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CPGE Futur

Exercice 2 : Théorème de Parseval

Problème guidé : Autour du Théorème de Parseval et de ses applications

Section titled “Problème guidé : Autour du Théorème de Parseval et de ses applications”

Filière : PSI
Matière : Mathématiques
Chapitre: ** Séries de Fourier
Thème : Théorème de Parseval, convergence en moyenne quadratique et limites physiques du modèle.

1. Énoncé

Section titled “1. Énoncé”

Soit f:R→Cf : \mathbb{R} \to \mathbb{C} une fonction 2π2\pi-périodique, continue par morceaux et de classe C1\mathcal{C}^1 par morceaux. On note D2π\mathcal{D}_{2\pi} l’espace vectoriel de telles fonctions. Pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z}, on définit les coefficients de Fourier de ff par la formule : cn(f)=12π∫−ππf(t)e−int dtc_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} \, dt

Le but de ce problème est d’établir le théorème de Parseval pour ces fonctions, d’en déduire des applications numériques de sommation de séries, puis de porter un regard critique sur la modélisation mathématique face à des signaux physiques réels discontinus.

2. Questions

Section titled “2. Questions”

Partie I : Préliminaires et Lemme de Riemann-Lebesgue

Section titled “Partie I : Préliminaires et Lemme de Riemann-Lebesgue”
  1. Rappeler l’expression des coefficients de Fourier réels an(f)a_n(f) et bn(f)b_n(f) pour une fonction ff à valeurs réelles, en fonction de cn(f)c_n(f).
  2. Établir que pour toute fonction f∈D2πf \in \mathcal{D}_{2\pi}, la suite (cn(f))n∈Z(c_n(f))_{n \in \mathbb{Z}} tend vers 00 lorsque ∣n∣→+∞|n| \to +\infty.

Partie II : Théorème de Parseval

Section titled “Partie II : Théorème de Parseval”

On note SN(f)S_N(f) la somme partielle de la série de Fourier de ff : SN(f)(t)=∑n=−NNcn(f)eintS_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{int} 3. Exprimer l’intégrale 12π∫−ππ∣SN(f)(t)∣2 dt\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |S_N(f)(t)|^2 \, dt à l’aide des coefficients cn(f)c_n(f) pour ∣n∣≤N|n| \le N. 4. En utilisant les propriétés de convergence de la série de Fourier et l’égalité de Parseval, montrer que : 12π∫−ππ∣f(t)∣2 dt=∑n=−∞+∞∣cn(f)∣2\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2

Partie III : Application et Analyse critique du modèle

Section titled “Partie III : Application et Analyse critique du modèle”

On considère le signal “dent de scie” défini par f(t)=tf(t) = t pour t∈]−π,π[t \in ]-\pi, \pi[ et prolongé par 2π2\pi-périodicité. 5. Calculer les coefficients de Fourier de ff. 6. Appliquer le théorème de Parseval à la fonction ff pour déterminer la valeur de la somme ∑n=1+∞1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}. 7. Analyse critique des limites du modèle : En physique, le signal ff représente une tension électrique idéale. La quantité 12π∫−ππ∣f(t)∣2 dt\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt représente la puissance moyenne normalisée du signal. Expliquer pourquoi, dans un dispositif expérimental réel, l’égalité parfaite de Parseval est mise en défaut. Discuter en particulier de l’impact de la troncature de la série de Fourier (utilisation d’un nombre fini NN de composantes harmoniques) au voisinage des discontinuités (phénomène de Gibbs) et des limites fréquentielles des composants électroniques.

3. Pistes

Section titled “3. Pistes”
  • Question 2 : Intégrer par parties en utilisant la régularité C1\mathcal{C}^1 par morceaux de ff, ou utiliser l’inégalité de Bessel-Parseval préliminaire.
  • Question 3 : Utiliser l’orthonormalfamille de la famille (t↦eint)n∈Z(t \mapsto e^{int})_{n \in \mathbb{Z}} pour le produit hermitien usuel sur C(R,C)\mathcal{C}(\mathbb{R}, \mathbb{C}).
  • Question 6 : Attention aux bornes de la sommation (symétrique vs unilatérale).
  • Question 7 : Penser à l’énergie contenue dans les hautes fréquences et à la bande passante finie de tout capteur ou amplificateur réel.

4. Corrigé pas à pas

Section titled “4. Corrigé pas à pas”

Partie I_1. Pour ff à valeurs réelles, on a pour n≥1n \ge 1 :

Section titled “Partie I_1. Pour fff à valeurs réelles, on a pour n≥1n \ge 1n≥1 :”

c0(f)=a02,cn(f)=an−ibn2,c−n(f)=an+ibn2c_0(f) = \frac{a_0}{2}, \quad c_n(f) = \frac{a_n - ib_n}{2}, \quad c_{-n}(f) = \frac{a_n + ib_n}{2} Soit an=2Re(cn(f))a_n = 2 \text{Re}(c_n(f)) et bn=−2Im(cn(f))b_n = -2 \text{Im}(c_n(f)).

