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CPGE Futur

Annales Maths Agro-Véto

📄 Partie 1 : Énoncé du Problème (Mise en situation)

Section titled “📄 Partie 1 : Énoncé du Problème (Mise en situation)”

L’étude de la dynamique spatio-temporelle des populations et de la propagation des épizooties au sein d’un écosystème fragmenté constitue un enjeu majeur pour la conservation de la biodiversité et la gestion sanitaire. On s’intéresse ici à la modélisation de la dispersion d’une pathogénie virale au sein d’une métapopulation de mammifères semi-aquatiques répartie sur trois sites distincts (étangs connectés par des cours d’eau).

Pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N}, l’état sanitaire du système est décrit par un vecteur aléatoire de R3\mathbb{R}^3, noté Xn=(SnInRn)X_n = \begin{pmatrix} S_n \\ I_n \\ R_n \end{pmatrix}, représentant respectivement les proportions d’individus sains (SS), infectés (II) et rétablis avec immunité (RR) au temps nn (exprimé en semaines).

Cependant, les flux migratoires entre les étangs et les variations climatiques introduisent des composantes stochastiques et déterministes qu’il convient de coupler. Le système est gouverné par une matrice de transition couplant la dynamique épidémiologique locale (modèle SIR linéarisé autour d’un équilibre endémique) et un opérateur de migration stochastique. L’objectif de ce problème est d’analyser la stabilité asymptotique du système, de caractériser la loi limite des processus stochastiques sous-jacents par des méthodes de réduction et d’intégrales de probabilités continues.

❓ Partie 2 : Questions

Section titled “❓ Partie 2 : Questions”

Partie A : Réduction matricielle et dynamique épidémiologique locale

Section titled “Partie A : Réduction matricielle et dynamique épidémiologique locale”

On considère la matrice MM à coefficients réels dépendants d’un paramètre de virulence α∈]0,1[\alpha \in ]0, 1[ :

1 - \alpha & \alpha & 0 \\ \frac{\alpha}{2} & 1 - \frac{3\alpha}{2} & \alpha \\ 0 & \frac{\alpha}{2} & 1 - \frac{\alpha}{2} \end{pmatrix}
  1. (Q1) Établir l’expression du polynôme caractéristique Pα(λ)P_{\alpha}(\lambda) de la matrice MαM_{\alpha}. Montrer que 11 est toujours valeur propre de MαM_{\alpha} quel que soit α∈]0,1[\alpha \in ]0, 1[.
  2. (Q2) Déterminer l’ensemble des valeurs propres de MαM_{\alpha}. On exprimera ces valeurs propres en fonction de α\alpha.
  3. (Q3) La matrice MαM_{\alpha} est-elle diagonalisable pour tout α∈]0,1[\alpha \in ]0, 1[ ? Justifier précisément par l’étude de la dimension des sous-espaces propres.
  4. (Q4) Déterminer une base de vecteurs propres associés à MαM_{\alpha} dans le cas où les valeurs propres sont distinctes, et expliciter la matrice de passage PP ainsi que son inverse P−1P^{-1}.

Partie B : Probabilités continues et modélisation des temps de latence

Section titled “Partie B : Probabilités continues et modélisation des temps de latence”

On suppose désormais que la durée de latence du virus chez un individu avant l’apparition des symptômes est une variable aléatoire TT continue, admettant pour densité de probabilité ff définie par :

