Cours : Algèbre linéaire et calcul matriciel

Algèbre linéaire et calcul matriciel

Dans l’ensemble de ce cours, $\mathbb{K}$ désigne le corps $\mathbb{R}$ (ou éventuellement $\mathbb{C}$). Les lettres $E, F, G$ désignent des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels.

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I. Espaces et sous-espaces vectoriels

1. Structure de $\mathbb{K}$-espace vectoriel

Définition : Espace vectoriel

On appelle $\mathbb{K}$-espace vectoriel un ensemble non vide $E$ muni :

1. D’une loi de composition interne notée $+ : E \times E \to E$ telle que $(E, +)$ soit un groupe abélien (commutatif), d’élément neutre noté $0_E$.
2. D’une loi de composition externe notée $\cdot : \mathbb{K} \times E \to E$ vérifiant, pour tous $(\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2$ et tous $(u, v) \in E^2$ :
   • $\lambda \cdot (u + v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v$
   • $(\lambda + \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u$
   • $(\lambda \mu) \cdot u = \lambda \cdot (\mu \cdot u)$
   • $1_{\mathbb{K}} \cdot u = u$

Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs, ceux de $\mathbb{K}$ des scalaires.

2. Sous-espaces vectoriels (sev)

Définition : Sous-espace vectoriel

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si :

1. $F \subset E$ et $F \neq \emptyset$ (en pratique, on vérifie $0_E \in F$).
2. $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall (u, v) \in F^2, \quad \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \quad \lambda u + \mu v \in F$

Théorème : Intersection de sous-espaces vectoriels

Soit $(F_i)_{i \in I}$ une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de $E$. L’intersection $\bigcap_{i \in I} F_i$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Démonstration :

• Pour tout $i \in I$, $0_E \in F_i$, donc $0_E \in \bigcap_{i \in I} F_i \neq \emptyset$.
• Soient $(u, v) \in \left(\bigcap_{i \in I} F_i\right)^2$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$. Pour tout $i \in I$, $u \in F_i$ et $v \in F_i$. Comme $F_i$ est un sev, $\lambda u + \mu v \in F_i$. Ceci étant vrai pour tout $i \in I$, $\lambda u + \mu v \in \bigcap_{i \in I} F_i$. $\blacksquare$

Remarque fondamentale : La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est généralement pas un sous-espace vectoriel (sauf si l’un est inclus dans l’autre).

3. Sous-espace engendré

Définition : Combinaison linéaire et espace vectoriel engendré

Soit $\mathcal{F} = (v_1, \dots, v_p) \in E^p$ une famille finie de vecteurs.

• On appelle combinaison linéaire des vecteurs de $\mathcal{F}$ tout vecteur $u \in E$ de la forme : $u = \sum_{k=1}^p \lambda_k v_k \quad \text{avec } (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{K}^p$
• Le sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal{F}$, noté $\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$ ou $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p)$, est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs : $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_p) = \left\{ \sum_{k=1}^p \lambda_k v_k \ \middle|\ (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{K}^p \right\}$

$\operatorname{Vect}(\mathcal{F})$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ (au sens de l’inclusion) contenant la famille $\mathcal{F}$.

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II. Familles de vecteurs et dimension finie

1. Familles libres, génératrices, bases

Soit $\mathcal{F} = (e_1, \dots, e_n)$ une famille finie de vecteurs de $E$.

Définition : Famille libre (vecteurs linéairement indépendants)

La famille $\mathcal{F}$ est dite libre si : $\forall (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n, \quad \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0_E \implies \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0$ Dans le cas contraire, la famille est dite liée. Il existe alors une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls.

Définition : Famille génératrice

La famille $\mathcal{F}$ est dite génératrice de $E$ si : $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = E$ Autrement dit, tout vecteur de $E$ s’écrit comme combinaison linéaire des éléments de $\mathcal{F}$.

Définition : Base

La famille $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si elle est à la fois libre et génératrice de $E$.

Théorème fondamental : Caractérisation par unicité des composantes

$\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si et seulement si pour tout vecteur $x \in E$, il existe un unique $n$-uplet $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^n$ tel que : $x = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i$ Les scalaires $\lambda_i$ sont appelés les coordonnées (ou composantes) de $x$ dans la base $\mathcal{B}$.

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2. Dimension finie

Définition : Espace de dimension finie

Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est dit de dimension finie s’il admet une famille génératrice finie. Par convention, l’espace nul $\{0_E\}$ est de dimension finie, et $\dim(\{0_E\}) = 0$.

Théorème de la dimension (admis en CPGE)

Soit $E$ un espace vectoriel admettant une base formée de $n$ vecteurs. Alors toutes les bases de $E$ possèdent exactement $n$ vecteurs. Cet entier naturel $n$ est appelé la dimension de $E$, noté $\dim(E)$ ou $\dim_{\mathbb{K}}(E)$.

Théorème : Théorème de la base incomplète

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n \ge 1$.

• Toute famille libre $\mathcal{L} = (u_1, \dots, u_p)$ de $E$ vérifie $p \le n$. Si $p < n$, on peut la compléter par $n - p$ vecteurs d’une famille génératrice donnée pour former une base de $E$.
• De toute famille génératrice $\mathcal{G} = (v_1, \dots, v_m)$ de $E$, on peut extraire une base de $E$. En particulier, $m \ge n$.