  1. Si ff est de classe C1\mathcal{C}^1 par morceaux, une intégration par parties donne : cn(f)=12π[f(t)e−int−in]−ππ−12π∫−ππf′(t)e−int−in dt=1in12π∫−ππf′(t)e−int dt⏟=cn(f′)c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \left[ f(t) \frac{e^{-int}}{-in} \right]_{-\pi}^{\pi} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(t) \frac{e^{-int}}{-in} \, dt = \frac{1}{in} \underbrace{\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(t) e^{-int} \, dt}_{= c_n(f')} Puisque f′f' est continue par morceaux, cn(f′)c_n(f') est bornée. Ainsi, ∣cn(f)∣=∣cn(f′)∣∣n∣→∣n∣→+∞0|c_n(f)| = \frac{|c_n(f')|}{|n|} \xrightarrow[|n|\to+\infty]{} 0.

Partie II

Section titled “Partie II”

  1. Par orthogonalité de la famille (eint)n∈Z(e^{int})_{n\in\mathbb{Z}} pour le produit scalaire ⟨u,v⟩=12π∫−ππu(t)v(t)‾ dt\langle u, v \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(t)\overline{v(t)} \, dt, les termes croisés s’annulent : 12π∫−ππ∣SN(f)(t)∣2 dt=∑n=−NN∣cn(f)∣2\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |S_N(f)(t)|^2 \, dt = \sum_{n=-N}^{N} |c_n(f)|^2

  2. Si ff est continue par morceaux et C1\mathcal{C}^1 par morceaux, la convergence en moyenne quadratique (ou le théorème de Dirichlet si ff est continue) assure que SN(f)S_N(f) converge vers ff dans L2L^2. En passant à la limite N→+∞N \to +\infty dans l’égalité précédente, on obtient : 12π∫−ππ∣f(t)∣2 dt=∑n=−∞+∞∣cn(f)∣2\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2

Partie III

Section titled “Partie III”

  1. Pour la dent de scie (f(t)=tf(t) = t sur ]−π,π[]-\pi, \pi[), la fonction est impaire. Ainsi an=0a_n = 0 pour tout nn. Pour n≥1n \ge 1 : bn=2π∫0πtsin⁡(nt) dt=2π([−tcos⁡(nt)n]0π+∫0πcos⁡(nt)n dt)=(−1)n+12nb_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} t \sin(nt) \, dt = \frac{2}{\pi} \left( \left[ -t \frac{\cos(nt)}{n} \right]_0^\pi + \int_0^\pi \frac{\cos(nt)}{n} \, dt \right) = (-1)^{n+1} \frac{2}{n} D’où c0=0c_0 = 0 et cn(f)=−i(−1)nnc_n(f) = -i \frac{(-1)^n}{n} pour n≠0n \neq 0.

  2. Appliquons le théorème de Parseval : 12π∫−ππt2 dt=∑n≠0∣cn(f)∣2\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t^2 \, dt = \sum_{n \neq 0} |c_n(f)|^2 Le membre de gauche vaut : 12π[t33]−ππ=π23\frac{1}{2\pi} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\pi^2}{3} Le membre de droite vaut : ∑n=1+∞(1n2+1(−n)2)=2∑n=1+∞1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(-n)^2} \right) = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} On en déduit la célèbre somme d’Euler : ∑n=1+∞1n2=π26\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

  3. Analyse critique des limites du modèle :

    • Discontinuités et énergie : Le signal dent de scie présente des sauts en t=±(2k+1)πt = \pm(2k+1)\pi. Mathématiquement, l’intégrale ∫−ππ∣f(t)∣2 dt\int_{-\pi}^{\pi} |f(t)|^2 \, dt converge car les singularités sont en L2L^2 (intégrables au carré). Cependant, la convergence simple de la série de Fourier présente le phénomène de Gibbs aux points de discontinuité (dépassement d’environ 9%9\% de l’amplitude du saut).
    • Troncature temporelle et fréquentielle (Limites physiques) : Dans la réalité, un système électronique ne peut additionner qu’un nombre fini NN d’harmoniques. La puissance mesurée est donc ∑n=−NN∣cn(f)∣2\sum_{n=-N}^{N} |c_n(f)|^2. L’erreur commise par rapport à l’énergie totale est le reste d’une série en O(1/N)O(1/N), car les coefficients cn(f)c_n(f) décrochent en 1/n1/n (ce qui est caractéristique des fonctions C1\mathcal{C}^1 par morceaux avec sauts).
    • Bande passante : Les composants réels (amplificateurs, câbles) agissent comme des filtres passe-bas. Les hautes fréquences (nécessaires pour restituer la pente infinie des fronts de saut) sont atténuées ou supprimées, ce qui arrondit physiquement les angles du signal et fait échouer la correspondance exacte avec le modèle mathématique idéal de Parseval.