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CPGE Futur

Exercice 2 : Espaces vectoriels et familles libres/génératrices

🌐 Énoncé du problème / Étude de cas

Section titled “🌐 Énoncé du problème / Étude de cas”

Dans le cadre de la modélisation de signaux pour les télécommunications ou le traitement d’images, on est souvent amené à manipuler des espaces vectoriels de fonctions ou de suites. Pour stocker ou transmettre ces signaux, les ingénieurs cherchent à les décomposer sur des bases ou des familles génératrices optimisées afin de réduire la complexité algorithmique.

Soit RN\mathbb{R}^\mathbb{N} l’espace vectoriel des suites réelles. On s’intéresse à un sous-ensemble particulier de suites, dites à décroissance exponentielle, modélisant l’atténuation d’un signal dans un canal de transmission filaire ou optique affecté par des pertes.

Soit EE l’ensemble des suites u=(un)n∈N∈RNu = (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N} telles qu’il existe constants C>0C > 0 et α>0\alpha > 0 telles que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, ∣un∣≤Ce−αn|u_n| \leq C e^{-\alpha n}.

❓ Questions progressives

Section titled “❓ Questions progressives”

  1. Structure algébrique Montrer que EE est un sous-espace vectoriel de RN\mathbb{R}^\mathbb{N}.

  2. Étude d’une famille de suites géométriques Pour tout r∈]0,1[r \in ]0, 1[, on définit la suite e(r)e^{(r)} par en(r)=rne^{(r)}_n = r^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. a) Montrer que pour tout r∈]0,1[r \in ]0, 1[, la suite e(r)e^{(r)} appartient à l’espace EE. b) Soit k∈N∗k \in \mathbb{N}^* et r1,r2,…,rkr_1, r_2, \dots, r_k des réels distincts de l’intervalle ]],1[.Montrerquelafamille. Montrer que la famille (e^{(r_1)}, e^{(r_2)}, \dots, e^{(r_k)})estlibredansest libre dansE$.

  3. Analyse critique du modèle de transmission Hypothèse du modèle : Le signal en sortie du canal est supposé appartenir à un sous-espace vectoriel de dimension finie F=Vect(e(r1),…,e(rk))F = \text{Vect}(e^{(r_1)}, \dots, e^{(r_k)}), ce qui permet un traitement numérique par filtrage linéaire de dimension finie.

    • Question critique :* En pratique, les mesures physiques comportent toujours un bruit thermique ou de quantification, non borné par une décroissance exponentielle stricte (par exemple un bruit blanc gaussien stationnaire). Discutez la valadité de l’hypothèse d’appartenance à EE et de la modélisation en dimension finie FF d’un point de vue de l’ingénieur en télécommunications.

💡 Pistes & Indications

Section titled “💡 Pistes & Indications”
  • Question 1 : Utilisez la caractérisation usuelle des sous-espaces vectoriels (contient la suite nulle, stable par addition et par multiplication externe par un scalaire). Attention à bien combiner les constantes CC et α\alpha lors de l’addition de deux suites.
  • Question 2.b : Raisonnez par l’absurde ou utilisez une méthode de Vandermonde / évaluation en certains points discrets, ou encore par récurrence sur la taille de la famille en considérant l’opérateur de décalage ou une limite.
  • Question 3 : Pensez aux ordres de grandeur et à la différence entre un modèle mathématique idéal (continu, déterministe) et la réalité physique (discrète, bruitée, à support borné ou de puissance finie).

📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats

Section titled “📋 Corrigé détaillé et analyse des résultats”

1. Structure de sous-espace vectoriel

Section titled “1. Structure de sous-espace vectoriel”
  • Élément nul : La suite nulle 0=(0)n∈N0 = (0)_{n \in \mathbb{N}} vérifie ∣0n∣=0≤1⋅e−n|0_n| = 0 \leq 1 \cdot e^{-n} (en prenant C=1,α=1C=1, \alpha=1). Donc 0∈E0 \in E.
  • Stabilité par addition : Soient u=(un)u = (u_n) et v=(vn)v = (v_n) deux éléments de EE. Il existe (C1,α1)(C_1, \alpha_1) et (C2,α2)(C_2, \alpha_2) tels que ∣un∣≤C1e−α1n|u_n| \leq C_1 e^{-\alpha_1 n} et ∣vn∣≤C2e−α2n|v_n| \leq C_2 e^{-\alpha_2 n}. Posons α=min⁡(α1,α2)>0\alpha = \min(\alpha_1, \alpha_2) > 0 et C=C1+C2>0C = C_1 + C_2 > 0. Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} : ∣(u+v)n∣=∣un+vn∣≤∣un∣+∣vn∣≤C1e−α1n+C2e−α2n|(u+v)_n| = |u_n + v_n| \leq |u_n| + |v_n| \leq C_1 e^{-\alpha_1 n} + C_2 e^{-\alpha_2 n} Puisque α≤α1\alpha \leq \alpha_1 et α≤α2\alpha \leq \alpha_2, on a e−α1n≤e−αne^{-\alpha_1 n} \leq e^{-\alpha n} et e−α2n≤e−αne^{-\alpha_2 n} \leq e^{-\alpha n} (car n≥0n \geq 0). Ainsi : ∣(u+v)n∣≤(C1+C2)e−αn=Ce−αn|(u+v)_n| \leq (C_1 + C_2) e^{-\alpha n} = C e^{-\alpha n} Donc u+v∈Eu + v \in E.
  • Stabilité par multiplication externe : Soit u∈Eu \in E (associé à CC et α\alpha) et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}. ∣(λu)n∣=∣λ∣∣un∣≤∣λ∣Ce−αn|(\lambda u)_n| = |\lambda| |u_n| \leq |\lambda| C e^{-\alpha n} En posant C′=∣λ∣C>0C' = |\lambda| C > 0, on a ∣(λu)n∣≤C′e−αn|(\lambda u)_n| \leq C' e^{-\alpha n}, donc λu∈E\lambda u \in E.

