Exercice 1 : Théorème de Bernoulli

Problème GUIDÉ : Étude d’un siphon autamorçant et bilans énergétiques

Matière : Physique-Chimie (Filière PSI)
Chapitre: ** Mécanique des fluides et bilans thermiques
Thème : Théorème de Bernoulli, pertes de charge et cavitation

Introduction et présentation du système

On considère un dispositif de vidange d’un grand réservoir d’eau ouvert à l’air libre, à l’aide d’un tuyau cylindrique de diamètre interne $D$ constant et de longueur totale $L$ . Le point $A$ représente la surface libre du réservoir, située à une altitude $z_A = H$ . Le point $B$ est le point le plus haut du siphon, situé à une altitude $z_B = H + h$ (avec $h > 0$ ). Le point $C$ est la sortie du tuyau, située à une altitude $z_C = 0$ .

Données numériques et physiques :

Accélération de la pesanteur : $g = 9,81 \, \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$
Masse volumique de l’eau : $\rho = 1000 \, \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$
Pression atmosphérique : $P_0 = 1,013 \times 10^5 \, \text{Pa}$
Viscosité dynamique de l’eau : $\mu = 1,00 \times 10^{-3} \, \text{Pa}\cdot\text{s}$
Hauteurs : $H = 5,0 \, \text{m}$ et $h = 1,5 \, \text{m}$
Diamètre du tuyau : $D = 2,0 \, \text{cm}$
Longueur totale du tuyau : $L = 12 \, \text{m}$

Partie I : Étude idéale (Fluide parfait, incompressible)

Dans cette première partie, on néglige les frottements visqueux et les pertes de charge singulières. Le fluide est supposé parfait.

Question 1 : Vitesse d’écoulement en sortie

Appliquer le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant entre le point $A$ (surface du réservoir) et le point $C$ (sortie du tuyau). En déduire l’expression littérale de la vitesse d’écoulement $v_C$ en $C$ , puis sa valeur numérique.

Indication : On pourra utiliser l’hypothèse de l’écoulement stationnaire et le fait que la surface du grand réservoir descend très lentement.

Corrigé détaillé - Question 1

Hypothèses et cadre d’application :
- Le fluide est incompressible ( $\rho = \text{cte}$ ) et parfait ( $\mu = 0$ ).
- L’écoulement est stationnaire.
- On applique le théorème de Bernoulli le long d’une ligne de courant reliant le point $A$ (surface libre) au point $C$ (sortie).
Application du théorème de Bernoulli : $P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_C + \frac{1}{2}\rho v_C^2 + \rho g z_C$
Conditions aux limites :
- En $A$ , le fluide est en contact avec l’atmosphère et la surface est grande, donc $P_A = P_0$ et $v_A \approx 0$ .
- En $C$ , le jet débouche à l’air libre, donc $P_C = P_0$ .
- Les altitudes sont $z_A = H$ et $z_C = 0$ .
Résolution pour $v_C$ : $P_0 + 0 + \rho g H = P_0 + \frac{1}{2}\rho v_C^2 + 0$ $\frac{1}{2}\rho v_C^2 = \rho g H \implies v_C = \sqrt{2gH}$
A.N. : $v_C = \sqrt{2 \times 9,81 \times 5,0} = \sqrt{98,1} \approx 9,90 \, \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Question 2 : Pression au sommet du siphon

Déterminer la pression $P_B$ au point $M$ situé au sommet du siphon (point $B$ ). Exprimer $P_B$ en fonction de $P_0$ , $\rho$ , $g$ , $H$ et $h$ . Commenter le résultat.

Corrigé détaillé - Question 2

Application du théorème de Bernoulli entre $A$ et $B$ : $P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B$
Conditions aux limites :
- $P_A = P_0$ , $v_A \approx 0$ , $z_A = H$ .
- Par conservation du débit massique dans un conduit de section constante $S$ , la vitesse est uniforme dans tout le tuyau : $v_B = v_C = \sqrt{2gH}$ .
- L’altitude du sommet est $z_B = H + h$ .
Injection et simplification : $P_0 + 0 + \rho g H = P_B + \frac{1}{2}\rho (2gH) + \rho g (H + h)$ $P_0 + \rho g H = P_B + \rho g H + \rho g H + \rho g h$ $P_B = P_0 - \rho g H - \rho g h$
A.N. : $P_B = 1,013 \times 10^5 - 1000 \times 9,81 \times 5,0 - 1000 \times 9,81 \times 1,5$ $P_B = 101300 - 49050 - 14715 = 37535 \, \text{Pa} \approx 3,75 \times 10^4 \, \text{Pa}$

Partie II : Prise en compte des pertes de charge (Fluide réel)

Dans cette partie, on introduit les pertes de charge régulières le long de la tuyauterie. On note $\Delta P_{\text{ch}}$ la perte de charge totale entre $A$ et $C$ .

