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Cours : Suites, dérivées et développements limités

Fiche de Cours : Suites, dérivées et développements limités

Section titled “Fiche de Cours : Suites, dérivées et développements limités”

Filière : MP2I (1ère année) — Matière : Mathématiques

1. Rapports et compléments sur les suites numériques

Section titled “1. Rapports et compléments sur les suites numériques”

1.1. Limites et inégalités

Section titled “1.1. Limites et inégalités”
  • Passage à la limite : Soient (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}} et (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}} deux suites convergentes telles que un≤vnu_n \le v_n à partir d’un certain rang. Alors lim⁡n→+∞un≤lim⁡n→+∞vn\lim_{n \to +\infty} u_n \le \lim_{n \to +\infty} v_n.
  • Attention : L’inégalité stricte un<vnu_n < v_n ne se transmet pas à la limite (ex: un=0u_n = 0 et vn=1nv_n = \frac{1}{n}).

1.2. Suites adjacentes

Section titled “1.2. Suites adjacentes”

Définition : Deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont dites adjacentes si :

  1. L’une est croissante, l’autre est décroissante (par exemple, (un)(u_n) croissante et (vn)(v_n) décroissante).
  2. lim⁡n→+∞(vn−un)=0\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0.

Théorème de convergence : Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite. De plus, pour tout n,m∈Nn, m \in \mathbb{N}, on a un≤vmu_n \le v_m.

1.3. Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)

Section titled “1.3. Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)”

Soit IanintervallefermeˊetI an intervalle fermé et f : I \to Iunefonctioncontinue.Siune fonction continue. Si(u_n)estdeˊfinieparest définie paru_0 \in Ietetu_{n+1} = f(u_n)$ :

  • Si ff admet un point fixe ℓ∈I\ell \in I et que (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, alors par continuité de ff, f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ell.
  • Théorème du point fixe (cas contractant) : Si ff est kk-lipschitzienne sur II avec k∈[0,1[k \in [0, 1[, alors :
    1. ff admet un unique point fixe ℓ∈I\ell \in I.
    2. Pour tout u0∈Iu_0 \in I, la suite (un)(u_n) converge vers ℓ\ell.
    3. Estimations d’erreur : ∣un−ℓ∣≤kn1−k∣u1−u0∣et∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n - \ell| \le \frac{k^n}{1-k} |u_1 - u_0| \quad \text{et} \quad |u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell|

2. Dérivabilité et accroissements finis

Section titled “2. Dérivabilité et accroissements finis”

2.1. Rapports de dérivée et classe Ck\mathcal{C}^k

Section titled “2.1. Rapports de dérivée et classe Ck\mathcal{C}^kCk”
  • Une fonction f:I→Rf : I \to \mathbb{R} est de classe Ck\mathcal{C}^k sur II (k∈N∗k \in \mathbb{N}^*) si elle est kk fois dérivable et si sa dérivée kk-ième f(k)f^{(k)} est continue sur II.
  • Elle est de classe C∞\mathcal{C}^\infty si elle est de classe Ck\mathcal{C}^k pour tout k∈Nk \in \mathbb{N}.

2.2. Théorèmes fondamentaux

Section titled “2.2. Théorèmes fondamentaux”
  • Rolle : Soit f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b][a, b], dérivable sur % ]a, b[ et telle que f(a)=f(b)f(a) = f(b). Alors il existe c∈]a,b[c \in ]a, b[ tel que f′(c)=0f'(c) = 0.
  • Accroissements Finis (TAF) : Soit f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} continue sur [a,b][a, b] et dérivable sur % ]a, b[. Il existe c∈]a,b[c \in ]a, b[ tel que : f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
  • Inégalité des Accroissements Finis (IAF) : Si f:I→Rf : I \to \mathbb{R} est dérivable et s’il existe M≥0M \ge 0 tel que pour tout x∈I,∣f′(x)∣≤Mx \in I, |f'(x)| \le M, alors : ∀(x,y)∈I2,∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣\forall (x, y) \in I^2, \quad |f(x) - f(y)| \le M |x - y|