EE est bien un sous-espace vectoriel de RN\mathbb{R}^\mathbb{N}.

2. Étude de la famille de suites géométriques

Section titled “2. Étude de la famille de suites géométriques”

a) Pour r∈]0,1[r \in ]0, 1[, on écrit r=e−αr = e^{-\alpha} avec α=−ln⁡(r)>0\alpha = -\ln(r) > 0. Alors en(r)=rn=(eα)−n=e−αne^{(r)}_n = r^n = (e^\alpha)^{-n} = e^{-\alpha n}. En choisissant C=1>0C = 1 > 0, on a bien ∣en(r)∣≤1⋅e−αn|e^{(r)}_n| \leq 1 \cdot e^{-\alpha n}, donc e(r)∈Ee^{(r)} \in E.

b) Soit (r1,r2,…,rk)(r_1, r_2, \dots, r_k) des réels distincts de ]],1[.Soit. Soit (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_k) \in \mathbb{R}^ktelle que : $$\sum_{j=1}^{k} \lambda_j e^{(r_j)} = 0 \text{ dans } \mathbb{R}^\mathbb{N}$$ Cela signifie que pour toutn \in \mathbb{N}: $$\sum_{j=1}^{k} \lambda_j r_j^n = 0$$ Évaluons cette relation pour leskpremieˋresvaleursdepremières valeurs den( (n = 0, 1, \dots, k-1$) :

  • Pour n=0n = 0 : λ1+λ2+⋯+λk=0\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_k = 0
  • Pour n=1n = 1 : λ1r1+λ2r2+⋯+λkrk=0\lambda_1 r_1 + \lambda_2 r_2 + \dots + \lambda_k r_k = 0
  • ⋮\vdots
  • Pour n=k−1n = k-1 : λ1r1k−1+λ2r2k−1+⋯+λkrkk−1=0\lambda_1 r_1^{k-1} + \lambda_2 r_2^{k-1} + \dots + \lambda_k r_k^{k-1} = 0

Sous forme matricielle, cela se traduit par le système homogène VΛ=0V \Lambda = 0, où VV est la matrice de Vandermonde associée aux paramètres (r1,r2,…,rk)(r_1, r_2, \dots, r_k) :

1 & 1 & \cdots & 1 \\ r_1 & r_2 & \cdots & r_k \\ r_1^2 & r_2^2 & \cdots & r_k^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_1^{k-1} & r_2^{k-1} & \cdots & r_k^{k-1} \end{pmatrix}$$ Le déterminant de cette matrice de Vandermonde vaut : $$\det(V) = \prod_{1 \leq i < j \leq k} (r_j - r_i)$$ Puisque les réels $r_i$ sont tous distincts deux à deux, tous les facteurs $(r_j - r_i)$ sont non nuls, donc $\det(V) \neq 0$. La matrice $V$ est inversible. Par conséquent, l'unique solution du système est $\Lambda = 0$, c'est-à-dire $\lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_k = 0$. La famille $(e^{(r_1)}, e^{(r_2)}, \dots, e^{(r_k)})$ est donc **libre**. #### 3. Analyse critique du modèle de transmission * **Critique des hypothèses :** 1. *Décroissance exponentielle vs Bruit réel :* L'hypothèse d'appartenance à $E$ suppose un signal déterministe ou idéalement atténué. En pratique, un canal de transmission est soumis à un bruit thermique (bruit blanc gaussien) dont les réalisations ne tendent pas vers $0$ de manière déterministe et ne vérifient pas une borne exponentielle stricte pour chaque échantillon. Le signal mesuré est donc $s_n + b_n où $b_n$ est le bruit. 2. *Dimension finie $F$ :* Modéliser l'espace des signaux possibles par un espace de dimension finie $k$ est une approximation nécessaire pour le calcul numérique (DSP, FPGA). Cependant, si le signal réel nécessite une infinité de composantes indépendantes (parce que les constantes de temps du canal sont continues et non discrètes), la projection sur $F$ induit une **erreur de troncature**. 3. *Sensibilité numérique :* Les matrices de Vandermonde sont notoirement *mal conditionnées* lorsque $k$ grandit ou que les $r_i$ sont proches. Vouloir identifier un grand nombre de modes exponentiels à partir de mesures bruitées conduit à un problème inverse mal posé (instabilité numérique majeure, amplification considérable du bruit de mesure). *Conclusion de l'ingénieur :* Le modèle algébrique en dimension finie est utile pour une première approximation ou un filtrage grossier, mais il doit être couplé à une analyse probabiliste du bruit et à des techniques de régularisation (type moindres carrés régularisés ou régularisation de Tikhonov) pour être exploitable dans un système réel.