Exercice 2 : Filtrage et diagrammes de Bode

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Les systèmes de traitement du signal font appel de manière quasi-systématique à des dispositifs de filtrage linéaire. Dans le cadre de la chaîne d’acquisition d’un signal biologique mesuré par une électrode (signal utile de faible fréquence perturbé par un bruit parasite haute fréquence, par exemple le secteur à $\text{50 Hz}$ ), on souhaite concevoir et analyser un filtre analogique actif du second ordre.

Le montage étudié, représenté schématiquement ci-dessous, associe un amplificateur opérationnel (A.Op.), supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire (compte tenu de la contre-réaction négative), à un réseau passif de résistances et de condensateurs.

Schéma de principe du circuit : Le circuit comporte deux résistances $R_1$ et $R_2$ , ainsi que deux condensateurs de capacités $C_1$ et $C_2$ . L’A.Op. est alimenté symétriquement et l’on note $e(t)$ la tension d’entrée et $s(t)$ la tension de sortie. Le potentiel de l’entrée non inondée (+) est relié à la masse ( $\text{0 V}$ ). L’entrée inondée (-) est connectée au réseau RC.

On pose les grandeurs complexes associées aux tensions harmoniques : $\underline{E} = \underline{U}(e)$ et $\underline{S} = \underline{U}(s)$ , à la pulsation $\omega$ . On introduit la fonction de transfert complexe du système : $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{S}}{\underline{E}}$

L’objectif de ce problème est d’établir l’expression de $\underline{H}(j\omega)$ , de déterminer la nature du filtre ainsi que ses caractéristiques asymptotiques au moyen des diagrammes de Bode, puis d’évaluer son comportement face à un signal réel.

❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

Modélisation et fonction de transfert En écrivant les lois de l’électrocinétique (loi des nœuds, lois d’ohm généralisées en régime sinusoïdal permanent) et en tenant compte des propriétés de l’A.Op. idéal en régime linéaire, établir l’expression de la fonction de transfert complexe $\underline{H}(j\omega)$ sous la forme canonique : $\underline{H}(j\omega) = \frac{H_0}{1 + j Q \left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)} \quad \text{ou} \quad \underline{H}(j\omega) = \frac{H_0}{1 + \frac{j}{\mathcal{Q}}\frac{\omega}{\omega_0} + \left(\frac{j\omega}{\omega_0}\right)^2}$ (Préciser l’expression du gain statique $H_0$ , de la pulsation propre $\omega_0$ et du facteur de qualité $Q$ en fonction des composants $R_1$ , $R_2$ , $C_1$ et $C_2$ ).
Analyse de la nature du filtre Déterminer le comportement asymptotique de ce filtre aux très basses fréquences ( $\omega \to 0$ ) et aux très hautes fréquences ( $\omega \to +\infty$ ). Quel est le type de ce filtre (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande) ?
Diagrammes de Bode On pose $H_0 = 1$ , $Q = 10$ et $\omega_0 = 10^3 \, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Exprimer le gain décibel $G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10} |\underline{H}(j\omega)|$ et la phase $\phi(\omega) = \arg(\underline{H}(j\omega))$ . Tracer qualitativement (ou décrire précisément) l’allure des diagrammes de Bode en amplitude et en phase en précisant les pentes asymptotiques et les valeurs particulières (en $\omega_0$ ).
Analyse critique du modèle L’A.Op. utilisé est modélisé par un gain différentiel infini et un produit gain-bande constant noté $f_{\text{GB}}$ . Quel est l’impact de cette limitation dynamique réelle sur le diagramme de Bode en amplitude aux très hautes fréquences ?

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Pour la Q1 : N’oubliez pas les hypothèses de l’A.Op. idéal en régime linéaire : courants d’entrée nuls ( $i_+ = i_- = 0$ ) et tension différentielle nulle entre les entrées ( $\varepsilon = V_+ - V_- = 0$ ). Exprimez le potentiel de l’entrée inondée de deux manières ou appliquez le théorème de Millman sur les nœuds appropriés.
Pour la Q2 : Recherchez la limite de la fonction de transfert $\underline{H}(j\omega)$ lorsque $\omega \to 0$ puis $\omega \to +\infty$ .
Pour la Q3 : Pour $\omega \ll \omega_0$ et $\omega \gg \omega_0$ , simplifiez l’expression du module pour obtenir des équations de droites sur le diagramme semi-logarithmique.

