Exercice 2 : Théorème de l énergie cinétique

Concours CPGE - Filière PSI

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur (SII)

Dynamique 3D et Énergétique des solides - Théorème de l’énergie cinétique

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Avertissement de l’examinateur

Ce problème est conçu pour être résolu pas à pas. En filière PSI, l’utilisation rigoureuse des torseurs, des matrices d’inertie et du Théorème de l’Énergie Cinetique (TEC) est systématiquement évaluée aux concours (CCE, Centrale-Supélec, Mines-Ponts). Veillez à bien expliciter les bilans énergétiques et à homogénéiser vos expressions littérales avant tout calcul numérique.

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Énoncé du Problème : Étude d’un mécanisme de levage industriel

On considère un système mécanique modélisé par deux solides en liaison pivot et glissant :

• Un bâti $0$ galiléen muni d’un repère orthonormé direct $\mathcal{R}_0 = (O, \vec{x}_0, \vec{y}_0, \vec{z}_0)$.
• Un bras élévateur $1$ de masse $M$, de centre de gravité $G_1$, en liaison pivot d’axe $(O, \vec{z}_0)$ avec le bâti $0$. On pose $\vec{angle}(\vec{x}_0, \vec{x}_1) = \theta(t)\vec{z}_0$.
• Une charge $2$ de masse $m$, assimilée à un point matériel $C$, en mouvement de translation rectiligne par rapport au bras $1$ le long de l’axe $(G_1, \vec{x}_1)$. On pose $\vec{G_1C} = x(t)\vec{x}_1$.

Le paramétrage est le suivant :

• $\mathcal{R}_1 = (O, \vec{x}_1, \vec{y}_1, \vec{z}_0)$ lié au solide $1$, avec $\vec{x}_1 = \cos\theta \vec{x}_0 + \sin\theta \vec{y}_0$.
• Le moment d’inertie du solide $1$ par rapport à son axe de rotation $(O, est noté$J_1$(avec$J_1 = \frac{1}{3}ML^2$, où$L$ est la longueur du bras).
• L’action de la pesanteur s’exerce selon $\vec{g} = -g \vec{y}_0$.

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Corrigé et Résolution Guidée

Partie 1 : Cinématique du système

Question 1.1

Exprimer le vecteur vitesse du point $C$ par rapport au repère $\mathcal{R}_0$, noté $\vec{V}(C \in \mathcal{R}_0)$, en fonction de $\theta$, $\dot{\theta}$, $x$ et $\dot{x}$.

Corrigé : On applique la composition des vitesses : $\vec{V}(C \in \mathcal{R}_0) = \vec{V}(C \in \mathcal{R}_1) + \vec{V}_{\text{ent}}(C \in \mathcal{R}_0/ \mathcal{R}_1)$

Par définition, $\vec{G_1C} = x(t)\vec{x}_1$, donc : $\vec{V}(C \in \mathcal{R}_1) = \dot{x}\vec{x}_1$

Pour la vitesse d’entraînement, $C$ est lié à $\mathcal{R}_1$ en rotation autour de $(O, \vec{z}_0)$ à la vitesse angulaire $\dot{\theta}\vec{z}_0$ : $\vec{V}_{\text{ent}}(C \in \mathcal{R}_0/ \mathcal{R}_1) = \vec{V}(G_1 \in \mathcal{R}_0/\mathcal{R}_1) + \vec{\Omega}(\mathcal{R}_1/\mathcal{R}_0) \land \vec{OC}$

Sachant que $\vec{OG}_1 = d\vec{x}_1$ (avec $d$ distance fixe, ou si $G_1$ est fixe en $O$, posons $G_1=O$ pour simplifier l’énoncé en considérant le bras de longueur $L$ avec $OG_1 = L_1$). Supposons pour la suite $O$ confondu avec l’origine du bras $1$ (donc $\vec{OC} = x\vec{x}_1$). $\vec{V}(C \in \mathcal{R}_0) = \dot{x}\vec{x}_1 + (\dot{\theta}\vec{z}_0) \land (x\vec{x}_1) = \dot{x}\vec{x}_1 + x\dot{\theta}\vec{y}_1$

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Partie 2 : Énergie cinétique du système

Question 2.1

Exprimer l’énergie cinétique galiléenne du solide $1$, notée $E_{c}(1/\mathcal{R}_0)$.