Question 3 : Expression du débit en présence de pertes de charge

On modélise les pertes de charge régulières par la relation de Darcy-Weisbach : $\Delta P_{\text{ch}} = f \frac{L}{D} \frac{1}{2}\rho v^2$ où $f$ est le facteur de friction de Darcy. Écrire le théorème de Bernoulli généralisé (avec terme de perte de charge) entre $A$ et $C$ . En déduire l’expression littérale de la vitesse réelle $v$ dans le tuyau.

Corrigé détaillé - Question 3

Bernoulli généralisé : $P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_C + \frac{1}{2}\rho v_C^2 + \rho g z_C + \Delta P_{\text{ch}}$
Substitution : En posant $v_A = 0$ , $P_A = P_C = P_0$ , $z_A = H$ , $z_C = 0$ et $v_C = v$ : $\rho g H = \frac{1}{2}\rho v^2 + f \frac{L}{D} \frac{1}{2}\rho v^2$ $\rho g H = \frac{1}{2}\rho v^2 \left(1 + f \frac{L}{D}\right)$
Expression de la vitesse $v$ : $v = \sqrt{\frac{2gH}{1 + f \frac{L}{D}}}$

Question 4 : Régime d’écoulement et calcul numérique

En supposant un régime turbulent lissé pour lequel le facteur de friction est donné par la formule de Blasius $f = 0,316 \, Re^{-1/4}$ (avec $Re = \frac{\rho v D}{\mu}$ le nombre de Reynolds), on admet par résolution numérique que la vitesse réelle est $v \approx 6,5 \, \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Vérifier a posteriori la validité du régime d’écoulement (calculer $Re$ ) et estimer la nouvelle pression au sommet $P_B'$ .

Corrigé détaillé - Question 4

Calcul du nombre de Reynolds $Re$ : $Re = \frac{1000 \times 6,5 \times 0,02}{1,00 \times 10^{-3}} = 1,30 \times 10^5$ Le nombre de Reynolds est largement supérieur à $4000$ , l’écoulement est bien turbulent, ce qui valide l’utilisation de la corrélation de type Blasius.
Calcul de la pression $P_B'$ au sommet avec pertes de charge : Les pertes de charge entre $A$ et $B$ représentent environ la moitié des pertes totales (car la longueur du tronçon $AB$ est comparable au tronçon $BC$ , supposons par symétrie $\Delta P_{\text{ch}, AB} \approx \frac{1}{2}\Delta P_{\text{ch}}$ ). Plus rigoureusement, on applique le Bernoulli généralisé entre $A$ et $B$ : $P_A + \rho g z_A = P_B' + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z_B + f \frac{L_{AB}}{D} \frac{1}{2}\rho v^2$ Avec $L_{AB} \approx \frac{L}{2} = 6 \, \text{m}$ et $f \approx 0,316 \times (1,30 \times 10^5)^{-0,25} \approx 0,0175$ .

Calculons le terme de pertes de charge sur $AB$ : $\Delta P_{\text{ch}, AB} = 0,0175 \times \frac{6}{0,02} \times \frac{1}{2} \times 1000 \times (6,5)^2 \approx 22181 \, \text{Pa}$

Isolation de $P_B'$ : $P_0 + \rho g H = P_B' + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g (H+h) + \Delta P_{\text{ch}, AB}$ $P_B' = P_0 - \rho g H - \rho g h - \frac{1}{2}\rho v^2 - \Delta P_{\text{ch}, AB}$

A.N. : $P_B' = 101300 - 49050 - 14715 - \frac{1}{2}(1000)(6,5)^2 - 22181$ $P_B' = 101300 - 63765 - 21125 - 22181 = -5771 \, \text{Pa} \approx -5,8 \times 10^3 \, \text{Pa}$ La pression trouvée est négative.

Analyse critique des résultats

Dans la dernière question, la pression $P_B'$ calculée au sommet du siphon est négative (environ $-5,8 \, \text{kPa}$ en valeur absolue relative à la pression atmosphérique, soit une pression absolue de l’ordre de $95 \, \text{kPa}$ , ce qui est mathématiquement possible si le liquide est en tension).

Cependant, physiquement :

Phénomène de cavitation : L’eau liquide ne peut supporter des pressions inférieures à sa tension de vapeur saturante $P_{\text{sat}}(T)$ sans se vaporiser. À température ambiante ( $20^\circ\text{C}$ ), $P_{\text{sat}} \approx 2,34 \, \text{kPa}$ (en pression absolue).
Conséquence sur le système : Dès que la pression locale atteint $P_{\text{sat}}$ , l’eau se vaporise, il se forme une poche de vapeur au sommet $B$ . Le siphon se désamorce instantanément, la continuité de la colonne d’liquide est rompue.
Limite de hauteur : Pour qu’un tel siphon fonctionne en régime réel, la hauteur maximale $h$ par rapport au réservoir est limitée par la pression atmosphérique et ne peut excéder théoriquement $10,3 \, \text{m}$ (hauteur d’eau équivalente à $1 \, \text{atm}$ ), et en pratique bien moins à cause des pertes de charge et de la cavitation.