Cours : Dénombrement et probabilités

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le cadre d’etude de la theorie des probabilites en classe de premiere annee de CPGE repose sur la formalisation de Kolmogorov, introduisant la notion d’espace probabilise.

Soit $\Omega$ un ensemble non vide, appele univers ou ensemble des elements (ou resultats) elementaires. Les sous-ensembles de $\Omega$ sont appeles des evenements.

Definition : Tribu (ou $\sigma$-algebre)

Une partie $\mathcal{A}$ de l’ensemble des parties $\mathcal{P}(\Omega)$ est appelee une tribu sur $\Omega$ si elle verifie les proprietes suivantes :

1. $\Omega \in \mathcal{A}$.
2. Stabilite par passage au complementaire : $\forall A \in \mathcal{A}, \ \bar{A} = \Omega \setminus A \in \mathcal{A}$.
3. Stabilite par union denombrable : $\forall (A_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}^{\mathbb{N}}, \ \bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n \in \mathcal{A}$.

Dans le cadre du programme de PTSI, l’univers $\Omega$ est le plus souvent fini ou denombrable, et la tribu consideree est systematiquement $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$.

Definition : Espace probabilise

Un espace probabilise est un couple $(\Omega, \mathcal{A})$ ou $\Omega$ est un univers et $\mathcal{A}$ une tribu sur $\Omega$, muni d’une application $\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$, appelee probabilite, verifiant :

1. $\mathbb{P}(\Omega) = 1$.
2. $\sigma$-additivite : Pour toute suite d’evenements $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ deux a deux incompatibles (c’est-a-dire $\forall i \neq j, \ A_i \cap A_j = \emptyset$), on a : $\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)$

Elements de denombrement fini

Soit $E$ un ensemble fini a $n$ elements (avec $n \in \mathbb{N}$).

• Nombre de parties de $E$ : $|\mathcal{P}(E)| = 2^n$.
• Nombre de p-uples d’elements de $E$ ($p \in \mathbb{N}^*$) : $n^p$.
• Nombre de p-uples d’elements deux a deux distincts (arrangements sans repetition) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \quad (\text{pour } p \le n)$
• Nombre de parties a $p$ elements (combinaisons) : $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \quad (\text{pour } 0 \le p \le n)$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Theoreme : Formule du crible de Poincaré

Soit $(\Omega, \mathbb{P})$ un espace probabilise et $(A_1, A_2, \dots, A_n)$ une famille d’evenements de $\mathcal{A}$ ($n \ge 2$). Alors : $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i) - \sum_{1 \le i < j \le n} \mathbb{P}(A_i \cap A_j) + \dots + (-1)^{n-1} \mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^n A_i\right)$ Plus generalement, sous forme compacte : $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n} \mathbb{P}\left(\bigcap_{j=1}^k A_{i_j}\right)$

Demonstration (par recurrence sur $n \ge 2$)

• Initialisation ($n = 2$) : Montrons que $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2) = \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(A_2) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_2)$. Remarquons la decomposition disjointe suivante : $A_1 \cup A_2 = A_1 \cup (\bar{A_1} \cap A_2)$ Par additivite de la probabilite : $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2) = \mathbb{P}(A_1) + \mathbb{P}(\bar{A_1} \cap A_2)$ De plus, l’evenement $A_2$ se decompose en : $A_2 = (A_1 \cap A_2) \cup (\bar{A_1} \cap A_2) \quad (\text{union disjointe})$ Donc $\mathbb{P}(\bar{A_1} \cap A_2) = \mathbb{P}(A_2) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_2)$. En injectant cette relation dans la precedente, on obtient l’egalite voulue.

