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CPGE Futur

Exercice 1 : Équations de Maxwell

Problème guidé : Étude d’un plasma froid non magnétisé et limites du modèle macroscopique

Section titled “Problème guidé : Étude d’un plasma froid non magnétisé et limites du modèle macroscopique”

Énoncé

Section titled “Énoncé”

Le but de ce problème est d’étudier la propagation d’ondes électromagnétiques dans un plasma raréfié (ionosphère par exemple), modélisé comme un gaz neutre en moyenne constitué d’ions fixes (en raison de leur grande masse) et d’électrons libres de masse mm et de charge q=−eq = -e (e>0e > 0). On s’intéresse à l’influence de ce milieu sur la propagation des signaux hertziens et à la rigueur de la modélisation macroscopique associée.

Le plasma est caractérisé à l’échelle macroscopique par une densité volumique de charge nulle (ρ=0\rho = 0) et une densité volumique de courant j⃗(r⃗,t)=−n0ev⃗(r⃗,t)\vec{j}(\vec{r}, t) = -n_0 e \vec{v}(\vec{r}, t), où n0n_0 est la densité volumique moyenne des électrons et v⃗(r⃗,t)\vec{v}(\vec{r}, t) leur vitesse moyenne d’agitation sous l’effet du champ électromagnétique. On note ε0\varepsilon_0 la permittivité diélectrique du vide et μ0\mu_0 sa perméabilité magnétique.

Questions

Section titled “Questions”

Partie I : Établissement du modèle et équation de propagation

Section titled “Partie I : Établissement du modèle et équation de propagation”
  1. Rappeler les équations de Maxwell locales dans le vide en présence de charges et de courants macroscopiques.
  2. En négligeant l’agitation thermique des électrons et les forces magnétiques devant les forces électriques (approximation des petits mouvements et ondes non relativistes), écrire l’équation du mouvement d’un électron soumis au champ électrique E⃗\vec{E} de l’onde.
  3. En déduire une relation vectorielle liant la dérivée temporelle du vecteur densité de courant j⃗\vec{j} au champ électrique E⃗\vec{E}.
  4. En combinant les équations de Maxwell et la relation précédente, établir l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique E⃗\vec{E} sous la forme : ΔE⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=μ0σ0∂E⃗∂t\Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \mu_0 \sigma_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ou exprimer le terme source en fonction d’une pulsation caractéristique du plasma, notée ωp\omega_p (pulsation plasma), que l’on précisera.

Partie II : Étude dispersive et analyse critique

Section titled “Partie II : Étude dispersive et analyse critique”
  1. On cherche une solution sous forme d’onde plane harmonique polarisée rectilignement : E⃗(r⃗,t)=E0exp⁡[i(ωt−k⃗⋅r⃗)]u⃗x\vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \exp[i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})] \vec{u}_x Injecter cette expression dans l’équation de propagation et obtenir la relation de dispersion du milieu liant ω\omega et k=∥k⃗∥k = \|\vec{k}\|.
  2. Tracer l’allure de la fonction ω(k)\omega(k). Mettre en évidence la notion de fréquence de coupure. Que se passe-t-il pour les ondes de fréquence ω<ωp\omega < \omega_p ?
  3. Analyse critique et rigueur du modèle :
    • Discuter l’hypothèse d’isorépartition et de champ magnétique négligeable (v⃗∧B⃗\vec{v} \land \vec{B} devant E⃗\vec{E}). Quelle est l’condition sur l’amplitude du champ électrique pour que ce modèle linéaire reste valide ?
    • Le milieu est-il réellement continu ? Justifier l’utilisation d’une description macroscopique (équations de Maxwell moyennées) face à la nature microscopique (discrète) du plasma.

Pistes et indications

Section titled “Pistes et indications”
  • Piste 1 (Q2) : Appliquez le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) à un électron isolé dans le référentiel galiléen du laboratoire.
  • Piste 2 (Q4) : Utilisez l’opérateur rotationnel appliqué au rotationnel du champ électrique (rot(rotE⃗)=grad(divE⃗)−ΔE⃗\text{rot}(\text{rot}\vec{E}) = \text{grad}(\text{div}\vec{E}) - \Delta \vec{E}) couplé aux équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère.
  • Piste 3 (Q7) : Pensez à comparer la vitesse induite des électrons devant la vitesse de la lumière cc, et comparez la longueur d’onde de l’onde à la distance interparticulaire moyenne (≈n0−1/3\approx n_0^{-1/3}).

Corrigé pas à pas

Section titled “Corrigé pas à pas”

Partie I

Section titled “Partie I”

1. Équations de Maxwell locales : Les équations de Maxwell dans le vide en présence de sources macroscopiques (ρ\rho et j⃗\vec{j}) s’écrivent :

  • Maxwell-Gauss : divE⃗=ρε0\text{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
  • Maxwell-Flux : divB⃗=0\text{div}\vec{B} = 0
  • Maxwell-Faraday : rotE⃗=−∂B⃗∂t\text{rot}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
  • Maxwell-Ampère : rotB⃗=μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t\text{rot}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

2. Équation du mouvement de l’électron : Pour un électron de charge q=−eq = -e et de masse mm, le PFD s’écrit : m∂v⃗∂t=−e(E⃗+v⃗∧B⃗)m \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -e (\vec{E} + \vec{v} \land \vec{B}) Dans le cadre de l’approximation des ondes non relativistes et des faibles perturbations, le terme magnétique v⃗∧B⃗\vec{v} \land \vec{B} est de l’ordre de v/cv/c devant le terme électrique (en ordre de grandeur E∼cBE \sim cB). On le néglige donc devant E⃗\vec{E}. Il vient : m∂v⃗∂t=−eE⃗m \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -e \vec{E}

