Cours : Groupe symétrique et Déterminants

Cours de Mathématiques - MPSI

Chapitre : Groupe symétrique et Déterminants

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Ce chapitre formalise la notion d’aire et de volume en dimension quelconque à travers l’étude des formes multilinéaires alternées, et s’appuie sur la structure combinatoire du groupe des permutations d’un ensemble fini.

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I. Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$

1. Définitions fondamentales

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. On note usuellement $E = \{1, 2, \dots, n\}$.

• Définition (Permutation) : On appelle permutation de $E$ toute bijection de $E$ dans $E$.
• Définition (Groupe symétrique) : L’ensemble des permutations de $E$, muni de la loi de composition des applications $\circ$, forme un groupe non commutatif pour $n \ge 3$, noté $\mathfrak{S}_n$. Son cardinal est $n!$.

Notation matricielle (ou circulaire) : Une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ se note souvent : $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma(n) \end{pmatrix}$

2. Cycles et supports

• Définition (Support) : Le support d’une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ est l’ensemble des éléments $x \in \{1, \dots, n\}$ tels que $\sigma(x) \neq x$.
• Définition (Cycle) : Soit $k \ge 2$. Un $k$-cycle (ou cycle de longueur $k$) est une permutation $\sigma$ dont le support $\{a_1, a_2, \dots, a_k\}$ est de cardinal $k$ tel que : $\sigma(a_1) = a_2, \sigma(a_2) = a_3, \dots, \sigma(a_{k-1}) = a_k, \sigma(a_k) = a_1$ et $\sigma(x) = x$ pour tout $x$ hors de ce support. On le note $(a_1 \; a_2 \; \dots \; a_k)$.
• Définition (Transposition) : Un 2-cycle est appelé une transposition.

Théorème 1 (Décomposition en cycles disjoints) : Toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ se décompose de manière unique (à l’ordre près des facteurs) comme un produit de cycles à supports deux à deux disjoints.

Théorème 2 (Générateurs de $\mathfrak{S}_n$) : Le groupe $\mathfrak{S}_n$ est engendré par l’ensemble des transpositions. Plus précisément, il est engendré par les transpositions de la forme $(i \; i+1)$ pour $1 \le i \le n-1$.

3. Signature d’une permutation

Définition-Théorème (Signature) : Il existe un unique morphisme de groupes $\varepsilon : (\mathfrak{S}_n, \circ) \to (\{1, -1\}, \times)$ tel que pour toute transposition $t$, $\varepsilon(t) = -1$. Pour toute permutation $\sigma$, $\varepsilon(\sigma)$ est la signature de $\sigma$.

• Si $\varepsilon(\sigma) = 1$, $\sigma$ est dite paire.
• Si $\varepsilon(\sigma) = -1$, $\sigma$ est dite impaire.

• Formule explicite : $\varepsilon(\sigma) = \prod_{1 \le i < j \le n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}$
• Lien avec les cycles : La signature d’un $k$-cycle est $(-1)^{k-1}$. Ainsi, un cycle de longueur impaire est pair, et un cycle de longueur paire est impair.

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II. Formes multilinéaires

Soit $K$ un corps ($K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$), $E$ un $K$-espace vectoriel et $p \in \mathbb{N}^*$.

1. Définitions

• Définition (Forme $p$-linéaire) : Une application $f : E^p \to K$ est dite $p$-linéaire (ou multilinéaire) si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables, les $p-1$ autres étant fixées.
• Définition (Symétrie et Alternance) : Une application $p$-linéaire $f$ est dite :
  • Symétrique si pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ et pour tous $(x_1, \dots, x_p) \in E^p$ : $f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(p)}) = f(x_1, \dots, x_p)$
  • Alternée si dès que deux arguments sont égaux, $f$ s’annule : $\forall (x_1, \dots, x_p) \in E^p, \; (\exists i \neq j, \; x_i = x_j) \implies f(x_1, \dots, x_p) = 0$

Proposition 1 (Propriétés des formes alternées) : Soit $f$ une forme $p$-linéaire alternée sur $E^p$.

1. Si on échange deux vecteurs, la valeur est opposée : $f(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) = -f(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots)$.
2. Si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs, la valeur ne change pas.
3. Si la famille $(x_1, \dots, x_p)$ est liée, alors $f(x_1, \dots, x_p) = 0$.

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III. Déterminant d’une famille de vecteurs

On se place ici en dimension finie $n$, soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$.

1. Existence et unicité

Théorème 3 : Il existe une unique forme $n$-linéaire alternée $D$ sur $E^n$ telle que $D(e_1, \dots, e_n) = 1$. Cette application est appelée le déterminant dans la base $\mathcal{B}$.

2. Formule explicite

Soit $n$ vecteurs de $E$ donnés par leurs coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ : $x_j = \sum_{i=1}^n a_{i,j} e_i$. Le déterminant de la famille $(x_1, \dots, x_n)$ dans la base $\mathcal{B}$ s’exprime par la formule de Leibniz : $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{\sigma(i), i}$

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IV. Déterminant d’un endomorphisme et d’une matrice carrée

1. Déterminant d’une matrice carrée

• Définition : Soit $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(K)$. Le déterminant de $A$, noté $\det(A)$ ou $|A|$, est le déterminant des $n$ vecteurs colonnes de $A$ dans la base canonique de $K^n$.

Théorème 4 (Propriétés fondamentales) :

1. Multilinéarité des colonnes : Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne.
2. Alternance : Si $A$ a deux colonnes identiques, $\det(A) = 0$.
3. Transposition : $\det(A^T) = \det(A)$ (les propriétés vraies pour les colonnes le sont donc aussi pour les lignes).
4. Opérations sur les lignes/colonnes : Ajouter un multiple d’une colonne (resp. ligne) à une autre ne modifie pas le déterminant. Multiplier une colonne par un scalaire $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$.
5. Multiplicativité (Théorème de Cauchy-Binet) : Pour tous $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$
6. Caractérisation de l’inversibilité : $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Dans ce cas : $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1}$.

2. Déterminant d’un endomorphisme

• Définition : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$. Le déterminant de $u$, noté $\det(u)$, est le déterminant de la matrice de $u$ dans n’importe quelle base $\mathcal{B}$ de $E$ (cette définition est indépendante du choix de $\mathcal{B}$ car $\det(P^{-1}AP) = \det(A)$).

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V. Méthodes et Savoir-Faire

1. Calculer un déterminant de grande taille ($n \ge 4$) :
   • Méthode du pivot de Gauss : Effectuer des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour se ramener à une matrice triangulaire (le déterminant est alors le produit des coefficients diagonaux).
   • Développement par rapport à une ligne ou une colonne : $\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} \det(A_{i,j})$ où $A_{i,j}$ est la matrice extraite.
2. Montrer qu’une famille est une base :
   • Calculer le déterminant de cette famille dans une base connue. Si le déterminant est non nul, la famille est une base.
3. Déterminer si une matrice est inversible :
   • Calculer son déterminant.

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VI. Pièges classiques à éviter

• Attention au scalaire lors d’une mise en facteur : Si $A \in \mathcal{M}_n(K)$, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ et non $\lambda \det(A)$.
• Linéarité : Le déterminant n’est pas une application linéaire : en général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$.
• Transposition de la signature : Ne pas confondre la signature d’une transposition (qui vaut toujours $-1$) et la transposition matricielle.