Exercice 2 : Machines thermiques dithermes

🌐 Énoncé du problème / Cadre d’étude

Les machines thermiques dithermes constituent un pilier fondamental de la thermodynamique appliquée et de la conversion d’énergie. Ce problème s’intéresse à l’étude thermodynamique d’un système fermé évoluant selon un cycle de Carnot, puis à la modélisation d’une installation réelle de type pompe à chaleur (PAC) fonctionnant avec des sources de température de capacités thermiques finies.

On considère un fluide thermodynamique subissant des cycles de transformations quasi-statiques entre deux sources de chaleur : une source chaude de température thermodynamique constante $T_c$ et une source froide de température thermodynamique constante $T_f$ (avec $T_c > T_f$ ). Par la suite, on notera $Q_c$ (resp. $Q_f$ ) l’échange thermique algébrique du fluide avec la source chaude (resp. froide) au cours d’un cycle, et $W$ le travail total reçu par le fluide au cours d’un cycle.

❓ Questions progressives

Rappels et lois fondamentales À l’aide du premier principe de la thermodynamique appliqué à un cycle, exprimer la conservation de l’énergie pour le fluide. Énoncer le second principe de la thermodynamique (inégalité de Clausius) sous forme d’une relation liant $Q_c$ , $Q_f$ , $T_c$ et $T_f$ .
Étude du cycle de Carnot (Moteur thermique) Dans le cas d’un cycle réversible (cycle de Carnot), exprimer le rendement $\eta$ du moteur thermique en fonction de $T_c$ et $T_f$ . Montrer que ce rendement est strictement inférieur à $1$ .
Application à une Pompe à Chaleur (PAC) On inverse le cycle de Carnot pour en faire une pompe à chaleur destinée à chauffer un local à la température $T_c$ en puisant de l’énergie thermique dans l’environnement extérieur à la température $T_f$ . Définir l’efficacité (ou coefficient de performance) $\xi_{\text{PAC}}$ de la pompe à chaleur et l’exprimer en fonction des températures $T_c$ et $T_f$ dans le cas idéal (réversible).
Analyse critique et régime transitoire On considère désormais que la source chaude (le local à chauffer) possède une capacité thermique massique $C$ constante et est de masse $M$ . La température initiale du local est $T_0$ (avec $T_0 < T_c^{\text{final}}$ ). La source froide est maintenue à température constante $T_f$ . La pompe à chaleur fonctionne en régime réversible avec une puissance reçue $W_{\text{cycle}}$ par cycle et une durée de cycle $\tau$ . Établir l’équation différentielle régissant l’évolution de la température du local $T(t)$ en fonction de $T_f$ , $C_{\text{tot}} = M \cdot C$ , et de la puissance thermique fournie au local $\mathcal{P}_c$ .

💡 Pistes & Indications méthodologiques

Question 1 : Pour le premier principe, exploiter le fait que l’énergie interne d’un système au terme d’un cycle est inchangée ( $\Delta U_{\text{cycle}} = 0$ ). Pour le second principe, utiliser l’entropie échangée et la variation d’entropie sur un cycle.
Question 2 : La réversibilité implique que l’entropie créée au cours du cycle est nulle ( $\mathcal{S}_{\text{cr}} = 0$ ). Cela transforme l’inégalité de Clausius en une égalité.
Question 3 : L’efficacité d’une machine thermique se définit toujours par le rapport $\frac{\text{Ce que l'on veut}}{\text{Ce que l'on paie}}$ (en termes énergétiques).
Question 4 : Exprimer la puissance thermique instantanée $\mathcal{P}_c(t)$ reçue par la source chaude en fonction du flux thermique issu du fluide, puis relier cette quantité à la variation élémentaire de température $dT$ du local pendant un intervalle de temps $dt$ .

📋 Corrigé détaillé pas à pas

1. Bilans énergétiques et entropiques sur un cycle

Premier principe : Le fluide subit un cycle, donc la variation de son énergie interne est nulle : $\Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_c + Q_f = 0 \implies W = -(Q_c + Q_f)$
Second principe (inégalité de Clausius) : Pour toute transformation cyclique, la variation d’entropie du fluide est nulle, et l’entropie créée $\mathcal{S}_{\text{cr}}$ est positive ou nulle : $\Delta S_{\text{cycle}} = \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} + \mathcal{S}_{\text{cr}} = 0 \implies \frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} \le 0$

