Exercice 2 : Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Problème guidé : Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Énoncé

Le cadre de ce problème est l’étude de la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide à l’aide des équations de Maxwell. On s’intéresse en particulier à une onde électromagnétique plane, progressive, monochromatique (OEPM) se propageant dans la direction de l’axe $(Ox)$.

Les champs électrique $\vec{E}$ et magnétique $\vec{B}$ sont décrits dans le système d’unités international (SI). On rappelle les constantes fondamentales de la physique :

• Permittivité diélectrique du vide : $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \times 10^{-12} \text{ F}\cdot\text{m}^{-1}$
• Perméabilité magnétique du vide : $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H}\cdot\text{m}^{-1}$
• Célérité de la lumière dans le vide : $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$

---

Questions

I. Établissement des équations de propagation

1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide en l’absence de charges et de courants (sources nulles).
2. En appliquant l’opérateur rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday, et en utilisant une relation d’analyse vectorielle usuelle, établir l’équation de d’Alembert vérifiée par le champ électrique $\vec{E}$.
3. Exprimer la vitesse de propagation $c$ en fonction de $\varepsilon_0$ et $\mu_0$, et effectuer l’application numérique pour vérifier la cohérence avec la vitesse de la lumière.

II. Étude d’une onde plane et analyse critique

4. On considère une onde électromagnétique polarisée rectilignement suivant l’axe $(Oy)$, se propageant selon $(Ox)$. Le champ électrique s’écrit sous la forme complexe : $\underline{\vec{E}}(x, t) = E_0 \cos(\omega t - kx) \vec{u}_y$ Déterminer le champ magnétique associé $\underline{\vec{B}}(x, t)$ en utilisant l’équation de Maxwell-Faraday. On précisera sa direction de polarisation.
5. Définir le vecteur de Poynting $\vec{R}$ et calculer sa valeur moyenne temporelle $\langle \vec{R} \rangle$ pour cette onde.
6. Analyse critique et limites du modèle : En considérant une onde lumineuse visible de longueur d’onde dans le vide $\lambda_0 = 600 \text{ nm}$ et d’amplitude maximale du champ électrique $E_0 = 100 \text{ V}\cdot\text{m}^{-1}$, calculer la valeur moyenne de la puissance surfacique transportée. Discuter de la validité de ce modèle de “vide parfait” à l’échelle astronomique (interstellaire) ou face à la structure granulaire de la lumière (photons).

---

Pistes et indications

• Piste 1 : Pour la question 2, pensez à utiliser l’identité vectorielle $\vec{\text{rot}}(\vec{\text{rot}}\vec{A}) = \vec{\text{grad}}(\text{div}\vec{A}) - \Delta \vec{A}$.
• Piste 2 : L’intégration par rapport au temps du champ magnétique doit se faire sans constante d’intégration (on élimine les champs permanents non radiatifs).
• Piste 3 : Le vecteur de Poynting s’exprime par $\vec{R} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \land \vec{B}$. La moyenne temporelle d’un terme en $\cos^2(\theta)$ sur une période est $\frac{1}{2}$.

---

Corrigé pas à pas

I. Établissement des équations de propagation

1. Équations de Maxwell dans le vide (sources nulles) :

   • Maxwell-Gauss : $\text{div}\vec{E} = 0$
   • Maxwell-Thomson : $\text{div}\vec{B} = 0$
   • Maxwell-Faraday : $\vec{\text{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
   • Maxwell-Ampère : $\vec{\text{rot}}\vec{B} = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

2. Équation de d’Alembert pour $\vec{E}$ : En appliquant le rotationnel à l’équation de Maxwell-Faraday : $\vec{\text{rot}}(\vec{\text{rot}}\vec{E}) = \vec{\text{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\text{rot}}\vec{B})$ En utilisant l’identité vectorielle $\vec{\text{rot}}(\vec{\text{rot}}\vec{E}) = \vec{\text{grad}}(\text{div}\vec{E}) - \Delta \vec{E}$ et sachant que $\text{div}\vec{E} = 0$ (Maxwell-Gauss) : $-\Delta \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$ Soit l’équation de d’Alembert : $\Delta \vec{E} - \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$

