Cours : Optique et Électrocinétique

Fiche de Cours : Optique et Électrocinétique

Niveau: ** Première année (PCSI)
Matière : Physique-Chimie
Chapitre: ** Optique et Électrocinétique

Introduction et Objectifs

Ce chapitre fait le lien entre deux piliers de la physique de première année en CPGE : l’optique géométrique (propagation de la lumière, stigmatisme, lentilles) et l’électrocinétique (régimes transitoires et permanents, analyse fréquentielle). En PCSI, l’étude conjointe de ces domaines prépare notamment à la compréhension des systèmes de mesure, des filtres optoélectroniques et des méthodes de caractérisation.

I. Rappels d’Électrocinétique : Régimes et Analyse Complexe

1. Composants idéaux et lois générales

En électrocinétique, les dipôles usuels sont caractérisés par leur relation courant-tension :

Résistance $R$ : $u(t) = R \, i(t)$
Condensateur $C$ : $i(t) = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$
Bobine idéale $L$ : $u(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}$

2. Étude des régimes transitoires (Ordre 1 et 2)

Pour un circuit RLC série soumis à un échelon de tension, l’équation différentielle portant sur la tension aux bornes du condensateur $u_C(t)$ s’écrit sous la forme canonique :

$\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\omega_0}{Q} \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + \omega_0^2 u_C = E \omega_0^2$

où :

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ est la pulsation propre ( $\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ ).
$Q$ est le facteur de qualité, avec $Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$ pour un circuit série.

Selon la valeur de $Q$ (ou du coefficient d’amortissement $\xi = \frac{1}{2Q}$ ), on distingue :

Le régime pseudo-périodique ( $Q > 1/2$ )
Le régime critique ( $Q = 1/2$ )
Le régime apériodique ( $Q < 1/2$ )

3. Régime sinusoïdal forcé et représentation complexe

En régime sinusoïdal permanent de pulsation $\omega$ , on associe à chaque grandeur temporelle $s(t) = S_{\max} \cos(\omega t + \varphi)$ une amplitude complexe $\underline{s} = S_{\max} e^{j\varphi}$ .

Les impédances complexes $\underline{Z}$ des dipôles fondamentaux sont :

$\underline{Z}_R = R$
$\underline{Z}_C = \frac{1}{j \mathcal{C} \omega} = - \frac{j}{C \omega}$
$\underline{Z}_L = j L \omega$

II. Optique Géométrique : Approximation et Lois de Snell-Descartes

1. Conditions de Gauss

L’optique géométrique est valide lorsque les dimensions des obstacles et des ouvertures traversés par la lumière sont très grandes devant la longueur d’onde $\lambda$ ( $\text{a} \gg \lambda$ ).

L’approximation de Gauss (ou des stigmatismes approchés) suppose en outre :

Des rayons lumineux peu inclinés par rapport à l’axe optique.
Des rayons peu éloignés de cet axe.

Dans ces conditions, on utilise les approximations usuelles : $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \alpha$ et $\cos(\alpha) \approx 1$ .

2. Lois de Snell-Descartes pour la réfraction

Soit un dioptre séparant deux milieux d’indices optiques respectifs $n_1$ et $n_2$ (avec $n = \frac{c}{v}$ ). Les angles d’incidence $\theta_1$ et de réfraction $\theta_2$ sont liés par :

$n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)$

Phénomène limite : Si $n_1 > n_2$ , il existe un angle limite d’incidence $\theta_{\text{lim}} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$ au-delà duquel il y a réflexion totale.

III. Systèmes Centrés et Lentilles Minces

1. Définitions et invariants optiques

Un système centré possède un axe de symétrie de révolution, l’axe optique.

Les foyers principaux objet $F$ et image $F'$ vérifient la relation de conjugaison avec origine au centre optique $O$ (pour une lentille mince) :

$\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OF'}} = \mathcal{C}$

où $\mathcal{C}$ est la vergence de la lentille, exprimée en dioptries ( $\delta$ ou $\text{m}^{-1}$ ).

2. Formules de conjugaison fondamentales

Formule de Descartes (origine au centre $O$ ) : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}$ avec $f' = \overline{OF'}$ .
Formule de Newton (origine aux foyers $F$ et $F'$ ) : $\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = -f^{\prime\,2}$

3. Grandissement transversal

Le grandissement transversal $\gamma$ d’un système optique est défini par le rapport de la taille de l’image $\overline{A'B'}$ sur celle de l’objet $\overline{AB}$ (perpendiculaires à l’axe optique) :

$\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$

IV. Couplage Optique-Électrocinétique : Exemples et Applications

1. Détection optoélectronique (Photodiode)

Une photodiode fonctionnant en régime de photoconductivité ou de photovoltage convertit un flux lumineux incident (caractérisé par sa puissance optique $\Phi$ ) en un signal électrique.

Dans le modèle linéaire idéal, le courant de photocurrent $I_{\text{ph}}$ est proportionnel au flux lumineux : $I_{\text{ph}} = R_{\lambda} \, \Phi$ où $R_{\lambda}$ est la responsivité de la photodiode ( $\text{A}\cdot\text{W}^{-1}$ ).

2. Filtrage associé aux capteurs

Le signal issu d’un capteur optique subit souvent un traitement analogique via un filtre électronique actif ou passif (par exemple, un filtre passe-bas du premier ordre pour éliminer le bruit haute fréquence). La fonction de transfert complexe $\underline{H}(j\omega) = \frac{\underline{s}_{\text{sortie}}}{\underline{s}_{\text{entrée}}}$ permet de caractériser l’atténuation et le déphasage du signal optoélectronique selon la modulation temporelle du flux lumineux.