2. Rendement du cycle de Carnot moteur

Pour un moteur thermique, le travail utile est cédé au milieu extérieur ( $W_{\text{moteur}} = -W > 0$ ). La source chaude fournit de l’énergie au fluide ( $Q_c > 0$ ) et le fluide cède de l’énergie à la source froide ( $Q_f < 0$ ). Le rendement $\eta$ est défini par : $\eta = \frac{-W}{Q_c} = \frac{Q_c + Q_f}{Q_c} = 1 + \frac{Q_f}{Q_c}$

Dans le cas d’un cycle réversible (Carnot), l’entropie créée est nulle ( $\mathcal{S}_{\text{cr}} = 0$ ), d’où : $\frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} = 0 \implies \frac{Q_f}{Q_c} = -\frac{T_f}{T_c}$

En reportant dans l’expression du rendement : $\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_f}{T_c}$ Puisque $T_f > 0$ et $T_c > 0$ (températures thermodynamiques) avec $T_c > T_f$ , on a $\frac{T_f}{T_c} \in ]0, 1[$ , ce qui implique bien que $\eta_{\text{Carnot}} < 1$ (conformément au second principe de Kelvin-Planck).

3. Efficacité de la Pompe à Chaleur (PAC) idéale

La pompe à chaleur a pour objectif de chauffer la source chaude. L’énergie utile est donc le transfert thermique reçu par la source chaude, soit $-Q_c$ (avec $Q_c < 0$ du point de vue du fluide dans ce mode de fonctionnement, ou posé positivement comme quantité de chaleur fournie au local). Exprimons l’efficacité $\xi_{\text{PAC}}$ : $\xi_{\text{PAC}} = \frac{-Q_c}{W} = \frac{-Q_c}{- (Q_c + Q_f)} = \frac{Q_c}{Q_c + Q_f}$ (en considérant ici les transferts reçus par la source chaude et fournis par le travail, $Q_c^{\text{local}} = -Q_c > 0$ ).

Pour un fonctionnement réversible (Carnot inversé), on a toujours $\frac{Q_c}{T_c} + \frac{Q_f}{T_f} = 0$ . En injectant cette relation : $\xi_{\text{PAC, Carnot}} = \frac{Q_c}{Q_c - T_c \frac{Q_c}{T_f}} = \frac{1}{1 - \frac{T_c}{T_f}} = \frac{T_f}{T_f - T_c}$ En prenant les valeurs absolues pour s’assurer de la positivité : $\xi_{\text{PAC, Carnot}} = \frac{T_c}{T_c - T_f}$ Analyse critique : Puisque $T_c > T_f$ , on constate que $\xi_{\text{PAC, Carnot}} > 1$ . Cela ne viole en rien le premier principe (conversion de travail en chaleur via un transfert thermique), l’efficacité mesurant un coefficient de amplification et non un rendement énergétique.

4. Évolution de la température du local (Régime transitoire)

Soit $C_{\text{tot}} = M \cdot C$ la capacité thermique totale du local. Le premier principe appliqué au local pendant un intervalle de temps élémentaire $dt$ s’écrit : $dQ_{\text{local}} = C_{\text{tot}} \, dT = \mathcal{P}_c(t) \, dt$ où $\mathcal{P}_c(t) = \frac{-Q_c}{dt}$ est la puissance thermique instantanée fournie au local par la PAC.

Si la PAC fonctionne en permanence selon le cycle de Carnot réversible entre la température variable du local $T(t)$ et la source extérieure constante $T_f$ , l’efficacité instantanée s’écrit : $\xi_{\text{PAC}}(t) = \frac{T(t)}{T(t) - T_f}$ Par définition de la puissance reçue et de la puissance électrique fournie $\mathcal{P}_{\text{élec}} = \frac{W}{dt}$ : $\mathcal{P}_c(t) = \xi_{\text{PAC}}(t) \cdot \mathcal{mathcal{P}}_{\text{élec}} = \frac{T(t)}{T(t) - T_f} \mathcal{P}_{\text{élec}}$

En substituant cette expression dans l’équation du premier principe du local : $C_{\text{tot}} \frac{dT}{dt} = \mathcal{P}_{\text{élec}} \frac{T(t)}{T(t) - T_f}$

Il s’agit d’une équation différentielle non linéaire du premier ordre régissant l’échauffement du local : $\frac{dT}{dt} = \frac{\mathcal{P}_{\text{élec}}}{C_{\text{tot}}} \frac{T(t)}{T(t) - T_f}$ Cette modélisation montre que plus la température du local $T(t)$ se rapproche de $T_f$ , plus l’efficacité théorique est grande, mais en pratique, l’écart de température $T(t) - T_f$ réduit la performance réelle des échangeurs thermiques et rend ce modèle limite lorsque $T(t) \to T_f$ .