R}_0} = \vec{\Gamma}_{M/\mathcal{R}_1} + \vec{\Gamma}_{e}(M) + \vec{\Gamma}_{c}(M)

  • Γ⃗e(M)=(d2O1M⃗dt2)R0=Γ⃗O1/R0+dΩ⃗R1/R0dt∧O1M⃗+Ω⃗R1/R0∧(Ω⃗R1/R0∧O1M⃗)\vec{\Gamma}_{e}(M) = \left( \frac{d^2\vec{O_1M}}{dt^2} \right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Gamma}_{O_1/\mathcal{R}_0} + \frac{d\vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0}}{dt} \wedge \vec{O_1M} + \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge (\vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{O_1M}) : Accélération d’entraînement.
  • Γ⃗c(M)=2Ω⃗R1/R0∧V⃗M/R1\vec{\Gamma}_{c}(M) = 2 \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{V}_{M/\mathcal{R}_1} : Accélération de Coriolis.

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Section titled “📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés”

2.1. Dérivation vectorielle dans un référentiel en mouvement (Formule de Varignon / Dérivation de Bour)

Section titled “2.1. Dérivation vectorielle dans un référentiel en mouvement (Formule de Varignon / Dérivation de Bour)”

Soit X⃗(t)\vec{X}(t) un vecteur quelconque fonction du temps, et deux référentiels R0\mathcal{R}_0 (absolu, base B0\mathcal{B}_0) et R1\mathcal{R}_1 (relatif, base B1\mathcal{B}_1).

(dX⃗dt)R0=(dX⃗dt)R1+Ω⃗R1/R0∧X⃗\left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{X}

Démonstration :

Section titled “Démonstration :”

Soit la base B1=(u⃗,v⃗,w⃗)\mathcal{B}_1 = (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) liée à R1\mathcal{R}_1. Définissons le vecteur X⃗\vec{X} dans cette base : X⃗(t)=X1(t)u⃗+X2(t)v⃗+X3(t)w⃗\vec{X}(t) = X_1(t)\vec{u} + X_2(t)\vec{v} + X_3(t)\vec{w}

Dérivons par rapport au temps dans R0\mathcal{R}_0 : (dX⃗dt)R0=X˙1u⃗+X˙2v⃗+X˙3w⃗+X1(du⃗dt)R0+X2(dv⃗dt)R0+X3(dw⃗dt)R0\left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \dot{X}_1\vec{u} + \dot{X}_2\vec{v} + \dot{X}_3\vec{w} + X_1\left( \frac{d\vec{u}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} + X_2\left( \frac{d\vec{v}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} + X_3\left( \frac{d\vec{w}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0}

Par définition de la dérivation d’un vecteur unitaire d’une base liée à un solide en rotation par rapport à R0\mathcal{R}_0 : (du⃗dt)R0=Ω⃗R1/R0∧u⃗,(dv⃗dt)R0=Ω⃗R1/R0∧v⃗,(dw⃗dt)R0=Ω⃗R1/R0∧w⃗\left( \frac{d\vec{u}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{u}, \quad \left( \frac{d\vec{v}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{v}, \quad \left( \frac{d\vec{w}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{w}

En remplaçant : (dX⃗dt)R0=X˙1u⃗+X˙2v⃗+X˙3w⃗⏟(dX⃗dt)R1+Ω⃗R1/R0∧(X1u⃗+X2v⃗+X3w⃗)\left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \underbrace{\dot{X}_1\vec{u} + \dot{X}_2\vec{v} + \dot{X}_3\vec{w}}_{\left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_1}} + \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge (X_1\vec{u} + X_2\vec{v} + X_3\vec{w})

Ce qui démontre la formule : (dX⃗dt)R0=(dX⃗dt)R1+Ω⃗R1/R0∧X⃗■\left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_0} = \left( \frac{d\vec{X}}{dt} \right)_{\mathcal{R}_1} + \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{X} \quad \blacksquare

2.2. Champ des vitesses des torseurs cinématiques

Section titled “2.2. Champ des vitesses des torseurs cinématiques”

Le champ des vitesses d’un solide SS par rapport à R0\mathcal{R}_0 est un torseur, appelé torseur cinématique : {VS/R0}={Ω⃗S/R0V⃗P∈S/R0}P\{\mathcal{V}_{S/\mathcal{R}_0}\} = \begin{Bmatrix} \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_0} \\ \vec{V}_{P \in S/\mathcal{R}_0} \end{Bmatrix}_P