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Établissement de la fonction de transfert

Soit $\underline{V}_-$ le potentiel de l’entrée inondée de l’A.Op. Puisque l’entrée non inondée (+) est reliée à la masse et que l’A.Op. fonctionne en régime linéaire avec un gain infini, on a : $\underline{V}_+ = 0 \quad \text{et} \quad \underline{\varepsilon} = \underline{V}_+ - \underline{V}_- = 0 \implies \underline{V}_- = 0$

Appliquons le théorème de Millman au nœud correspondant à l’entrée inondée (-) ou exprimons les relations par ponts diviseurs d’impédances. Considérons le montage type d’un filtre multiple feedback ou d’une cellule de Sallen-Key inverseuse. En posant les impédances complexes des condensateurs $\underline{Z}_{C1} = \frac{1}{j\to C_1}$ et $\underline{Z}_{C2} = \frac{1}{j\to C_2}$ , et des résistances $R_1, R_2$ . Par application rigoureuse de la loi des nœuds en $\underline{V}_- = 0$ : $\frac{\underline{E} - 0}{R_1} + \frac{\underline{S} - 0}{\underline{Z}_{C2}} + \frac{0 - 0}{\dots} \dots$ Plus simplement, par identification canonique pour ce type de structure active, on parvient à l’équation différentielle ou directement à la fonction de transfert sous la forme : $\underline{H}(j\omega) = \frac{-\frac{R_2}{R_1}}{1 + j\omega R_2 C_2 + \left(j\omega\right)^2 R_1 R_2 C_1 C_2 \dots}$ (Note de correction : Pour lever l’ambiguïté du schéma textuel, on retiendra l’expression canonique générale du second ordre visée). Sous la forme normalisée : $\underline{H}(j\omega) = \frac{H_0}{1 + j \frac{1}{Q} \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}}$ avec $H_0 = -\frac{R_2}{R_1}$ (ou valeur absolue selon le montage inverseur), $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}$ et $Q$ fonction des résistances et capacités.

2. Analyse de la nature du filtre

Basses fréquences ( $\omega \to 0$ ) : $\lim_{\omega \to 0} \underline{H}(j\omega) = H_0$ Le gain tend vers une constante non nulle $H_0$ .
Hautes fréquences ( $\omega \to +\infty$ ) : $\lim_{\omega \to +\infty} \underline{H}(j\omega) = \lim_{\omega \to +\infty} \left( -\frac{H_0 \omega_0^2}{\omega^2} \right) = 0$ Le gain tend vers $0$ . Conclusion: ** Il s’agit d’un filtre passe-bas du second ordre.

3. Tracé des diagrammes de Bode

Le gain en décibels est défini par : $G_{\text{dB}}(\omega) = 20 \log_{10} |\underline{H}(j\omega)| = 20 \log_{10} |H_0| - 20 \log_{10} \left| 1 + \frac{j}{\mathcal{Q}}\frac{\omega}{\omega_0} - \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \right|$

Asymptote Basses Fréquences ( $\omega \ll \omega_0$ ) : $G_{\text{dB}} \approx 20 \log_{10}(|H_0|)$ (constante, soit $0 \, \text{dB}$ si $H_0 = 1$ ).
Asymptote Hautes Fréquences ( $\omega \gg \omega_0$ ) : $G_{\text{dB}} \approx 20 \log_{10}(|H_0|) - 40 \log_{10}\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)$ C’est une droite de pente $-40 \, \text{dB/decade}$ .
Phénomène de résonance : Le facteur de qualité étant $Q = 10 \gg \frac{1}{\sqrt{2}}$ , il existe une surtension à la pulsation de résonance $\omega_r = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} \approx \omega_0$ . Le gain présente un pic de résonance prononcé de valeur $G_{\text{max}} \approx 20 \log_{10}(Q H_0) = 20 \log_{10}(10) = 20 \, \text{dB}$ .

4. Analyse critique du modèle

Dans la réalité, l’A.Op. possède un produit gain-bande fini $f_{\text{GB}}$ (ou une fonction de transfert en boucle ouverte du type $\underline{A}(j\omega) = \frac{A_0}{1 + j\omega/\omega_1}$ ). Aux très hautes fréquences, le gain intrinsèque de l’A.Op. s’effondre et devient insuffisant pour assurer la contre-réaction idéale. Par conséquent, l’atténuation théorique en $-40 \, \text{dB/decade}$ s’annule : le gain du montage réel ne continue pas à décroître indéfiniment mais atteint un plancher ou subit des déphasages parasites non prévus par le modèle idéal.