3. Lien entre j⃗\vec{j} et E⃗\vec{E} : Par définition, la densité de courant est j⃗=−neev⃗\vec{j} = -n_e e \vec{v} (avec ne≈n0n_e \approx n_0 la densité moyenne). En dérivant par rapport au temps et en injectant le PFD : ∂j⃗∂t=−n0e∂v⃗∂t=−n0e(−emE⃗)=n0e2mE⃗\frac{\partial \vec{j}}{\partial t} = -n_0 e \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -n_0 e \left(-\frac{e}{m} \vec{E}\right) = \frac{n_0 e^2}{m} \vec{E}

4. Équation de propagation : Appliquons l’opérateur rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday : rot(rotE⃗)=grad(divE⃗)−ΔE⃗=−∂∂t(rotB⃗)\text{rot}(\text{rot}\vec{E}) = \text{grad}(\text{div}\vec{E}) - \Delta \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\text{rot}\vec{B}) Puisque le plasma est globalement neutre (ρ=0\rho = 0), Maxwell-Gauss donne divE⃗=0\text{div}\vec{E} = 0. En remplaçant rotB⃗\text{rot}\vec{B} par l’équation de Maxwell-Ampère : −ΔE⃗=−∂∂t(μ0j⃗+μ0ε0∂E⃗∂t)=−μ0∂j⃗∂t−μ0ε0∂2E⃗∂t2-\Delta \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = -\mu_0 \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} En injectant la relation ∂j⃗∂t=n0e2mE⃗\frac{\partial \vec{j}}{\partial t} = \frac{n_0 e^2}{m} \vec{E}, on obtient : ΔE⃗−μ0ε0∂2E⃗∂t2=μ0n0e2mE⃗\Delta \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \mu_0 \frac{n_0 e^2}{m} \vec{E} En posant la pulsation plasma ωp=n0e2mε0\omega_p = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{m \varepsilon_0}}, l’équation se réécrit sous la forme type demandée (avec μ0ε0=1c2\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}) : ΔE⃗−1c2∂2E⃗∂t2=ωp2c2E⃗\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \frac{\omega_p^2}{c^2} \vec{E}

Partie II

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5. Relation de dispersion : Pour l’onde plane E⃗=E0ei(ωt−k⃗⋅x⃗)u⃗x\vec{E} = E_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{x})} \vec{u}_x, les opérateurs différentiels se traduisent par :

  • ΔE⃗→−k2E⃗\Delta \vec{E} \rightarrow -k^2 \vec{E}
  • ∂2E⃗∂t2→−ω2E⃗\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \rightarrow -\omega^2 \vec{E}

L’équation de propagation devient : −k2E⃗−1c2(−ω2E⃗)=ωp2c2E⃗-k^2 \vec{E} - \frac{1}{c^2}(-\omega^2 \vec{E}) = \frac{\omega_p^2}{c^2} \vec{E} En simplifiant par E⃗\vec{E} (non nul), on obtient la relation de dispersion : k2=ω2−ωp2c2⟺ω2=ωp2+c2k2k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} \quad \Longleftrightarrow \quad \omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2

6. Allure et interprétation : La courbe ω(k)\omega(k) est une branche d’hyperbole démarrant en k=0k=0 pour ω=ωp\omega = \omega_p.

  • Si ω<ωp\omega < \omega_p : k2<0k^2 < 0, donc kk est pur imaginaire (k=iαk = i \alpha avec α∈R\alpha \in \mathbb{R}). L’onde ne se propage pas, elle est évanescente : le champ est amorti exponentiellement dans le plasma. Le milieu est opaque.
  • Si ω>ωp\omega > \omega_p : kk est réel, l’onde se propage avec une vitesse de phase vφ=ωk=c1−ωp2/ω2>cv_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}} > c. Le milieu est transparent. ωp\omega_p est bien une fréquence de coupure.

7. Analyse critique et limites du modèle :

  • Validité du champ magnétique négligé : L’amplitude de la vitesse des électrons est de l’ordre de v∼eEmωv \sim \frac{e E}{m \omega}. Le champ magnétique de l’onde vérifie B∼EcB \sim \frac{E}{c}. Le rapport des forces est donc evBeE∼vc∼eEmωc\frac{e v B}{e E} \sim \frac{v}{c} \sim \frac{e E}{m \omega c}. Pour que le modèle linéaire soit valide, il faut impérativement que ce rapport soit très inférieur à 11, soit E≪mωceE \ll \frac{m \omega c}{e}. Si le champ laser ou l’onde est de forte amplitude, les effets non linéaires (termes en v⃗∧B⃗\vec{v} \land \vec{B} et harmoniques supérieurs) deviennent prépondérants.
  • Continuum macroscopique vs discontinuité microscopique : Le modèle utilise des champs continus (E⃗,j⃗\vec{E}, \vec{j}) et une densité moyenne n0n_0. Cette description macroscopique n’a de sens que si le volume élémentaire dS contient un grand nombre d’électrons, et si les variations spatiales du champ électromagnétique se font sur des distances LL (par exemple la longueur d’onde λ=2π/k\lambda = 2\pi/k) très grandes devant la distance interparticulaire moyenne d≈n0−1/3d \approx n_0^{-1/3} (paramètre de plasma Λ=n0λD3≫1\Lambda = n_0 \lambda_D^3 \gg 1). Si la longueur d’onde devient du même ordre de grandeur que la distance interparticulaire, la description fluide échoue et il faut recourir à une description statistique microscopique (équation de Vlasov).