Cours : Algèbre bilinéaire

Fiche de Cours : Algèbre Bilinéaire (PC - Mathématiques)

1. Formes bilinéaires et formes quadratiques

A. Formes bilinéaires

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Définition 1 (Forme bilinéaire) : Une application $f : E \times E \to \mathbb{K}$ est dite bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables :

$\forall y \in E$ , l’application $x \mapsto f(x, y)$ est linéaire.
$\forall x \in E$ , l’application $y \mapsto f(x, y)$ est linéaire.

On note $\mathcal{B}(E)$ l’espace vectoriel des formes bilinéaires sur $E$ .

Définition 2 (Symétrie et antisymétrie) :

$f$ est symétrique si : $\forall (x, y) \in E^2, f(y, x) = f(x, y)$ .
$f$ est antisymétrique si : $\forall (x, y) \in E^2, f(y, x) = -f(x, y)$ .

B. Formes quadratiques

Restriction au programme de PC : On se place dorénavant essentiellement sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ .

Définition 3 (Forme quadratique) : Une application $q : E \to \mathbb{R}$ est une forme quadratique s’il existe une forme bilinéaire symétrique $f$ sur $E$ telle que : $\forall x \in E, \quad q(x) = f(x, x)$

Théorème 1 (Polarisation) : Soit $q$ une forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique $f$ . Alors $f$ est unique et s’obtient par la formule de polarisation : $\forall (x, y) \in E^2, \quad f(x, y) = \frac{1}{2} \left( q(x+y) - q(x) - q(y) \right)$

2. Représentation matricielle

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -ev de dimension finie $n$ , muni d’une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ .

A. Matrice d’une forme bilinéaire

Définition 4 : La matrice de la forme bilinéaire $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ définie par : $a_{i,j} = f(e_i, e_j)$ Si $X$ et $Y$ sont les vecteurs colonnes des coordonnées de $x$ et $y$ dans $\mathcal{B}$ , alors : $f(x, y) = X^T A Y$ Propriété : $f$ est symétrique si et seulement si sa matrice $A$ est symétrique ( $A^T = A$ ).

B. Matrice d’une forme quadratique

Définition 5 : La matrice d’une forme quadratique $q$ dans la base $\mathcal{B}$ est la matrice de la forme polaire associée $f$ . Si $X$ est le vecteur colonne des coordonnées de $x$ : $q(x) = X^T A X = \sum_{i=1}^n a_{i,i} x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_{i,j} x_i x_j$

Formule de changement de base : Si $P$ est la matrice de passage d’une base $\mathcal{B}$ à une base $\mathcal{B}'$ , la nouvelle matrice $A'$ de la forme bilinéaire (ou quadratique) est : $A' = P^T A P$

3. Réduction des formes quadratiques

A. Méthode de Gauss (Décomposition en carrés)

Théorème 2 : Toute forme quadratique $q$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire (à coefficients réels) de carrés de formes linéaires indépendantes : $q(x) = \sum_{i=1}^r \alpha_i \left( \ell_i(x) \right)^2$ où les $\ell_i$ forment une famille libre de $E^*$ .

Méthode pratique (Algorithme de Gauss) :

Si un terme en $x_i^2$ a un coefficient non nul, on regroupe tous les termes contenant $x_i$ pour former le début d’un carré parfait.
Si aucun terme carré n’est présent mais qu’un terme croisé $x_i x_j$ ( $i \neq j$ ) est non nul, on utilise l’identité remarquable : $x_i x_j = \frac{1}{4} \left( (x_i + x_j)^2 - (x_i - x_j)^2 \right)$
On procède par récurrence sur la dimension.

B. Signature d’une forme quadratique

Théorème 3 (Loi d’inertie de Sylvester) : Soit $q$ une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie. Dans toute décomposition de Gauss, le nombre de coefficients strictement positifs, strictement négatifs et nuls est invariant.

Définition 6 (Signature) : Le couple $(p, s)$ où $p$ est le nombre de coefficients $> 0$ et $s$ le nombre de coefficients $< 0$ est appelé la signature de $q$ . Le rang de $q$ est $r = p + s$ .

4. Espaces préhilbertiens et hilbertiens réels

On suppose désormais $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ .

A. Produit scalaire

Définition 7 : Un produit scalaire sur un $\mathbb{R}$ -ev $E$ est une forme bilinéaire symétrique $f$ (notée $(x|y)$ ou $\langle x, y \rangle$ ) qui est définie positive : $\forall x \in E, \quad (x|x) \ge 0 \quad \text{et} \quad ((x|x) = 0 \implies x = 0)$ Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est un espace préhilbertien réel. S’il est de dimension finie, on parle d’espace euclidien.

Théorème 4 (Cauchy-Schwarz) : $\forall (x, y) \in E^2, \quad |(x|y)| \le \|x\| \|y\|$ avec égalité si et seulement si $(x, y)$ est liée.

B. Orthogonalité

Définition 8 :

Deux vecteurs $x, y$ sont orthogonaux si $(x|y) = 0$ .
L’orthogonal d’une partie $A \subset E$ est l’ensemble : $A^\perp = \{ x \in E \mid \forall a \in A, (x|a) = 0 \}$ .

Théorème 5 (Supplémentaire orthogonal) : Si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace préhilbertien $E$ , alors : $E = F \oplus F^\perp$ De plus, $(F^\perp)^\perp = F$ .

C. Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Théorème 6 : Tout espace euclidien $E$ possède une base orthonormée (BON).

Construction (Gram-Schmidt) : À partir d’une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ , on construit une base orthogonale $\mathcal{C} = (u_1, \dots, u_n)$ par récurrence :

$u_1 = e_1$
$u_k = e_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(e_k | u_i)}{\|u_i\|^2} u_i$ Puis on normalise : $\varepsilon_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}$ .

5. Endomorphismes remarquables en dimension finie

Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace euclidien.

A. Adjoint

Théorème 7 : Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ . Il existe un unique endomorphisme, noté $u^*$ , tel que : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$ $u^*$ est appelé l’adjoint de $u$ . Dans une BON, $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u^*) = (\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u))^T$ .

B. Endomorphismes symétriques (autoadjoints)

Définition 9 : $u$ est dit symétrique si $u^* = u$ , c’est-à-dire : $\forall (x, y) \in E^2, \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$ .

Théorème 8 (Spectre et diagonalisation - Admis / Fondamental) :

Les valeurs propres d’un endomorphisme symétrique sont toutes réelles.
Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Théorème spectral : Tout endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée.

C. Endomorphismes orthogonaux

Définition 10 : Un endomorphisme $u$ est orthogonal s’il conserve le produit scalaire : $\forall (x, y) \in E^2, \quad \langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ L’ensemble des endomorphismes orthogonaux forme un groupe, noté $\mathcal{O}(E)$ .

Caractérisations :

$u \in \mathcal{O}(E) \iff u^* \circ u = \text{id}_E \iff$ $u$ transforme une BON en une BON.
Si $u$ est orthogonal, son déterminant vaut $\pm 1$ . Si $\det(u) = 1$ , $u$ est une rotation (groupe $\mathcal{SO}(E)$ ).

6. Méthodes à retenir

Réduire une forme quadratique : Toujours privilégier la méthode de Gauss en calculant proprement les coefficients, ou la méthode de réduction par blocs si la matrice comporte des zéros évidents.
Déterminer le signe d’une forme quadratique : Utiliser la signature obtenue via la méthode de Gauss (tous les coefficients positifs $\iff$ définie positive).
Prouver qu’une application est un produit scalaire : Vérifier la bilinéarité, la symétrie, et pour la positivité, utiliser une écriture sous forme de somme de carrés ou revenir à la définition $\int f^2 = 0 \implies f = 0$ (pour les fonctions).
Diagonalisation d’une matrice symétrique : Toujours expliciter clairement la base orthonormée de diagonalisation (penser à appliquer Gram-Schmidt en cas de sous-espaces propres de dimension $\ge 2$ ).

7. Pièges classiques (Attention aux erreurs de PC !)

Confondre matrice symétrique et définie positive : Une matrice symétrique peut avoir des valeurs propres négatives ou nulles. Être symétrique n’implique pas à soi seul d’être un produit scalaire (il faut que le spectre soit strictement positif).
Oublier la normalisation : Dans le théorème spectral, la base doit être orthonormée. Il ne suffit pas de diagonaliser, il faut diviser chaque vecteur propre par sa norme.
Erreur dans la formule de polarisation : Ne pas oublier le facteur $\frac{1}{2}$ dans $f(x,y) = \frac{1}{2}(q(x+y) - q(x) - q(y))$ .
Attention aux dimensions de l’orthogonal : $F \oplus F^\perp = E$ n’est vrai que si $E$ est de dimension finie et le produit scalaire défini.