Exercice 2 : Plans et droites dans l espace

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

L’espace affine euclidien usuel est rapporté à un repère orthonormé direct $\mathcal{R} = (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère un tétraèdre $ABCD$ dont les sommets ont pour coordonnées dans $\mathcal{R}$ : $A(1, 0, 0), \quad B(0, 2, 0), \quad C(0, 0, 3), \quad D(1, 1, 1)$

Ce problème s’intéresse à l’étude géométrique des configurations d’intersection entre plans et droites associés à ce tétraèdre, ainsi qu’à la modélisation de la distance d’un point à un plan, notion fondamentale en biologie moléculaire pour l’analyse des plans de symétrie cristalline.

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❓ Questions progressives (incluant une analyse critique du modèle)

1. Équation cartésienne d’un plan Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$ passant par les points $A$, $B$ et $C$.

2. Intersection d’une droite et d’un plan On considère la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Déterminer les coordonnées du point d’intersection $H$ de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(ABC)$.

3. Distance et projection orthogonale Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ en utilisant la formule du cours, puis interpréter géométriquement cette distance à l’aide du point $H$ trouvé à la question précédente.

4. Analyse critique du modèle géométrique Dans le cadre d’une application en cristallographie (où les sommets $A, B, C, D$ représentent des positions atomiques entachées d’incertitudes expérimentales $\varepsilon > 0$), l’équation du plan $(ABC)$ est numériquement instable lorsque le déterminant formé par les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est voisin de $0$. Expliquer qualitativement pourquoi une telle instabilité apparaît et proposer une méthode pour fiabiliser le calcul de la distance point-plan en pratique.

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💡 Pistes & Indications méthodologiques

• Question 1 : Un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $(ABC)$ peut être obtenu par le produit vectoriel $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$. Utilisez ensuite l’équation générale $ax + by + cz + d = 0$.
• Question 2 : Exprimez un point générique $M(t)$ de la droite $\mathcal{D}$ sous forme paramétrique en fonction d’un paramètre réel $t$, puis injectez ces coordonnées dans l’équation cartésienne du plan $(ABC)$.
• Question 3 : La distance d’un point $M_0(x_0, y_0, z_0)$ à un plan d’équation $ax + by + cz + d = 0$ s’exprime via une formule explicite. Vérifiez la cohérence avec la norme du vecteur $\vec{HD}$.
• Question 4 : Pensez à la condition de colinéarité et au conditionnement des matrices en calcul numérique.

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📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Équation cartésienne du plan $(ABC)$

Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 2 - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 - 1 \\ 0 - 0 \\ 3 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Un vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ au plan $(ABC)$ est orthogonal à $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. Calculons $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ : $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \times 3 - 0 \times 0 \\ 0 \times (-1) - (-1) \times 3 \\ (-1) \times 0 - 2 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

L’équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme : $6x + 3y + 2z + d = 0$

Comme le point $A(1, 0, 0)$ appartient au plan $(ABC)$, ses coordonnées vérifient l’équation : $6(1) + 3(0) + 2(0) + d = 0 \implies d = -6$

Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc : $\boxed{6x + 3y + 2z - 6 = 0}$

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2. Intersection d’une droite et d’un plan

La droite $\mathcal{D}$ passe par $D(1, 1, 1)$ et est dirigée par $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Un système d’équations paramétriques de $\mathcal{D}$ est : $\left\{ \begin{aligned} x &= 1 + t \\ y &= 1 - t \\ z &= 1 + 2t \end{aligned} \right. \quad (t \in \mathbb{R})$

Pour trouver le point d’intersection $H$ entre $\mathcal{D}$ et le plan $(ABC)$, on substitue ces expressions dans l’équation cartésienne du plan : $6(1 + t) + 3(1 - t) + 2(1 + 2t) - 6 = 0$

Développons cette équation en $t$ : $6 + 6t + 3 - 3t + 2 + 4t - 6 = 0$ $(6 - 3 + 4)t + (6 + 3 + 2 - 6) = 0$ $7t + 5 = 0 \implies t = -\frac{5}{7}$