L’équiprojectivité se traduit par l’invariant scalaire nul (ou transport des moments) : V⃗B∈S/R0=V⃗A∈S/R0+Ω⃗S/R0∧AB⃗\vec{V}_{B \in S/\mathcal{R}_0} = \vec{V}_{A \in S/\mathcal{R}_0} + \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{AB}

💡 3. Méthodes classiques de résolution

Section titled “💡 3. Méthodes classiques de résolution”

3.1. Fermeture géométrique et cinématique (Dérivation)

Section titled “3.1. Fermeture géométrique et cinématique (Dérivation)”

Pour l’étude d’un mécanisme (ex. : chaîne de solides bouclée) :

  1. Établir une ou plusieurs fermetures vectorielles géométriques (ex. OA⃗+AB⃗+BO⃗=0⃗\vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BO} = \vec{0}).
  2. Projeter ces relations dans une base bien choisie pour obtenir des équations scalaires de liaison.
  3. Dériver ces équations par rapport au temps dans le référentiel galiléen pour obtenir des relations entre vitesses (linéaires et angulaires).

3.2. Utilisation du Centre Instantané de Rotation (CIR) en plan (2D)

Section titled “3.2. Utilisation du Centre Instantané de Rotation (CIR) en plan (2D)”

Dans le cas d’un mouvement plan (les vitesses sont toutes portées par le même plan orthogonal à z⃗\vec{z} et Ω⃗=Ωz⃗\vec{\Omega} = \Omega \vec{z}) :

  • Il existe un point II, appelé CIR, où la vitesse est nulle : V⃗I∈S/R0=0⃗\vec{V}_{I \in S/\mathcal{R}_0} = \vec{0}.
  • Pour tout point MM du solide : V⃗M∈S/R0=Ω⃗S/R0∧IM⃗\vec{V}_{M \in S/\mathcal{R}_0} = \vec{\Omega}_{S/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{IM}
  • Méthode de recherche du CIR :
    • Intersection des normales aux trajectoires de deux points du solide.
    • Intersection des supports des vecteurs vitesse de deux points distincts (si les vitesses ne sont pas parallèles).
    • Si les vitesses de deux points sont parallèles et perpendiculaires à la droite joignant ces points, le CIR se trouve sur cette droite (théorème des trois centres alignés de Kennedy-Aronhold pour trois solides en mouvement relatif).

⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

Section titled “⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours”
  1. Oubli du terme de Coriolis dans les accélérations : Ne jamais appliquer brutalement Γ⃗M/R0=Γ⃗M/R1+Γ⃗e(M)\vec{\Gamma}_{M/\mathcal{R}_0} = \vec{\Gamma}_{M/\mathcal{R}_1} + \vec{\Gamma}_{e}(M) lorsque le point MM est en mouvement dans le référentiel relatif R1\mathcal{R}_1 et que R1\mathcal{R}_1 est en rotation (Ω⃗R1/R0≠0⃗\vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \neq \vec{0}). Le terme 2Ω⃗R1/R0∧V⃗M/R12 \vec{\Omega}_{\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0} \wedge \vec{V}_{M/\mathcal{R}_1} est systématiquement requis.
  2. Confusion entre dérivation vectorielle et scalaire : Dériver un vecteur unitaire u⃗(t)\vec{u}(t) lié à un repère mobile en écrivant du⃗dt=0⃗\frac{d\vec{u}}{dt} = \vec{0} est une erreur éliminatoire. Il faut impérativement utiliser la formule de Bour.
  3. Utilisation abusive du CIR en 3D : Le Centre Instantané de Rotation n’existe pas en mouvement tridimensionnel général (où l’on parle d’axe instantané de rotation et de glissement, ou « axoïde »). Le formalisme du CIR est strictement restreint à la cinématique plane.
  4. Inversion des indices dans la composition : Respecter strictement l’homogénéité des indices lors de la composition des vitesses : V⃗3/0=V⃗3/2+V⃗2/1+V⃗1/0\vec{V}_{3/0} = \vec{V}_{3/2} + \vec{V}_{2/1} + \vec{V}_{1/0} Vérifier la chaîne de composition (ici : 3←2←1←03 \leftarrow 2 \leftarrow 1 \leftarrow 0).