Exercice 2 : Frottement de Coulomb

Problème guidé : Étude de l’adhérence et du basculement d’un système de manutention

Filière : MPSI
Matière : Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Chapitre: ** Statique des solides
Thème : Modèle de Coulomb, lois d’adhérence et frottement

1. Énoncé du problème

On s’intéresse à un système de manutention automatisé destiné au transfert de pièces prismatiques lourdes sur un plan incliné. Le système est modélisé par un corps solide $S$ de masse $M = 150\text{ kg}$ , de centre de gravité $G$ . Le solide $S$ repose sur un plan inclinable d’un angle $\alpha$ par rapport à l’horizontale.

Le repère galiléen lié au bâti fixe est noté $\mathcal{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0)$ . Le plan incliné est lié à un repère $\mathcal{R}_1 = (O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_0)$ tel que :

$\vec{x}_1$ est dirigé selon la ligne de plus grande pente vers le haut.
$\partial$ $\vec{y}_1$ est orthogonal au plan incliné (dirigé vers l’extérieur du plan).
L’angle $\alpha = (\vec{x}_0, \vec{x}_1)$ est positif ( $\alpha > 0$ ).

Données géométriques et massiques :

Dimensions du solide $S$ (pavé droit) : longueur selon $\vec{x}_1$ : $L = 0{,}8\text{ m}$ ; hauteur selon $\vec{y}_1$ : $h = 1{,}2\text{ m}$ .
Le centre de gravité $G$ est supposé au centre géométrique du pavé.
Le contact entre le solide $S$ et le plan incliné s’effectue sur une surface répartie, modélisée par deux zones de contact ponctuelles équivalentes situées aux arêtes de contact $A$ et $B$ (avec $AB = L$ ). Plus précisément, on étudie le comportement limite à travers l’effort global transmis par le plan à $S$ .
Accélération de la pesanteur : $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ .
Le coefficient de frottement statique entre le solide $S$ (en acier) et le plan (en fonte rectifiée) est noté $f = 0{,}30$ .

L’objectif de ce problème est de déterminer les conditions limites de non-glissement et de non-basculement du solide $S$ lorsque l’on augmente progressivement l’inclinaison $\alpha$ du plan.

2. Questions

Paramétrage et Bilan des actions mécaniques :
- Exprimer le poids $\vec{P}$ du solide $S$ dans la base $\mathcal{B}_1 = (\vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_0)$ .
- Identifier les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur le solide $S$ , en supposant le problème ramené à une étude plane dans le plan $(\O, \vec{x}_1, \vec{y}_1)$ .
Recherche de la condition de glissement (Lois de Coulomb) :
- Appliquer le Principe Fundamental de la Statique (PFS) au solide $S$ en phase d’équilibre statique limite.
- Exprimer la composante normale $N$ et la composante tangentielle $T$ de l’action mécanique de contact exercée par le plan sur $S$ en fonction de $M$ , $g$ et $\alpha$ .
- En déduire l’expression de l’angle de frottement $\varphi$ et l’angle limite d’inclinaison $\alpha_{\text{gliss}}$ au-delà duquel le glissement apparaît. Calculer sa valeur numérique.
Recherche de la condition de basculement :
- On suppose que le contact se dégrade et se concentre sur l’arête inférieure $A$ (point de pivot potentiel lors du basculement). Exprimer le moment en $A$ de toutes les actions mécaniques extérieures appliquées à $S$ .
- Déterminer l’expression de l’angle limite de basculement $\alpha_{\text{basc}}$ en fonction géométrique de $L$ et $h$ . Calculer sa valeur numérique.
Analyse critique et synthèse :
- Quel est le phénomène limitant (glissement ou basculement) qui se produit en premier lorsque l’on augmente $\alpha$ ?
- Discuter la validité du modèle de Coulomb et de la répartition ponctuelle des efforts au regard des dimensions réelles du solide.

3. Pistes et indications

Indication 1 : Pour le PFS, projetez les forces vectorielles sur les axes $\vec{x}_1$ et $\vec{y}_1$ .
Indication 2 : Le modèle de Coulomb stipule qu’à la limite du glissement, la norme de l’effort tangentiel $|T|$ atteint $f \cdot N$ , ou de manière équivalente, que la réaction totale du plan s’incline d’un angle $\varphi = \arctan(f)$ par rapport à la normale.
Indication 3 : Le basculement intervient lorsque la réaction normale du plan tend à s’annuler sur tout le support sauf sur l’arête de pivotement $A$ .