3. Développements limités (DL)

Section titled “3. Développements limités (DL)”

3.1. Définitions

Section titled “3.1. Définitions”

Définition : Soit f:I→Rf : I \to \mathbb{R} une fonction, x0∈Ix_0 \in I et n∈Nn \in \mathbb{N}. On dit que ff admet un développement limité à l’ordre nn en x0x_0 (noté DLn(x0)\text{DL}_n(x_0)) s’il existe des coefficients a0,a1,…,an∈Ra_0, a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R} et une fonction ϵ:I→R\epsilon : I \to \mathbb{R} tels que : f(x)=∑k=0nak(x−x0)k+(x−x0)nϵ(x)aveclim⁡x→x0ϵ(x)=0f(x) = \sum_{k=0}^n a_k (x - x_0)^k + (x - x_0)^n \epsilon(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x \to x_0} \epsilon(x) = 0

  • unicité : Si un DLn(x0)\text{DL}_n(x_0) existe, alors il est unique.

3.2. Théorème de Taylor-Young

Section titled “3.2. Théorème de Taylor-Young”

Si f:I→Rf : I \to \mathbb{R} est de classe Cn\mathcal{C}^n sur un voisinage de x0x_0, alors ff admet un DLn(x0)\text{DL}_n(x_0) donné par : f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+o((x−x0)n)f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + o\left((x - x_0)^n\right)

3.3. Développements limités usuels (en 00)

Section titled “3.3. Développements limités usuels (en 000)”

À connaître par cœur pour tout calcul asymptotique :

  1. ex=∑k=0nxkk!+o(xn)=1+x+x22!+⋯+xnn!+o(xn)\displaystyle e^x = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
  2. cos⁡(x)=∑k=0n(−1)k(2k)!x2k+o(x2n+1)=1−x22+x424+o(x2v)\displaystyle \cos(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n+1}) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^{2v})
  3. sin⁡(x)=∑k=0n(−1)k(2k+1)!x2k+1+o(x2n+2)=x−x36+o(x3)\displaystyle \sin(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n+2}) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
  4. ln⁡(1+x)=∑k=1n(−1)k−1kxk+o(xn)=x−x22+x33+o(x3)\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k + o(x^n) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
  5. (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)…(α−n+1)n!xn+o(xn)(α∈R)\displaystyle (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + o(x^n) \quad (\alpha \in \mathbb{R})
  6. 11−x=∑k=0nxk+o(xn)=1+x+x2+⋯+xn+o(xn)\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^n x^k + o(x^n) = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)
  7. 11+x=∑k=0n(−1)kxk+o(xn)=1−x+x2−x3+o(x3)\displaystyle \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^n (-1)^k x^k + o(x^n) = 1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)
  8. arctan⁡(x)=∑k=0n(−1)k2k+1x2k+1+o(x2n+2)=x−x33+x55+o(x5)\displaystyle \arctan(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1} + o(x^{2n+2}) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)

3.4. Opérations sur les développements limités

Section titled “3.4. Opérations sur les développements limités”
  • Somme et Produit : On peut additionner et multiplier des DL à un même ordre en x0x_0, en conservant les termes significatifs (on tronque les oo à l’ordre nn minimal du produit).
  • Composition : Si f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x)), avec lim⁡x→x0h(x)=0\lim_{x \to x_0} h(x) = 0, on peut substituer le DL\text{DL} de hh dans celui de gg, à condition de bien gérer l’ordre des oo.
  • Intégration : Si ff est continue sur un intervalle II et admet un DLn(0)\text{DL}_n(0) sous la forme f(t)=∑k=0naktk+o(tn)f(t) = \sum_{k=0}^n a_k t^k + o(t^n), alors sa primitive F(x)=∫0xf(t) dtF(x) = \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t admet un DLn+1(0)\text{DL}_{n+1}(0) obtenu par intégration terme à terme : F(x)=∑k=0nakk+1xk+1+o(xn+1)F(x) = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} x^{k+1} + o(x^{n+1})