Corrigé : Le solide $1$ est en rotation fixe autour de l’axe $(O, \vec{z}_0)$ par rapport au bâti galiléen $\mathcal{R}_0$. $E_{c}(1/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} J_1 \dot{\theta}^2$

Question 2.2

Exprimer l’énergie cinétique de la charge $2$, notée $E_{c}(2/\mathcal{R}_0)$.

Corrigé : La charge $2$ est modélisée par un point matériel $C$ de masse $m$ : $E_{c}(2/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} m \|\vec{V}(C \in \mathcal{R}_0)\|^2$ D’après la question 1.1 : $\|\vec{V}(C \in \mathcal{R}_0)\|^2 = \dot{x}^2 + (x\dot{\theta})^2$ Donc : $E_{c}(2/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + x^2\dot{\theta}^2 \right)$

Question 2.3

En déduire l’énergie cinétique totale du système $\Sigma = \{1 + 2\}$.

Corrigé : $E_{c}(\Sigma/\mathcal{R}_0) = E_{c}(1/\mathcal{R}_0) + E_{c}(2/\mathcal{R}_0) = \frac{1}{2} J_1 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + x^2\dot{\theta}^2 \right)$

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Partie 3 : Application du Théorème de l’Énergie Cinétique (TEC)

On suppose que le mouvement est commandé par un moteur agissant sur le pivot d’axe $(O, \vec{z}_0)$ fournissant un couple moteur de moment $C_m$ et qu’un actionneur interne déplace la charge avec une force selon $\vec{x}_1$ de résultante $F_m \vec{x}_1$.

Question 3.1

Calculer la puissance des forces extérieures et intérieures appliquées au système $\Sigma$.

Corrigé :

1. Poids : $\mathcal{P}_{\text{poids}} = - \frac{d}{dt} E_p$ Avec $E_p = M g y_{G_1} + m g y_C = \left(M \frac{L}{2} + m x\right) g \sin\theta$. Donc $\mathcal{P}_{\text{poids}} = - \left( M \frac{L}{2} + m x \right) g \dot{\theta} \cos\theta - m g \dot{x} \sin\theta$.

2. Efforts moteurs : $\mathcal{P}_{\text{moteur}} = C_m \dot{\theta} + F_m \dot{x}$

Question 3.2

Appliquer le TEC sous sa forme dérivée par rapport au temps pour obtenir l’équation du mouvement selon la coordonnée généralisée $\theta$. (On supposera ici $x$ bloqué à une position $x_0$ constante pour cette question).

Corrigé : Le TEC s’écrit : $\frac{d}{dt}E_{c}(\Sigma/\mathcal{R}_0) = \mathcal{P}_{\text{ext} \to \Sigma} + \mathcal{P}_{\text{int}}$

Pour $x = x_0$ ($\dot{x} = 0$) : $E_{c} = \frac{1}{2} (J_1 + m x_0^2) \dot{\theta}^2$ En dérivant par rapport au temps : $\frac{d}{dt}E_{c} = (J_1 + m x_0^2) \ddot{\theta} \dot{\theta}$

En égalant avec la puissance des efforts (couple moteur + poids) : $(J_1 + m x_0^2) \ddot{\theta} \dot{\theta} = \left[ C_m - \left(M \frac{L}{2} + m x_0\right) g \cos\theta \right] \dot{\theta}$

En simplifiant par $\dot{\theta} \neq 0$ : $\boxed{(J_1 + m x_0^2) \ddot{\theta} + \left(M \frac{L}{2} + m x_0\right) g \cos\theta = C_m}$

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Partie 4 : Analyse critique des résultats

Analyse de l’examinateur :

1. Homogénéité : L’équation obtenue est homogène. Chaque terme s’exprime en unité de moment (N.m ou $\text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}$). En effet, $J_1\ddot{\theta}$ est en $\text{kg}\cdot\text{m}^2 \cdot (\text{rad}\cdot\text{s}^{-2})$, ce qui correspond bien à un couple.
2. Terme d’inertie variable : On observe que le moment d’inertie global du système $J_{\text{global}} = J_1 + m x_0^2$ dépend de la position $x_0$ de la charge. C’est un point clé en automatique : la fonction de transfert du système varie au cours du temps (système à paramètres non constants), ce qui complique la commande par PID classique et nécessite souvent des approches par gain schédulé (gain scheduling).
3. Cas limite : Si $m = 0$ et $C_m = 0$, on retombe sur l’équation d’un pendule pesant non linéaire amorti : $J_1 \ddot{\theta} + M \frac{L}{2} g \cos\theta = 0$, ce qui valide qualitativement le modèle énergétique.