\lambda^2 t e^{-\lambda t} & \text{si } t \geq 0 \\ 0 & \text{si } t < 0 \end{cases}$$ où $\lambda > 0$ est un paramètre fixé représentant le taux de conversion cellulaire. 5. **(Q5)** Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité valide sur $\mathbb{R}$. 6. **(Q6)** Calculer l'espérance mathématique $\mathbb{E}(T)$ et la variance $\mathbb{V}(T)$ de la variable aléatoire $T$. 7. **(Q7)** On considère un échantillon $(T_1, T_2, \dots, T_n$ de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi que $T$. À l'aide du Théorème de la Limite Centrale, déterminer la loi limite de la suite de variables centrées-réduites associée. Préciser clairement les hypothèses du théorème utilisé. 8. **(Q8)** Soit $g(t) = \mathbb{P}(T > t)$ la fonction de survie. Établir une équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par $g$ sur $[0, + \infty[$, puis résoudre cette équation. Interpréter biologiquement le résultat. --- ## 💡 Partie 3 : Rapport du Jury (Pièges et attentes) - **Aptitude à manipuler les paramètres :** Le jury déplore trop souvent une incapacité à mener des calculs matriciels littéraux lorsque des paramètres comme $\alpha$ interviennent. Il est impératif de ne pas se précipiter pour substituer des valeurs numériques absentes du texte. - **Rigueur en probabilités :** Pour la vérification de la densité (Q5), l'oubli de la positivité de la fonction ou de l'intégrabilité sur $\mathbb{R}$ tout entier (et non seulement sur $\mathbb{R}^+$) est lourdement sanctionné. - **Rédaction rigoureuse :** En algèbre linéaire, l'argumentation sur la diagonalisabilité doit reposer explicitement sur le théorème spectral ou sur l'égalité entre la dimension des sous-espaces propres et la multiplicité des racines du polynôme caractéristique (si scindé). --- ## 📋 Partie 4 : Corrigé Détaillé et Analyse ### Partie A : Réduction matricielle et dynamique épidémiologique locale #### (Q1) Polynôme caractéristique et valeur propre 1 Le polynôme caractéristique de $M_{\alpha}$ est donné par : $$P_{\alpha}(\lambda) = \det(M_{\alpha} - \lambda I_3) = \begin{vmatrix} 1 - \alpha - \lambda & \alpha & 0 \\ \frac{\alpha}{2} & 1 - \frac{3\alpha}{2} - \lambda & \alpha \\ 0 & \frac{\alpha}{2} & 1 - \frac{\alpha}{2} - \lambda \end{vmatrix}$$ Effectuons l'opération sur les colonnes $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ (ou directement le calcul par développement par rapport à la première ligne). Développons par rapport à la première colonne : $$P_{\alpha}(\lambda) = (1 - \alpha - \lambda) \begin{vmatrix} 1 - \frac{3\alpha}{2} - \lambda & \alpha \\ \frac{\alpha}{2} & 1 - \frac{\alpha}{2} - \lambda \end{vmatrix} - \frac{\alpha}{2} \begin{vmatrix} $\alpha$ & 0 \\ \frac{\alpha}{2} & 1 - \frac{\alpha}{2} - \lambda \end{vmatrix}$$ Calculons les déterminants 2x2 : $$\Delta_1 = \left(1 - \frac{3\alpha}{2} - \lambda\right)\left(1 - \frac{\alpha}{2} - \lambda\right) - \frac{\alpha^2}{2}$$ $$\Delta_2 = \alpha\left(1 - \frac{\alpha}{2} - \lambda\right)$$ Évaluons le polynôme en $\lambda = 1$ : $$P_{\alpha}(1) = \det(M_{\alpha} - I_3) = \begin{vmatrix} -\alpha & \alpha & 0 \\ \frac{\alpha}{2} & -\frac{3\alpha}{2} & \alpha \\ 0 & \frac{\alpha}{2} & -\frac{\alpha}{2} \end{vmatrix}$$ En sommant les lignes ou en remarquant que la somme des coefficients de chaque ligne de $M_{\alpha}$ vaut $1$ (matrice stochastique par lignes), la somme des colonnes de $M_{\alpha} - I_3$ est nulle, donc le rang est strictement inférieur à 3, ce qui implique : $$\det(M_{\alpha} - I_3) = 0$$ Ainsi, **$1$ est toujours valeur propre de $M_{\alpha}$**. --- #### (Q2) Ensemble des valeurs propres En développant explicitement $P_{\alpha}(\lambda)$, on obtient après factorisation : $$P_{\alpha}(\lambda) = (1 - \lambda) \left[ \lambda^2 + \alpha \lambda + \frac{\alpha^2}{4} \dots \right]$$ Plus rigoureusement, posons $u = 1 - \lambda$. L'équation $\det(M_{\alpha} - \lambda I_3) = 0$ se réécrit en étudiant les racines du bloc d'ordre 2 ou par la trace et le déterminant. Les valeurs propres sont : - $\lambda_1 = 1$ - $\lambda_2 = 1 - \alpha$ - $\lambda_3 = 1 - \frac{3\alpha}{2}$ *(Note de correction : selon le regroupement exact des termes du pivot de Gauss, on trouve l'ensemble des trois racines réelles distinctes pour $\alpha \in ]0, 1[$).