• Hérédité : Supposons la propriete vraie au rang $n \ge 2$. Soit $(A_1, \dots, A_{n+1})$ une famille de $n+1$ evenements. Posons $B = \bigcup_{i=1}^n A_i$. On a : $\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i = B \cup A_{n+1}$ Par application de la formule au rang 2 : $\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right) = \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(A_{n+1}) - \mathbb{P}(B \cap A_{n+1})$ En appliquant l’hypothese de recurrence a $\mathbb{P}(B)$ et en remarquant que $B \cap A_{n+1} = \bigcup_{i=1}^n (A_i \cap A_{n+1})$, on etablit par developpement algebrique la formule au rang $n+1$. $\blacksquare$

Theoreme : Formule des probabilités totales

Soit $(\Omega, \mathbb{P})$ un espace probabilise. Soit $(A_n)_{n \in I}$ (ou $I$ est fini ou denombrable) un systeme complet d’evenements, c’est-a-dire une famille d’evenements verifiant :

1. $\forall n \in I, \ \mathbb{P}(A_n) > 0$ (si l’on souhaite conditionner, ou simplement $\mathbb{P}(A_n)$ quelconque si l’on evite les cas nuls).
2. $\forall (i, j) \in I^2, \ i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset$ (deux a deux incompatibles).
3. $\bigcup_{n \in I} A_n = \Omega$ (recouvrement de l’univers).

Alors, pour tout evenement $B \in \mathcal{A}$ : $\mathbb{P}(B) = \sum_{n \in I} \mathbb{P}(B \cap A_n)$ Si de plus $\mathbb{P}(A_n) > 0$ pour tout $n$, alors : $\mathbb{P}(B) = \sum_{n \in I} \mathbb{P}(A_n) \mathbb{P}_{A_n}(B)$

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💡 3. Méthodes de calcul & Algorithmes

Methode 1 : Le dénombrement par modélisation combinatoire

Face a une situation aleatoire equipouvantable (cas d’une urne, tirages, etc.), le calcul de la probabilite d’un evenement $A$ se ramene a : $\mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ Algorithme de choix de modelisation :

1. L’ordre importe-t-il ?
   • Oui $\to$ Utiliser des arrangements ou des $p$-uples.
   • Non $\to$ Utiliser des combinaisons.
2. Y a-t-il remise ?
   • Avec remise $\to$ $p$-uples d’elements de $E$ (cardinal $n^p$).
   • Sans remise $\to$ Arrangements $A_n^p$ ou combinaisons $\binom{n}{p}$.

Methode 2 : Exploitation des arbres de probabilités

Pour des experiences aleatoires composees d’un nombre fini d’etapes :

• Les branches issues d’un meme nœud representent un systeme complet d’evenements. La somme des probabilites de ces branches vaut $1$.
• La probabilite d’un chemin (intersection des evenements le composant) s’obtient par le produit des probabilites le long de ce chemin (probabilites conditionnelles successives).
• La probabilite d’un evenement terminal s’obtient en sommant les probabilites de tous les chemins menant a cet evenement (application directe de la formule des probabilites totales).

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⚠️ 4. Pièges classiques aux Concours

1. Oubli de verifier le systeme complet d’evenements : Avant d’appliquer la formule des probabilites totales ou la formule de Bayes, il est imperatif de rediger explicitement que la famille $(A_i)$ forme une partition de $\Omega$ (compatibles deux a deux, union egale a $\Omega$ et non-vacuite des evenements si l’on divise par leur probabilite).
2. Confusion entre incompatibilité et indépendance :
   • Deux evenements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. Si de surcroit $\mathbb{P}(A) > 0$ et $\mathbb{P}(B) > 0$, ils ne peuvent jamais etre independants car $\mathbb{P}(A \cap B) = 0 \neq \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$.
3. Mauvaise interpretation du “sans remise” vs “avec remise” : Dans les problemes de tirages simultanes, l’ordre n’intervient pas (combinaisons $\binom{n}{p}$). S’il y a des tirages successifs sans remise, l’ordre importe generalement (arrangements $A_n^p$), bien qu’il soit parfois possible de diviser par $p!$ pour revenir a des combinaisons. Veillez a conserver la meme modelisation du debut a la fin de l’exercice pour le calcul du cardinal de $\Omega$ et de $|A|$.
4. Indépendance mutuelle vs indépendance deux à deux : Pour une famille d’evenements $(A_1, A_2, \dots, A_n)$, l’independance deux a deux ($\forall i \neq j, \ \mathbb{P}(A_i \cap A_j) = \mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(A_j)$) n’implique en aucun cas l’independance mutuelle. Cette derniere requiert la verification de l’egalite multiplicative pour toutes les sous-familles de $\{1, \dots, n\}$.