Corollaire : Caractérisations d’une base en dimension connue

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$, et soit $\mathcal{F}$ une famille de $p$ vecteurs de $E$.

1. Si $\mathcal{F}$ est libre, alors $p \le n$. De plus, si $p = n$, alors $\mathcal{F}$ est une base de $E$.
2. Si $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$, alors $p \ge n$. De plus, si $p = n$, alors $\mathcal{F}$ est une base de $E$.

Théorème : Dimension d’un sous-espace vectoriel

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sev de $E$.

1. $F$ est de dimension finie et $\dim(F) \le \dim(E)$.
2. Si $\dim(F) = \dim(E)$, alors $F = E$.

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III. Applications linéaires

1. Définitions et premières propriétés

Définition : Application linéaire

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Une application $f : E \to F$ est une application linéaire (ou morphisme d’espaces vectoriels) si : $\forall (u, v) \in E^2, \quad \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{K}^2, \quad f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$

• L’ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est noté $\mathcal{L}(E, F)$. C’est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions de $E$ dans $F$.
• Si $E = F$, $f$ est un endomorphisme de $E$. On note cet ensemble $\mathcal{L}(E)$.
• Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme. Si $E = F$, c’est un automorphisme de $E$. L’ensemble des automorphismes de $E$ est noté $\mathcal{GL}(E)$.

2. Noyau et Image

Définition : Noyau et Image

Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$.

• Le noyau de $f$, noté $\ker(f)$, est : $\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\} = f^{-1}(\{0_F\})$
• L’image de $f$, notée $\operatorname{Im}(f)$, est : $\operatorname{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in E\} = f(E)$

Propriété

• $\ker(f)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
• $\operatorname{Im}(f)$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
• Si $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ est une famille génératrice de $E$, alors $\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Vect}(f(e_1), \dots, f(e_n))$.

Théorème : Critère d’injectivité

Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$. $f \text{ est injective} \iff \ker(f) = \{0_E\}$

Démonstration :

• $(\implies)$ Supposons $f$ injective. Soit $x \in \ker(f)$. Alors $f(x) = 0_F$. Or $f(0_E) = 0_F$ par linéarité. Par injectivité, $x = 0_E$. Donc $\ker(f) = \{0_E\}$.
• $(\impliedby)$ Supposons $\ker(f) = \{0_E\}$. Soient $(x, y) \in E^2$ tels que $f(x) = f(y)$. Par linéarité, $f(x - y) = f(x) - f(y) = 0_F$, donc $(x - y) \in \ker(f)$. Comme $\ker(f) = \{0_E\}$, on en déduit que $x - y = 0_E$, soit $x = y$. $f$ est injective. $\blacksquare$

3. Théorème du rang

Définition : Rang d’une application linéaire

Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$ avec $\dim(F) < +\infty$ ou $\dim(E) < +\infty$. On appelle rang de $f$, noté $\operatorname{rg}(f)$, la dimension de son image : $\operatorname{rg}(f) = \dim(\operatorname{Im}(f))$

Théorème fondamental du rang

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $F$ un espace vectoriel quelconque. Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$. Alors $\operatorname{Im}(f)$ est de dimension finie et : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \operatorname{rg}(f)$

Corollaire : Caractérisation des isomorphismes en dimension égale

Soient $E$ et $F$ deux espaces de dimension finie vérifiant $\dim(E) = \dim(F)$, et $f \in \mathcal{L}(E, F)$. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est bijective (isomorphisme).
2. $f$ est injective ($\ker(f) = \{0_E\}$).
3. $f$ est surjective ($\operatorname{rg}(f) = \dim(F)$).

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IV. Calcul matriciel

1. Définitions et opérations fondamentales

On note $\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ l’ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb{K}$. Si $n = p$, on note $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

Produit matriciel

Soient $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ et $B = (b_{j,k}) \in \mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{K})$. Le produit $C = AB$ est défini dans $\mathcal{M}_{n, q}(\mathbb{K})$ par : $c_{i,k} = \sum_{j=1}^p a_{i,j} b_{j,k} \quad \text{pour } 1 \le i \le n, \ 1 \le k \le q$

Propriétés :

• Le produit est associatif : $(AB)C = A(BC)$.
• Le produit est distributif par rapport à l’addition : $A(B + C) = AB + AC$.
• Attention : Le produit n’est pas commutatif en général ($AB \neq BA$).
• $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ n’est pas intègre : on peut avoir $AB = 0$ avec $A \neq 0$ et $B \neq 0$ (diviseurs de zéro).

Transposition

Pour $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, la transposée $A^\top \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$ est définie par : $(A^\top)_{i,j} = a_{j,i}$ Propriété fondamentale : $(AB)^\top = B^\top A^\top$.

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2. Représentation matricielle

Définition : Matrice d’une application linéaire

Soient $E$ muni d’une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ et $F$ muni d’une base $\mathcal{B}' = (f_1, \dots, f_n)$. Soit $u \in \mathcal{L}(E, F)$. La matrice de $u$ relativement aux bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$, notée $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{B}'}(u)$ (ou $M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}(u)$), est la matrice de $\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ dont la $j$-ième colonne est formée des coordonnées du vecteur $u(e_j)$ dans la base $\mathcal{B}'$ :

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