Cours : Réduction des matrices et endomorphismes

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Soit $K$ un corps (en pratique $K = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ), $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n \ge 1$ , et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de $E$ .

Définition 1.1 (Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre) Un scalaire $\lambda \in K$ est dit valeur propre de $u$ s’il existe un vecteur non nul $x \in E$ , appelé vecteur propre associé à $\lambda$ , tel que : $u(x) = \lambda x$ L’ensemble des vecteurs propres associés à $\lambda$ , union avec le vecteur nul $0_E$ , forme un sous-espace vectoriel de $E$ noté $E_\lambda(u)$ , appelé sous-espace propre associé à $\lambda$ : $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda \operatorname{id}_E) = \{x \in E \mid u(x) = \lambda x\}$

Définition 1.2 (Matrice propre) Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ . Un scalaire $\lambda \in K$ est valeur propre de $A$ si et seulement si la matrice $A - \lambda I_n$ n’est pas inversible (où $I_n \in \mathcal{M}_n(K)$ est la matrice identité). Le sous-espace propre associé est le noyau de $A - \lambda I_n$ dans $K^n$ .

Définition 1.3 (Polynôme caractéristique) On appelle polynôme caractéristique de l’endomorphisme $u$ (ou de la matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ ) le polynôme noté $\chi_u$ (ou $\chi_A$ ) défini par : $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_n - A) \quad \text{ou} \quad \chi_A(X) = \det(X I_n - A) \in K[X]$ C’est un polynôme unitaire de degré $n$ . Les valeurs propres de $A$ sont exactement les racines de $\chi_A$ dans $K$ .

📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Proposition 2.1 (Somme directe de sous-espaces propres) Soit $(u_1, u_2, \dots, u_p)$ une famille de vecteurs propres de $u$ associés à des valeurs propres distinctes $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_p)$ . Alors cette famille est libre.

Démonstration (par récurrence sur $p$ au programme) :

Pour $p = 1$ , un vecteur propre non nul est par définition libre.

Supposons la propriété vraie au rang $p-1 \ge 1$ . Soit une relation de liaison : $\sum_{i=1}^p \alpha_i x_i = 0_E \quad (\text{avec } x_i \in E_{\lambda_i}(u) \setminus \{0_E\})$ Appliquons l’endomorphisme $u$ à cette relation : $\sum_{i=1}^p \alpha_i u(x_i) = 0_E \implies \sum_{i=1}^p \alpha_i \lambda_i x_i = 0_E \quad (1)$ Multiplions la relation initiale par $\lambda_p$ : $\sum_{i=1}^p \alpha_i \lambda_p x_i = 0_E \quad (2)$ Faisons la différence $(1) - (2)$ : $\sum_{i=1}^{p-1} \alpha_i (\lambda_i - \lambda_p) x_i = 0_E$ Par hypothèse de récurrence, la famille $(x_1, \dots, x_{p-1})$ est libre. Par conséquent, pour tout $i \in \{1, \dots, p-1\}$ , on a : $\alpha_i (\lambda_i - \lambda_p) = 0_K$ Puisque les valeurs propres sont distinctes ( $\lambda_i \neq \lambda_p$ ), il vient $\alpha_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \dots, p-1\}$ . La relation initiale se réduit alors à $\alpha_p x_p = 0_E$ . Comme $x_p \neq 0_E$ , on obtient $\alpha_p = 0$ . La famille est donc libre. $\blacksquare$

Théorème 2.2 (Caractérisation de la diagonalisabilité) Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ (ou $u \in \mathcal{L}(E)$ ). Les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est diagonalisable (il existe $P \in \mathcal{GL}_n(K)$ et $D$ une matrice diagonale telles que $A = P D P^{-1}$ ).
Le polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ est scindé sur $K$ , et pour toute valeur propre $\lambda$ , la dimension du sous-espace propre est égale à sa multiplicité algébrique $m(\lambda)$ : $\dim(E_\lambda) = m(\lambda)$
La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$ , ou de manière équivalente, la somme directe de ces sous-espaces est égale à l’espace tout entier : $\bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} E_\lambda(A) = K^n$

💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Calcul du polynôme caractéristique : Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ . On calcule $\chi_A(X) = \det(X I_n - A)$ en effectuant des opérations sur les lignes et les colonnes pour faire apparaitre des zéros, sans modifier le déterminant (méthode du pivot de Gauss sur les déterminants).
Recherche des espaces propres : Pour chaque racine $\lambda$ de $\chi_A$ de multiplicité $m(\lambda)$ , on résout le système linéaire homogène : $(A - \lambda I_n) X = 0_{\mathcal{M}_{n,1}(K)}$ L’ensemble des solutions est le sous-espace propre $E_\lambda(A)$ . On en extrait une base par application du pivot de Gauss.
Diagonalisation effective :
- Si $\sum \dim(E_\lambda) < n$ , la matrice n’est pas diagonalisable.
- Si $\sum \dim(E_\lambda) = n$ , la matrice est diagonalisable. On concatène les bases de chaque sous-espace propre pour former la matrice de passage $P \in \mathcal{GL}_n(K)$ (les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres dans le même ordre que les valeurs propres sur la diagonale de $D$ ). On a la relation : $A = P D P^{-1} \iff D = P^{-1} A P$

⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

Piège 1 : Confondre multiplicité algébrique et multiplicité géométrique. La condition $\dim(E_\lambda) \le m(\lambda)$ est toujours vraie, mais l’égalité n’est requise que pour toutes les valeurs propres pour assurer la diagonalisabilité.
Piège 2 : Oublier de vérifier si le polynôme caractéristique est scindé sur le corps de base $K$ considéré (attention aux matrices réelles dont le polynôme caractéristique possède des racines complexes strictes).
Piège 3 : Inverser l’ordre des vecteurs propres dans la matrice de passage $P$ par rapport à l’ordre des valeurs propres dans la matrice diagonale $D$ , ce qui invalide la relation $AP = PD$ .
Piège 4 : Conclure hâtivement qu’une matrice est diagonalisable sous prétexte qu’elle possède $n$ valeurs propres distinctes (bien que cela soit un condition suffisante, ce n’est pas une condition nécessaire).