📌 1. Définitions & Cadre d'étude

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’optique ondulatoire décrit la lumière comme une onde électromagnétique se propageant dans le vide ou dans un milieu transparent, linéaire, homogène et isotrope (TLHI).

Champ E.M. et approximation scalaire

Dans le cadre du programme de BCPST, on se restreint généralement à l’étude d’une composante du champ électrique $\vec{E}$, dite onde lumineuse scalaire, modélisée par une onde plane harmoniques (OPH) de pulsation $\omega$ et de vecteur d’onde $\vec{k}$ (avec $k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$ dans le vide) : $s(\vec{M}, t) = S_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{M} + \varphi_0)$

Représentation complexe (Amplitude complexe)

On associe à $s(\vec{M}, t)$ sa grandeur complexe associée $\underline{s}(\vec{M}, t) = \underline{S}(\vec{M}) e^{j\omega t}$ avec l’amplitude complexe : $\underline{S}(\vec{M}) = S_0 e^{j(\varphi_0 - \vec{k}\cdot\vec{M})}$

Intensité lumineuse

L’œil et les récepteurs (caméras, photodiodes) sont sensibles à l’intensité lumineuse $I$, proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ sur un intervalle de temps grand devant la période optique $\frac{2\pi}{\omega}$ mais petit devant le temps de réponse du détecteur : $I(\vec{M}) = \langle s^2(\vec{M}, t) \rangle_t = \frac{1}{2} S_0^2 = \frac{1}{2} |\underline{S}(\vec{M})|^2$ L’unité légale est le $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$.

États de polarisation

L’onde lumineuse est une onde transversale. Le vecteur champ électrique $\vec{E}$ orthogonal à $\vec{k}$ définit l’état de polarisation :

• Polarisation rectiligne : L’extrèmité de $\vec{E}$ décrit un segment. Les deux composantes orthogonales $\underline{E}_x$ et $\underline{E}_y$ sont en phase (ou en opposition de phase).
• Polarisation circulaire : L’extrèmité de $\vec{E}$ décrit un cercle ($\underline{E}_x$ et $\underline{E}_y$ déphasées de $\pm \frac{\pi}{2}$ avec des amplitudes égales).
• Polarisation elliptique : Cas général.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Principe de superposition et interférences

Soit deux sources lumineuses cohérentes (même pulsation $\omega$, différence de phase constante au cours du temps) supermettant leurs champs $\underline{S}_1$ et $\underline{S}_2$ au point $\vec{M}$.

Démonstration de l’expression de l’intensité interférentielle : L’intensité résultante est : $I = \frac{1}{2} |\underline{S}_1 + \underline{S}_2|^2 = \frac{1}{2} \left( |\underline{S}_1|^2 + |\underline{S}_2|^2 + \underline{S}_1 \underline{S}_2^* + \underline{S}_1^* \underline{S}_2 \right)$ En posant $\underline{S}_i = S_{0i} e^{j\varphi_i}$, on introduit la différence de phase $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ : $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\varphi)$ Où $I_1 = \frac{1}{2} S_{01}^2$ et $I_2 = \frac{1}{2} S_{02}^2$. C’est la formule de Fresnel.

Interférences par division du front d’onde (Exemple des trous de Young)

Soit deux sources secondaires $S_1$ et $S_2$ distantes de $a$, éclairées par une source synchrone, observant la figure d’interférence sur un écran situé à une distance $D$ (avec $a \ll D$).

La différence de marche $\delta$ au point $M$ de coordonnée $y$ (sur l’axe perpendiculaire à l’axe des sources) s’exprime par : $\delta = S_2 M - S_1 M \approx \frac{ay}{D}$ La différence de phase vaut $\Delta\varphi = \frac{2\pi \delta}{\lambda_0} = \frac{2\pi a y}{\lambda_0 D}$. L’intensité s’écrit : $I(y) = 2I_0 \left( 1 + \cos\left(\frac{2\pi a y}{\lambda_0 D}\right) \right)$

• Interfrange $i$ (distance entre deux franges brillantes successives) : $i = \frac{\lambda_0 D}{a}$

Polarisation et matrice de Jones

Une onde polarisée rectilignement ou elliptiquement se représente par un vecteur de Jones $\vec{E} \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{C})$ : $\begin{pmatrix} \underline{E}_x \\ \underline{E}_y \end{pmatrix}$ Un composant optique (polariseur, lame retardatrice) est représenté par une matrice de Jones $\mathcal{M} \in \mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C})$. L’onde émise est $\vec{E}_{\text{sortie}} = \mathcal{M} \vec{E}_{\text{entrée}}$.

• Matrice d’un polariseur linéaire de direction $\theta$ : $P(\theta) = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta) & \sin(\theta)\cos(\theta) \\ \sin(\theta)\cos(\theta) & \sin^2(\theta) \end{pmatrix}$
• Matrice d’une lame demi-onde ($\Delta\varphi = \pi$) d’axe rapide horizontal : $L_{\lambda/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Calcul de la différence de marche $\delta$

1. Identifier les chemins optiques suivis par les rayons lumineux issus de la source et parvenant au point $M$.
2. Exprimer la longueur géométrique des trajets dans les différents milieux d’indice $n$. Le chemin optique est défini par $\mathcal{L} = \int n \, ds$.
3. Effectuer un développement limité (type approximation paraxial : $\sqrt{1+u} \approx 1 + \frac{1}{2}u$) lorsque la géométrie du dispositif l’implique (ex: $D \gg y$ ou $D \gg a$).
4. Relier $\delta$ à l’intensité via la relation $\Delta\varphi = \frac{2\pi \delta}{\lambda_0} + \Delta\varphi_0$ (où \\Delta\varphi_0$ est le déphasage à l’origine éventuel, par exemple dû à une réflexion sur un milieu plus dense).

Utilisation des vecteurs de Jones pour l’analyse de polarisation

1. Définir le vecteur de Jones initial de l’onde incidente (souvent non polarisée, traitée comme incohérente, ou polarisée rectilignement selon $\vec{u}_x$ : $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$).
2. Appliquer successivement les matrices de Jones des composants traversés dans l’ordre de propagation.
3. Calculer l’intensité finale par $I \propto |\underline{E}_{x,\text{sortie}}|^2 + |\underline{E}_{y,\text{sortie}}|^2$.

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Confondre différence de marche $\delta$ et différence de phase $\Delta\varphi$ : Ne pas oublier le facteur $\frac{2\pi}{\lambda_0}$ et le signe éventuel lié aux conditions aux limites (ex: déphasage de $\pi$ lors d’une réflexion sur un dioptre plus réfringent).
2. Oublier le domaine de validité de la cohérence : Des sources indépendantes (deux lasers distincts, deux ampoules) ne présentent pas de relation de phase stable dans le temps ($\Delta\varphi(t)$ varie de manière aléatoire). Le terme d’interférence s’annule temporellement ($\langle \cos(\Delta\varphi(t)) \rangle_t = 0$), on observe un isadition d’intensités $I = I_1 + I_2$ sans franges d’interférences.
3. Erreurs d’unités dans les applications numériques : Toujours convertir les longueurs d’onde ($\lambda_0$ en nanomètres $\text{nm}$) et les dimensions du dispositif (en mètres $\text{m}$) dans le système international avant tout calcul d’interfrange.
4. Mauvaise orientation des axes pour les matrices de Jones : Veiller à exprimer tous les vecteurs et matrices dans le même repère cartésien $(O, \vec{u}_x, \vec{u}_y)$ avant d’effectuer les produits matriciels.