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Cours : Géométrie euclidienne

Fiche de Cours : Géométrie euclidienne

Section titled “Fiche de Cours : Géométrie euclidienne”

Filière : PTSI — Niveau : Première année
Matière : Mathématiques

Introduction et Cadre Vectoriel

Section titled “Introduction et Cadre Vectoriel”

La géométrie euclidienne s’appuie sur l’étude d’un espace affine euclidien associé à un espace vectoriel euclidien. En PTSI, nous manipulons principalement les espaces R2\mathbb{R}^2 et R3\mathbb{R}^3 munis du produit scalaire canonique.

1. Produit scalaire et orthogonalité

Section titled “1. Produit scalaire et orthogonalité”

Définitions

Section titled “Définitions”

Soit EE un R\mathbb{R}-espace vectoriel. Un produit scalaire sur EE est une application notée (⋅,⋅)(\cdot, \cdot) ou ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle, ou encore u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}, qui à tout couple de vecteurs (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}) associe un nombre réel, telle que pour tout u⃗,v⃗,w⃗∈E\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in E et λ∈R\lambda \in \mathbb{R} :

  1. Symétrie : (u⃗,v⃗)=(v⃗,u⃗)(\vec{u}, \vec{v}) = (\vec{v}, \vec{u})
  2. Bilinéarité : (λu⃗+v⃗,w⃗)=λ(u⃗,w⃗)+(v⃗,w⃗)(\lambda\vec{u} + \vec{v}, \vec{w}) = \lambda(\vec{u}, \vec{w}) + (\vec{v}, \vec{w})
  3. Positivité : (u⃗,u⃗)≥0(\vec{u}, \vec{u}) \ge 0
  4. Caractère défini : (u⃗,u⃗)=0  ⟺  u⃗=0⃗(\vec{u}, \vec{u}) = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}

Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz

Section titled “Théorème : Inégalité de Cauchy-Schwarz”

Pour tous vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} d’un espace euclidien EE : ∣(u⃗,v⃗)∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥|(\vec{u}, \vec{v})| \le \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| Cas d’égalité : L’égalité a lieu si et seulement si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires.

Définition : Norme associée

Section titled “Définition : Norme associée”

La norme d’un vecteur u⃗\vec{u} est définie par ∥u⃗∥=(u⃗,u⃗)\|\vec{u}\| = \sqrt{(\vec{u}, \vec{u})}.

2. Géométrie affine euclidienne du plan et de l’espace

Section titled “2. Géométrie affine euclidienne du plan et de l’espace”

Orthogonalité

Section titled “Orthogonalité”
  • Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux si (u⃗,v⃗)=0(\vec{u}, \vec{v}) = 0, ce que l’on note u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}.
  • Le théorème de Pythagore s’applique : si u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}, alors ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+∥v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2.

Droites et Plans (dans R3\mathbb{R}^3)

Section titled “Droites et Plans (dans R3\mathbb{R}^3R3)”
  • Droite affine : Définie par un point AA et un vecteur directeur u⃗≠0⃗\vec{u} \neq \vec{0}. M∈D  ⟺  ∃t∈R,AM⃗=tu⃗M \in \mathcal{D} \iff \exists t \in \mathbb{R}, \quad \vec{AM} = t\vec{u}
  • Plan affine : Défini par un point AA et deux vecteurs directeurs non colinéaires u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. M∈P  ⟺  ∃(s,t)∈R2,AM⃗=su⃗+tv⃗M \in \mathcal{P} \iff \exists (s,t) \in \mathbb{R}^2, \quad \vec{AM} = s\vec{u} + t\vec{v}

3. Distances, Projections et Symétries

Section titled “3. Distances, Projections et Symétries”

Définitions

Section titled “Définitions”
  • Distance d’un point à une partie : Soit AA un point et F\mathcal{F} une partie de l’espace. La distance de AA à F\mathcal{F} est : d(A,F)=inf⁡M∈Fd(A,M)d(A, \mathcal{F}) = \inf_{M \in \mathcal{F}} d(A, M)
  • Projection orthogonale : Soit FF un sous-espace vectoriel (ou affine). Le projeté orthogonal d’un point MM sur FF est le point H∈FH \in F tel que MH⃗⊥F\vec{MH} \perp F.

4. Le Produit Vectoriel (Spécifique à R3\mathbb{R}^3)

Section titled “4. Le Produit Vectoriel (Spécifique à R3\mathbb{R}^3R3)”

Définition

Section titled “Définition”

Dans l’espace orienté R3\mathbb{R}^3 muni d’une base orthonormée directe (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), le produit vectoriel de u⃗(x1,y1,z1)\vec{u}(x_1, y_1, z_1) et v⃗(x2,y2,z2)\vec{v}(x_2, y_2, z_2) est le vecteur : u⃗∧v⃗=(y1z2−z1y2z1x2−x1z2x1y2−y1x2)\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{pmatrix} y_1 z_2 - z_1 y_2 \\ z_1 x_2 - x_1 z_2 \\ x_1 y_2 - y_1 x_2 \end{pmatrix}

Propriétés fondamentales

Section titled “Propriétés fondamentales”
  1. u⃗∧v⃗\vec{u} \wedge \vec{v} est orthogonal à u⃗\vec{u} et à v⃗\vec{v}.
  2. Le repère (u⃗,v⃗,u⃗∧v⃗)(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v}) est direct si (u⃗,v⃗)(\vec{u}, \vec{v}) est une famille libre.
  3. Norme : ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡(θ)\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin(\theta), où θ\theta est l’angle entre u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.
  4. Aire : La norme ∥u⃗∧v⃗}\|\vec{u} \wedge \vec{v}\} représente l’aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}.

Méthodes

Section titled “Méthodes”

Méthode 1 : Déterminer l’équation cartésienne d’un plan dans R3\mathbb{R}^3

  1. Identifier un point A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) appartenant au plan.
  2. Trouver un vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec{n}(a, b, c) au plan (par exemple via le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs).
  3. Écrire que pour tout point M(x,y,z)M(x, y, z) du plan, AM⃗⊥n⃗\vec{AM} \perp \vec{n}, ce qui se traduit par : a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

Méthode 2 : Calculer la distance d’un point à une droite ou un plan

  • Pour un point M0M_0 et un plan P:ax+by+cz+d=0\mathcal{P} : ax + by + cz + d = 0 : d(M0,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M_0, \mathcal{P}) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Pièges à éviter

Section titled “Pièges à éviter”
  1. Confondre orthogonalité et colinéarité : Un produit scalaire nul (u⃗,v⃗)=0(\vec{u}, \vec{v}) = 0 implique l’orthogonalité, pas la colinéarité. Ne pas oublier que le vecteur nul 0⃗\vec{0} est orthogonal à tous les vecteurs.
  2. Orientation du produit vectoriel : Le produit vectoriel n’est pas commutatif ; on a u⃗∧v⃗=−(v⃗∧u⃗)\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u}). L’oubli du signe est une source classique d’erreurs de calcul en physique et en sciences industrielles.
  3. Application de la formule de distance : Pour appliquer la formule de la distance d’un point à un plan, l’équation cartésienne du plan doit impérativement être sous sa forme normalisée.