Reportons cette valeur de $t$ dans les équations paramétriques de $\mathcal{D}$ pour obtenir les coordonnées de $H$ :

• $x_H = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$
• $y_H = 1 - \left(-\frac{5}{7}\right) = \frac{12}{7}$
• $z_H = 1 + 2\left(-\frac{5}{7}\right) = -\frac{3}{7}$

Le point d’intersection est donc : $\boxed{H\left(\frac{2}{7}, \frac{12}{7}, -\frac{3}{7}\right)}$

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3. Distance et projection orthogonale

La distance du point $D(1, 1, 1)$ au plan $(ABC)$ d’équation $6x + 3y + 2z - 6 = 0$ est donnée par la formule du cours : $d(D, (ABC)) = \frac{|6(1) + 3(1) + 2(1) - 6|}{\sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2}}$

Calculons le numérateur : $|6 + 3 + 2 - 6| = |5| = 5$

Calculons le dénominateur (la norme du vecteur normal $\vec{n}$) : $\sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

Ainsi : $d(D, (ABC)) = \frac{5}{7}$

Interprétation géométrique : Puisque la droite $\mathcal{D}$ est dirigée par le vecteur $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ et que le vecteur normal au plan est $\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, on remarque que $\vec{u} \cdot \vec{n} = 6(1) + 3(-1) + 2(2) = 6 - 3 + 4 = 7 \neq 0$. La droite n’est donc pas parallèle au plan. Le point $H$ étant l’intersection de la droite $\mathcal{D}$ (passant par $D$ et orthogonale au plan car dirigée par $\vec{n}$ ? Attention : ici $\vec{u}$ n’est pas orthogonal à $\vec{n}$, mais $H$ est le point d’intersection défini par la droite $\mathcal{D}$). La distance $d(D, (ABC))$ correspond exactement à la distance euclidienne $\|\vec{HD}\|$.

Vérifions par le calcul de $\|\vec{HD}\|$ : $\vec{HD} = \begin{pmatrix} 1 - \frac{2}{7} \\ 1 - \frac{12}{7} \\ 1 - \left(-\frac{3}{7}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} \\ -\frac{5}{7} \\ \frac{10}{7} \end{pmatrix}$ $\|\vec{HD}\| = \sqrt{\left(\frac{5}{7}\right)^2 + \left(-\frac{5}{7}\right)^2 + \left(\frac{10}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{25 + 25 + 100}{49}} = \sqrt{\frac{150}{49}} \text{ (Erreur de paramétrage initial : } \mathcal{D} \text{ n'est pas normale au plan)}$ Correction rigoureuse : Par définition, la distance du point $D$ au plan est la longueur du segment joignant $D$ à sa projection orthogonale $H'$ sur le plan. Le point $H$ calculé à la question 2 est l’intersection de la droite $\mathcal{D}$ (quelconque) avec le plan, ce n’est pas nécessairement le projeté orthogonal. La distance calculée via la formule analytique $\frac{5}{7}$ est bien la distance exacte.

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4. Analyse critique du modèle géométrique

• Instabilité numérique : Si les points $A, B$ et $C$ sont presque alignés, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont quasi-colinéaires. Leur produit vectoriel $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ a alors une norme $\|\vec{n}\| \to 0$. Dans le calcul de la distance $d(D, (ABC)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\|\vec{n}\|}$, on effectue une division par un nombre extrêmement petit, ce qui amplifie considérablement les erreurs d’arrondi (erreurs expérimentales $\varepsilon$ sur les coordonnées des atomes).
• Piste d’amélioration : Pour fiabiliser le calcul en pratique, on utilise des méthodes matricielles robustes basées sur la décomposition QR ou la valeur singulière (SVD) plutôt que le calcul direct du produit vectoriel, évitant ainsi la perte de chiffres significatifs.