Cours : Statique et Cinématique du solide

Fiche de Cours : Statique et Cinématique du Solide

Filière : PTSI — Sciences Industrielles de l’Ingénieur (SII)
Niveau: ** Première année

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1. Introduction et Rapports Mathématiques

Un solide indéformable (noté $\mathcal{S}$) est un ensemble de points matériels $M$ tel que la distance entre deux points quelconques $M_1$ et $M_2$ reste constante au cours du temps : $\forall (M_1, M_2) \in \mathcal{S}^2, \quad \frac{d}{dt}(M_1M_2)^2 = 0$

Champ des vitesses dans un solide

Le champ des vecteurs vitesse d’un solide $\mathcal{S}$ en mouvement par rapport à un repère galiléen $\mathcal{R}_0$ est un champ équiprojectif. Il existe donc un vecteur unique, appelé vecteur rotation $\vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$, tel que : $\forall (P, Q) \in \mathcal{S}^2, \quad \vec{V}(P \in \mathcal{S}/\mathcal{R}_0) = \vec{V}(Q \in \mathcal{S}/\mathcal{R}_0) + \vec{PQ} \wedge \vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)$

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2. Cinématique du Solide Indéformable

2.1. Torseur cinématique

Le caractère équiprojectif du champ des vitesses permet de définir le torseur cinématique du mouvement de $\mathcal{S}$ par rapport à $\mathcal{R}_0$ au point $P$ : $\{\mathcal{V}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0)\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{\Omega}(\mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \\ \vec{V}(P \in \mathcal{S}/\mathcal{R}_0) \end{array} \right\}_{\text{point } P}$

2.2. Liaisons élémentaires usuelles

Soit une liaison entre un solide $\mathcal{S}_1$ et un solide $\mathcal{S}_2$. Le torseur cinématique s’exprime dans un repère lié à la géométrie de la liaison (centre $O$, axes $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$) :

• Liaison Pivot (axe $(O, \vec{x})$) : $\{\mathcal{V}(\mathcal{S}_1/\mathcal{S}_2)\} = \left\{ \begin{array}{cc} \dot{\theta} \vec{x} & 0 \\ \vec{0} & 0 \end{array} \right\}_O$
• Liaison Glissière (axe $(O, \vec{x})$) : $\{\mathcal{V}(\mathcal{S}_1/\mathcal{S}_2)\} = \left\{ \begin{array}{cc} \vec{0} & 0 \\ \dot{z} \vec{x} & 0 \end{array} \right\}_O$
• Liaison Pivot-Glissant (axe $(O, \vec{x})$) : $\{\mathcal{V}(\mathcal{S}_1/\mathcal{S}_2)\} = \left\{ \begin{array}{cc} \dot{\theta} \vec{x} & 0 \\ \dot{x} \vec{x} & 0 \end{array} \right\}_O$
• Liaison Rotule (centre $O$) : $\{\mathcal{V}(\mathcal{S}_1/\mathcal{S}_2)\} = \left\{ \begin{array}{cc} p\vec{x} + q\vec{y} + r\vec{z} & 0 \\ \vec{0} & 0 \end{array} \right\}_O$

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3. Statique du Solide

3.1. Torseur des actions mécaniques (TAM)

L’action mécanique extérieure exercée par un milieu $\mathcal{M}$ sur un solide $\mathcal{S}$ est modélisée par un torseur, dit torseur des actions mécaniques, exprimé en un point $P$ : $\{\mathcal{T}_{\mathcal{M}\to\mathcal{S}}\} = \left\{ \begin{array}{c} \vec{R}(\mathcal{M}\to\mathcal{S}) \\ \vec{M}_P(\mathcal{M}\to\mathcal{S}) \end{array} \right\}_{\text{point } P}$ où $\vec{R}$ est la résultante des forces et $\vec{M}_P$ le moment résultant en $P$.

3.2. Modélisation des liaisons parfaites (sans frottement)

Le principe des actions mutuelles (loi de action-réaction) s’applique. Les composantes transmissibles d’une liaison parfaite s’obtiennent par dualité avec le torseur cinématique : le produit combiné des deux torseurs (puissance virtuelle) doit être nul pour tout mouvement compatible avec la liaison.

• Liaison Pivot (axe $(O, \vec{x})$) : Transmet 5 composantes (bloque 2 rotations et 3 translations). $\{\mathcal{T}_{\mathcal{S}_1\to\mathcal{S}_2}\} = \left\{ \begin{array}{cc} X \vec{x} + Y \vec{y} + Z \vec{z} \\ L \vec{x} + M \vec{y} + N \vec{z} \end{array} \right\}_O \quad \text{avec } L=0$
• Liaison Appui Plan (normal à $\vec{z}$ en $O$) : Transmet 3 composantes ($Z$, $L$, $M$). $\{\mathcal{T}_{\mathcal{S}_1\to\mathcal{S}_2}\} = \left\{ \begin{array}{cc} Z \vec{z} \\ L \vec{x} + M \vec{y} \end{array} \right\}_O$

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4. Théorèmes Généraux de la Statique

Un solide $\mathcal{S}$ est en équilibre dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}_0$ si et seulement si le torseur total des actions mécaniques extérieures s’exerçant sur $\mathcal{S}$ est nul en tout point $P$ :

$\{\mathcal{T}_{\text{ext}\to\mathcal{S}}\} = \{\mathbf{0}\} \iff \left\{ \begin{array}{l} \sum \vec{R}_{\text{ext}\to\mathcal{S}} = \vec{0} \\ \sum \vec{M}_{P,\text{ext}\to\mathcal{S}} = \vec{0} \end{array} \right.$

Méthode de résolution d’un problème statique en PTSI :

1. Isoler le solide ou l’ensemble de solides étudié.
2. Faire le bilan des actions mécaniques extérieures en identifiant les liaisons et les actions à distance (poids).
3. Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) : écriture des équations scalaires (au maximum 6 par solide en 3D, souvent ramenées à 3 en plan ou par projection judicieuse).
4. Résoudre le système d’équations algébriques.