Cours : Champ magnétique et force de Lorentz

📌 1. Définitions & Cadre d’étude

Le champ magnétique, noté $\vec{B}$, est un champ vectoriel défini en tout point de l’espace tridimensionnel. Dans le cadre de la physique non relativiste, il s’exprime en teslas ($\text{T}$).

Vecteur champ magnétique et sources

Le champ magnétique est créé par des charges en mouvement (courants électriques) ou par des moments magnétiques intrinsèques (aimants, spins). Il obéit à l’équation de Maxwell-Flux : $\text{div}(\vec{B}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ Cette structure mathématique traduit l’inexistence de monopôles magnétiques à ce jour : les lignes de champ de $\vec{B}$ sont toujours des lignes fermées ou s’étendant à l’infini.

Force de Lorentz

Soit une particule ponctuelle de charge $q$ (en coulombs, $\text{C}$), se déplaçant à la vitesse $\vec{v}$ (en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$) dans un référentiel galiléen, en présence d’un champ électrique $\vec{E}$ (en $\text{V}\cdot\text{m}^{-1}$) et d’un champ magnétique $\vec{B}$ (en $\text{T}$). La force subie par cette particule est la force de Lorentz $\vec{F}$ : $\vec{F} = q\left(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}\right)$

Dans le cas où seul le champ magnétique règne, la force magnétique $\vec{m}$ s’écrit : $\vec{F}_{\text{mag}} = q(\vec{v} \wedge \vec{B})$

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📐 2. Théorèmes fondamentaux & Démonstrations clés

Propriété fondamentale : Invariant de puissance

Théorème : La force magnétique ne travaille pas.

Démonstration : Soit $\mathcal{P}$ la puissance instantanée développée par la force magnétique $\vec{F}_{\text{mag}}$ sur la charge $q$. Par définition, on a : $\mathcal{P} = \vec{F}_{\text{mag}} \cdot \vec{v} = \left[q(\vec{v} \wedge \vec{B})\right] \cdot \vec{v}$ Par permutabilité du produit mixte, on sait que $\vec{v} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{B}) = (\vec{v} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{B}$. Or, le produit vectoriel d’un vecteur par lui-même est nul : $\vec{v} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ Par conséquent : $\mathcal{P} = 0$ La force magnétique est donc orthogonale à la vitesse à tout instant. Elle ne modifie pas l’énergie cinétique de la particule : la norme de la vitesse $\|\vec{v}\|$ reste constante au cours du mouvement si $\vec{E} = \vec{0}$.

Mouvement d’une charge dans un champ magnétique uniforme et stationnaire

Plaçons une particule de masse $m$ et de charge $q$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B} = B_0 \vec{e}_z$. En appliquant le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) dans un référentiel galiléen : $m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = q(\vec{v} \wedge \vec{B}_0)$

En projetant cette relation vectorielle dans un système de coordonnées cartésiennes $(O, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)$, avec $\vec{v} = (\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})$, on obtient le système différentiel couplé suivant :

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