3. Célérité de l’onde : Par identification avec l’équation d’onde classique $\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$, on obtient : $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ Application numérique : $c = \frac{1}{\sqrt{8{,}85 \times 10^{-12} \times 4\pi \times 10^{-7}}} \approx 3{,}00 \times 10^8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ Le résultat est strictement cohérent avec la vitesse de la lumière dans le vide.

---

II. Étude d’une onde plane et analyse critique

4. Détermination du champ magnétique $\underline{\vec{B}}$ : À partir de l’équation de Maxwell-Faraday sous forme locale : $\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\vec{\text{rot}}\vec{E}$. Le champ électrique ne dépend que de $x$ et $t$, et est porté par $\vec{u}_y$. Son rotationnel est : $\vec{\text{rot}}\vec{E} = \left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\vec{u}_x + \left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \partial_z E_z \dots\right)\vec{u}_y + \frac{\partial E_y}{\partial x}\vec{u}_z = \frac{\partial E_y}{\partial x}\vec{u}_z$ Ici, $E_y(x,t) = E_0 \cos(\omega t - kx)$, donc $\frac{\partial E_y}{\partial x} = k E_0 \sin(\omega t - kx)$. Ainsi, $\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -k E_0 \sin(\omega t - kx) \vec{u}_z$. En intégrant par rapport au temps (et en posant la constante d’intégration nulle pour éliminer un champ magnétique continu parasite) : $\vec{B}(x, t) = \frac{k E_0}{\omega} \cos(\omega t - kx) \vec{u}_z = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kx) \vec{u}_z$ Le champ magnétique est polarisé rectilignement suivant l’axe $(Oz)$, perpendiculaire à $\vec{E}$ et à la direction de propagation $\vec{u}_x$. Le trièdre $(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z)$ est direct.

5. Vecteur de Poynting et moyenne temporelle : Le vecteur de Poynting représente la densité de flux de puissance électromagnétique : $\vec{R} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \land \vec{B} = \frac{1}{\mu_0} \left[ E_0 \cos(\omega t - kx) \vec{u}_y \right] \land \left[ \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kx) \vec{u}_z \right] = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kx) \vec{u}_x$ La moyenne temporelle sur une période (sachant que $\langle \cos^2(\theta) \rangle = \frac{1}{2}$) donne : $\langle \vec{R} \rangle = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c} \vec{u}_x$

6. Analyse critique et limites du modèle :

   • Application numérique : Avec $E_0 = 100 \text{ V}\cdot\text{m}^{-1}$ et $\mu_0 c = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = Z_0 \approx 377 \, \Omega$ (impédance caractéristique du vide) : $\|\langle \vec{R} \rangle\| = \frac{(100)^2}{2 \times 377} \approx \frac{10000}{754} \approx 13{,}3 \text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$
   • Limites du modèle :
     1. Milieu interstellaire : Le “vide” intergalactique ou interstellaire n’est pas strictement vide ; il contient un plasma très peu dense (quelques ions par $\text{cm}^3$). À très grande échelle ou pour des fréquences très basses (ondes radio), les électrons libres ne peuvent plus être négligés, ce qui rend le milieu dispersif et conduit à une atténuation ou une coupure (fréquence plasma).
     2. Nature quantique : À l’échelle microscopique, le modèle classique ondulatoire de Maxwell atteint ses limites face à la nature corpusculaire de la lumière (photons). Si l’intensité lumineuse devient extrêmement faible, l’énergie ne se propulse plus de manière continue selon le vecteur de Poynting, mais par quanta discrets d’énergie $E = h\nu$, rendant la description statistique indispensable.