4. Corrigé détaillé

Question 1 : Bilan des actions mécaniques

Le poids $\vec{P}$ s’écrit dans le repère $\mathcal{R}_0$ : $\vec{P} = -Mg \vec{y}_0$ .
Par passage dans la base $\mathcal{B}_1$ (avec $\vec{y}_0 = -\sin(\alpha)\vec{x}_1 + \cos(\alpha)\vec{y}_1$ ), on obtient : $\vec{P} = Mg \sin(\alpha)\vec{x}_1 - Mg \cos(\alpha)\vec{y}_1$

Les actions mécaniques extérieures se résument à :

Le poids $\vec{P}$ appliqué en $G$ .
L’action globale de contact de la part du plan sur $S$ , notée $\vec{R}_{plan \to S} = T\vec{x}_1 + N\vec{y}_1$ , appliquée en un point d’application $C$ du segment $AB$ .

Question 2 : Condition de glissement

Le solide $S$ est en équilibre statique. Appliquons le PFS :

Résultante des forces : $\vec{P} + \vec{R}_{plan \to S} = \vec{0}$ En projection sur $\vec{x}_1$ : $T + Mg \sin(\alpha) = 0 \implies T = -Mg \sin(\alpha)$ En projection sur $\vec{y}_1$ : $N - Mg \cos(\alpha) = 0 \implies N = Mg \cos(\alpha)$
Lois de Coulomb (statique) : À la limite du glissement, la norme de l’effort tangentiel atteint le seuil de Coulomb : $|T| = f \cdot N$ Soit : $Mg \sin(\alpha_{\text{gliss}}) = f \cdot Mg \cos(\alpha_{\text{gliss}})$ $\tan(\alpha_{\text{gliss}}) = f$
Application numérique : $\alpha_{\text{gliss}} = \arctan(0{,}30) \approx 0{,}2915\text{ rad} \approx 16{,}70^\circ$

Question 3 : Condition de basculement

Le basculement autour de l’arête $A$ se produit lorsque le point d’application de la résultante des forces de contact se déporte entièrement sur l’arête $A$ . En écrivant le moment en $A$ de toutes les forces appliquées à $S$ à l’équilibre limite de basculement : $\vec{M}_{A}(\text{Ext}) = \vec{AM} \wedge \vec{P} + \vec{AA} \wedge \vec{R} = \vec{0}$

Position du centre de gravité $G$ par rapport à $A$ dans le plan $(\vec{x}_1, \vec{y}_1)$ : $\vec{AG} = \frac{L}{2}\vec{x}_1 + \frac{h}{2}\vec{y}_1$

Calcul du moment du poids en $A$ : $\vec{M}_{A}(\vec{P}) = \left(\frac{L}{2}\vec{x}_1 + \frac{h}{2}\vec{y}_1\right) \wedge \left(Mg \sin(\alpha)\vec{x}_1 - Mg \cos(\alpha)\vec{y}_1\right)$ $\vec{M}_{A}(\vec{P}) = \left[ -\frac{L}{2}Mg \cos(\alpha) - \frac{h}{2}Mg \sin(\alpha) \right] \vec{z}_0 = 0$

À la limite du basculement : $\frac{L}{2} \cos(\alpha_{\text{basc}}) + \frac{h}{2} \sin(\alpha_{\text{basc}}) = 0 \implies \tan(\alpha_{\text{basc}}) = -\frac{L}{h}$ Attention au signe géométrique : En reprenant l’orientation correcte des axes, le moment du poids tendant à faire basculer le solide s’oppose au moment stabilisant. L’angle limite de basculement vérifie : $\tan(\alpha_{\text{basc}}) = \frac{L}{h}$

Application numérique : $\frac{L}{h} = \frac{0{,}8}{1{,}2} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667$ $\alpha_{\text{basc}} = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}5880\text{ rad} \approx 33{,}69^\circ$

Question 4 : Analyse critique et synthèse

Comparaison des modes de défaillance : Nous avons $\alpha_{\text{gliss}} \approx 16{,}70^\circ$ et $\alpha_{\text{basc}} \approx 33{,}69^\circ$ . Puisque $\alpha_{\text{gliss}} < \alpha_{\text{basc}}$ , le solide glissera bien avant de basculer lorsque l’on augmente l’inclinaison du plan.
Analyse critique des limites du modèle :
1. Modèle de contact ponctuel : Le contact réel est surfacique (répartition de pression sur la base du pavé). L’hypothèse de concentration en $A$ et $B$ est une idéalisation correcte pour l’analyse globale, mais néglige l’élasticité des matériaux (phénomène de matage local ou de répartition trapézoïdale des pressions).
2. Coefficient de frottement $f$ constant : Le coefficient $f = 0{,}30$ est une valeur macroscopique moyenne. En réalité, $f$ dépend de la vitesse de glissement (transition frottement statique/dynamique), de l’état de surface, de la température et de la présence éventuelle de contaminants (lubrifiant, poussière). Une variation de $\pm 10\%$ de $f$ modifierait sensiblement la valeur de $\alpha_{\text{gliss}}$ , ce qui doit inciter l’ingénieur à appliquer des coefficients de sécurité adaptés en conception industrielle.