Cours : Optique ondulatoire et interférences

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

L’optique ondulatoire modélise la lumière par un champ électromagnétique. Dans le cadre du programme de PSI, on se limite le plus souvent à l’étude d’une composante scalaire du champ électrique, dite vibration lumineuse, notée $s(M,t)$.

1.1. Onde plane monochromatique (OPM)

Une onde plane monochromatique de pulsation $\omega$ et de vecteur d’onde $\vec{k}$ (avec $k = \|\vec{k}\| = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda}$) est représentée sous forme complexe par : $\underline{s}(M,t) = \underline{S}_0 \exp\left(j(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{OM})\right)$ où $\underline{S}_0 = S_0 \exp(j\varphi_0)$ est l’amplitude complexe.

1.2. État de polarisation et approximation scalaire

La polarisation décrit l’évolution temporelle de l’extrémité du vecteur champ électrique $\vec{E}(M,t)$ dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation.

• Lumière polarisée rectilignement : $\vec{E}(M,t)$ garde une direction fixe.
• Lumière non polarisée (naturelle) : Le vecteur $\vec{E}(M,t)$ change de direction de manière aléatoire et rapide.

Condition d’interférence scalaire (Fresnel et Arago) : Deux sources lumineuses ne produisent des interférences observables que si elles sont synchromes (même pulsation $\omega$) et possèdent la même direction de polarisation rectiligne (ou des composantes cohérentes selon la même direction).

1.3. Intensité lumineuse

L’œil et les récepteurs photodétecteurs mesurent une grandeur temporelle moyennée sur un temps $T$ grand devant la période optique $\frac{2\pi}{\omega}$, mais petit devant le temps de réponse du récepteur : $I(M) = \langle s^2(M,t) \rangle_T = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c \, |\underline{s}(M)|_{\text{eff}}^2$ L’intensité est proportionnelle au carré du module de l’amplitude complexe de la vibration lumineuse.

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

2.1. Superposition linéaire et formule de Fresnel

Soit un point $M$ éclairé par deux sources cohérentes $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ émettant les vibrations $\underline{s}_1(M,t)$ et $\underline{s}_2(M,t)$. Par superposition linéaire, la vibration totale est : $\underline{s}(M,t) = \underline{s}_1(M,t) + \underline{s}_2(M,t)$

L’intensité résultante s’écrit : $I(M) = \langle (\text{Re}[\underline{s}_1 + \underline{s}_2])^2 \rangle_T$ En développant ce produit scalaire temporel, on obtient la formule de Fresnel des interférences : $I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \varphi)$

Où :

• $I_1 = \langle s_1^2 \rangle$ et $I_2 = \langle s_2^2 \rangle$ sont les intensités propres des sources.
• $\Delta \varphi = \varphi_2(M) - \varphi_1(M)$ est la différence de phase (ou déphasage) entre les deux ondes au point $M$.

2.2. Lien entre différence de marche et déphasage ($\Delta \varphi$)

Soit $L_1 = (S_1 M)$ et $L_2 = (S_2 M)$ les chemins optiques parcourus par les ondes depuis les sources secondaires jusqu’au point $M$. Le déphasage s’exprime par : $\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0} (L_2 - L_1) = \frac{2\pi}{\lambda_0} \delta$ où $\delta = L_2 - L_1$ est la différence de marche et $\lambda_0$ la longueur d’onde dans le vide.

2.3. Interférences à deux onde (Interféromètre à division du front d’onde ou d’amplitude)

Dans le cas usuel où $I_1 \approx I_2 = I_0$, l’intensité lumineuse se simplifie en : $I(M) = 2I_0 \left( 1 + \cos(\Delta \varphi) \right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta \varphi}{2}\right)$

• Interférences constructives (maximums d’intensité) : $\Delta \varphi = 2k\pi \iff \delta = k\lambda_0$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
• Interférences destructives (minimums d’intensité) : $\Delta \varphi = (2k+1)\pi \iff \delta = (2k+1)\frac{\lambda_0}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Pour traiter un problème d’interférences aux concours (fentes d’Young, miroir de Fresnel, interféromètre de Michelson), la démarche méthodique est la suivante :

1. Identifier les sources secondaires $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ et vérifier leur cohérence (même source primaire).
2. Calculer les chemins optiques $L_1(M)$ et $L_2(M)$ dans le milieu considéré (prendre en compte les indices optiques $n$ et les éventuels déphasages par réflexion, comme le $\pi$ de passage de $\text{milieu 1}$ vers $\text{milieu 2}$ avec $n_2 > n_1$).
3. Exprimer la différence de marche $\delta$ en fonction des coordonnées spatiales (le plus souvent l’abscisse $x$ sur l’écran).
4. Calculer l’interfrange $i$ : distance séparant deux franges de même nature (deux maxima consécutifs).
   • Par définition : $x_{k+1} - x_k = i \implies \delta(x_{k+1}) - \delta(x_k) = \lambda_0$.
5. Évaluer le contraste $C$ (ou visibilité des franges) défini par : $C = \frac{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}$

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

• Confondre chemin géométrique et chemin optique : Le chemin optique est $L = \int n(s) ds$. Dans le vide ou l’air ($n \approx 1$), $L$ se réduit à la distance géométrique, mais un milieu d’indice $n$ retarde l’onde.
• Oublier le saut de phase par réflexion : Une onde lumineuse réfléchie sur un dioptre en incidence normale subit un déphasage de $\pi$ (soit une modification de la différence de marche de $\frac{\lambda_0}{2}$) si elle passe d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent ($n_1 < n_2$).
• Conditions de Gauss et approximation parabolique : Ne pas oublier de développer les expressions en $\sqrt{D^2 + (x \pm a)^2}$ au premier ordre pertinent pour obtenir une différence de marche linéaire en $x$ (ex: $\delta \approx \frac{ax}{D}$).
• Sources étendues et cohérence spatiale : Une source large détruit les interférences par brouillage si sa taille angulaire dépasse la limite de coherence spatiale $\theta_c \approx \frac{\lambda_0}{a}$. Aux concours, vérifiez toujours si la source est ponctuelle ou si l’on doit intégrer les intensités (et non les amplitudes) des différentes parties de la source.