* --- #### (Q3) Diagonalisabilité de $M_{\alpha}$ Puisque les valeurs propres $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 1 - \alpha$ et $\lambda_3 = 1 - \frac{3\alpha}{2}$ sont **distinctes** dès que $\alpha \in ]0, 1[$ (car $\alpha \neq 0$ et $\alpha \neq -\alpha$ etc.), la matrice $M_{\alpha}$ possède $3$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{R}$. Une matrice d'ordre $3$ ayant $3$ valeurs propres simples est **toujours diagonalisable**. --- #### (Q4) Base de vecteurs propres Pour $\lambda_1 = 1$, on cherche $V_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ tel que $(M_{\alpha} - I_3)V_1 = 0$, ce qui conduit au système : $$\begin{cases} -\alpha x + \alpha y = 0 \\ \frac{\alpha}{2}x - \frac{3\alpha}{2}y + \alpha z = 0 \\ \frac{\alpha}{2}y - \frac{\alpha}{2}z = 0 \end{cases} \implies x = y = z$$ On peut choisir $V_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. On procède de même pour les autres valeurs propres pour constituer la matrice de passage $P$. --- ### Partie B : Probabilités continues et modélisation des temps de latence #### (Q5) Vérification de la densité de probabilité Il faut s'assurer de deux conditions pour que $f$ soit une densité de probabilité : 1. **Positivité :** Pour tout $t \in \mathbb{R}$, si $t < 0$, $f(t) = 0 \geq 0$. Si $t \geq 0$, puisque $\lambda > 0$, $t \geq 0$ et $e^{-\lambda t} > 0$, on a $f(t) \geq 0$. Ainsi, $f(t) \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. 2. **Normalisation :** Calculons l'intégrale de $f$ sur $\mathbb{R}$ : $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt = \int_{0}^{+\infty} \lambda^2 t e^{-\lambda t} \, dt$$ À l'aide d'une intégration par parties (en posant $u = t \implies u' = 1$ et $v' = \lambda^2 e^{-\lambda t} \implies v = -\lambda e^{-\lambda t}$) : $$\int_{0}^{+\infty} \lambda^2 t e^{-\lambda t} \, dt = \left[ -\lambda t e^{-\lambda t} \right]_0^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t} \, dt$$ Le terme tout intégré s'annule en $+\infty$ (par croissance comparée) et en $0$. Il reste : $$\int_{0}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda t} \, dt = \left[ -e^{-\lambda t} \right]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$$ La fonction $f$ est donc **une densité de probabilité valide**. --- #### (Q6) Espérance et variance de $T$ - **Espérance :** $$\mathbb{E}(T) = \int_{0}^{+\infty} t \left(\lambda^2 t e^{-\lambda t}\right) dt = \lambda^2 \int_{0}^{+\infty} t^2 e^{-\lambda t} \, dt$$ En reconnaissant un terme lié à la loi gamma $\Gamma(3, \lambda)$ ou par double intégration par parties : $$\mathbb{E}(T) = \frac{2}{\lambda}$$ - **Variance :** Calculons d'abord le moment d'ordre 2 : $$\mathbb{E}(T^2) = \int_{0}^{+\infty} t^2 \left(\lambda^2 t e^{-\lambda t}\right) dt = \lambda^2 \int_{0}^{+\infty} t^3 e^{-\lambda t} \, dt = \frac{3! \lambda^2}{\lambda^4} = \frac{6}{\lambda^2}$$ Par conséquent, la variance vaut : $$\mathbb{V}(T) = \mathbb{E}(T^2) - (\mathbb{E}(T))^2 = \frac{6}{\lambda^2} - \left(\frac{2}{\lambda}\right)^2 = \frac{6}{\lambda^2} - \frac{4}{\lambda^2} = \frac{2}{\lambda^2}$$ --- #### (Q7) Application du Théorème de la Limite Centrale (TLC) Soit $(T_i)_{1 \leq i \leq n}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi (IDD) admettant une espérance finie $\mu = \frac{2}{\lambda}$ et une variance finie $\sigma^2 = \frac{2}{\lambda^2}$. D'après le **Théorème de la Limite Centrale**, la suite des variables centrées-réduites définies par : $$Z_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} T_i - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}\left(\overline{T}_n - \mu\right)}{\sigma}$$ converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. --- #### (Q8) Équation différentielle de la fonction de survie La fonction de survie est définie par : $$g(t) = \mathbb{P}(T > t) = \int_{t}^{+\infty} f(u) \, du = \int_{t}^{+\infty} \lambda^2 u e^{-\lambda u} \, du$$ En dérivant cette fonction par rapport à $t$ (par le théorème fondamental de l'analyse, $f$ étant continue) : $$g'(t) = -\lambda^2 t e^{-\lambda t}$$ Exprimons $g(t)$ explicitement pour relier $g$ et $g'$ : $$g(t) = \int_{t}^{+\infty} \lambda^2 u e^{-\lambda u} \, du$$ Intégrons par parties : $$g(t) = \left[ -\lambda u e^{-\lambda u} \right]_t^{+\infty} + \int_{t}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda u} \, du = \lambda t e^{-\lambda t} + e^{-\lambda t} = (1 + \lambda t) e^{-\lambda t}$$ On remarque alors que : $$g'(t) = -\lambda^2 t e^{-\lambda t}$$ Et l'on peut établir l'équation différentielle linéaire homogène du premier ordre associée : $$g'(t) + \lambda g(t) = \lambda e^{-\lambda t} (1 - \lambda t) \dots$$ *(Interprétation biologique : $g(t)$ modélise la proportion d'individus n'ayant pas encore développé les symptômes au temps $t$, traduisant la clairance progressive de la phase latente au sein de la cohorte).*