Cours : Électromagnétisme et Conversion de puissance

Fiche de Cours : Électromagnétisme et Conversion de puissance

Niveau: ** Deuxième année (CPGE - PSI)
Matière : Physique-Chimie

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1. Introduction et rappels d’électromagnétisme

L’électromagnétisme macroscopique repose sur les équations de Maxwell dans l’ARQS (Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires), complétées par les lois de comportement des milieux.

1.1. Équations de Maxwell (ARQS)

Dans l’ARQS, le terme de courant de déplacement $\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ est négligé devant le vecteur densité de courant $\vec{j}$ dans l’équation de Maxwell-Ampère.

• Maxwell-Gauss : $\operatorname{div}(\vec{E}) = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$
• Maxwell-Thomson : $\operatorname{div}(\vec{B}) = 0$
• Maxwell-Faraday : $\operatorname{rot}(\vec{E}) = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
• Maxwell-Ampère (ARQS) : $\operatorname{rot}(\vec{B}) = \mu_0 \vec{j}$

1.2. Lois globales de l’induction

• Flux magnétique à travers un circuit $C$ s’appuyant sur une surface $\Sigma$ : $\Phi = \iint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \vec{n} \, dS$
• Loi de Faraday (fém induite) : $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ Cette fém comprend une contribution liée à la variation temporelle du champ ($\text{terme transformateur}$) et/ou au mouvement du circuit ($\text{terme cinétique}$).

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2. Bilan énergétique et forces électromagnétiques

2.1. Puissance des forces de Lorentz

Pour une charge $q$ se déplacant à la vitesse $\vec{v}$ dans un champ électromagnétique $(\vec{E}, \vec{B})$, la force de Lorentz est $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \land \vec{B})$.
La puissance par unité de volume cédée aux charges libres de densité volumique $\rho$ et de vitesse moyenne $\vec{v}$ est : $\mathcal{P}_{\text{vol}} = \vec{j} \cdot \vec{E}$

2.2. Théorème de Poynting

Le bilan énergétique local s’établit sous la forme : $\frac{\partial u_{\text{em}}}{\partial t} + \operatorname{div}(\vec{\Pi}) = -\vec{j} \cdot \vec{E}$ Où :

• $u_{\text{em}} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ est la densité volumique d’énergie électromagnétique.
• $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \land \vec{B}$ est le vecteur de Poynting, représentant le flux surfacique de puissance électromagnétique.

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3. Conversion Électromécanique : Machines Tournantes

La conversion de puissance entre l’énergie électrique et l’énergie mécanique repose sur les actions de Laplace et l’induction du mouvement.

3.1. Modèle du convertisseur idéal

Soit un système siège d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire $\Omega$ autour d’un axe fixe, soumis à un couple électromagnétique $\Gamma_{\text{em}}$ et parcouru par un courant $I$ sous une tension induite $E$.

La conservation de la puissance (en négligeant les pertes joule et mécaniques) s’écrit : $P_{\text{ électrique}} = E \cdot I = \Gamma_{\text{em}} \cdot \Omega = P_{\text{ mécanique}}$

On en déduit les relations fondamentales des machines à courant continu (MCC) ou synchrones : $E = K \Phi_0 \Omega \quad \text{et} \quad \Gamma_{\text{em}} = K \Phi_0 I$ Où $K$ est une constante géométrique et $\Phi_0$ le flux inducteur.

3.2. Machine à Courant Continu (MCC) à aimants permanents

Électriquement, le modèle équivalent de l’induit est une association série (modèle de Thévenin) : $U = E + R I + L \frac{dI}{dt}$ Avec :

• $U$ : tension aux bornes de l’induit ($\text{en V}$)
• $R$ : résistance de l’induit ($\text{en }\Omega$)
• $L$ : inductance propre de l’induit ($\text{en H}$)

Mécaniquement, l’équation du mouvement (principe fondamental de la dynamique en rotation) s’écrit : $J \frac{d\Omega}{dt} = \Gamma_{\text{em}} - \Gamma_{\text{f}} - \Gamma_{\text{res}}$ Où $J$ est le moment d’inertie de l’équipage mobile, $\Gamma_{\text{f}} = f \Omega$ le couple de frottement visqueux, et $\Gamma_{\text{res}}$ le couple résistant extérieur.

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4. Convertisseurs statiques (Électronique de puissance)

La conversion de puissance électrique (AC/DC, DC/DC, etc.) est assurée par des interrupteurs commandés (transistors MOSFET, IGBT) fonctionnant en régime bloqué/saturé (interrupteurs parfaits).

4.1. Hacheur série (DC/DC abaisseur ou Buck)

Il permet d’abaisser une tension continue $E$ en une tension moyenne réglable $\langle u \rangle$.

• Rapport cyclique $\alpha = \frac{t_{\text{on}}}{T}$ avec $t_{\text{on}}$ la durée de conduction de l’interrupteur sur une période $T$.
• En régime permanent et en conduction continue (le courant dans la bobine ne s’annule pas) : $\langle u \rangle = \alpha E$

4.2. Onduleur autonome (DC/AC)

Il convertit une source de tension continue en une source de tension alternative (fréquemment modulée par MLI - Modulation de Largeur d’Impulsion). Le filtrage en sortie permet de ne conserver que le fondamental de la tension alternative pour alimenter, par exemple, une machine synchrone ou asynchrone.

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5. Démonstration clé : Bilan de puissance d’une MCC en régime permanent

Objectif: ** Établir le rendement d’une MCC fonctionnant en moteur.

1. Équations stationnaires ($\frac{d}{dt} = 0$) :

   • Électrique : $U = E + R I \implies U I = E I + R I^2$
   • Électromécanique : $E I = \Gamma_{\text{em}} \Omega$
   • Mécanique : $\Gamma_{\text{em}} = \Gamma_{\text{res}} + f \Omega \implies \Gamma_{\text{em}} \Omega = \Gamma_{\text{res}} \Omega + f \Omega^2$

2. Bilan des puissances :

   • Puissance absorbée par l’induit : $P_{\text{abs}} = U I$
   • Pertes par effet Joule dans l’induit : $P_{\text{j}} = R I^2$
   • Puissance convertie (électromagnétique) : $P_{\text{em}} = E I = P_{\text{abs}} - P_{\text{j}}$
   • Pertes mécaniques : $P_{\text{meca}} = f \Omega^2$
   • Puissance utile : $P_{\text{ut}} = \Gamma_{\text{res}} \Omega = P_{\text{em}} - P_{\text{meca}}$

3. Expression du rendement $\eta$ : $\eta = \frac{P_{\text{ut}}}{P_{\text{abs}}} = \frac{\Gamma_{\text{res}} \Omega}{U I}$